MÉCANIQUE DES FLUIDESMÉCANIQUE DES FLUIDES

1 Licence de Physique et Applications Chantal MEURIS T l phone : 01 69 08 47 33 DAPNIA/SACM Mail : CEA/Saclay T l copie : 01 69 08 49 50 91191 Gif-sur-Yvette Cedex M CANIQUE DES FLUIDESM CANIQUE DES FLUIDESM CANIQUE DES FLUIDESM CANIQUE DES FLUIDES G n ralit s sur les FLUIDES Statique des FLUIDES Cin matique des FLUIDES Dynamique des FLUIDES parfaits Dynamique des FLUIDES r els 1 TABLE DES MATI RES G n ralit Propri t s physiques des FLUIDES ..2 Forces subies par un fluide ..5 Statique des FLUIDES ..7 quation fondamentale de la statique des FLUIDES ..7 Application aux FLUIDES incompressibles : hydrostatique ..9 Forces s exer ant sur une surface immerg e (forces hydrostatiques).. 11 Application aux FLUIDES compressibles .. 15 Probl me g n ral de statique des FLUIDES .. 17 Cin matique des Description du mouvement .. 18 Conservation de la 21 tude locale du champ de vitesse : rotation et d 24 Types particuliers d coulement.

2 29 Dynamique des FLUIDES parfaits ..31 Bilan de quantit de mouvement : quation d Euler .. 31 Th or me de Bernoulli et ses applications .. 37 Bilan global des quantit s de mouvement .. 43 Dynamique des FLUIDES r els ..48 Viscosit . Lois de comportement .. 48 Dynamique des FLUIDES visqueux incom-pressibles : quation de Navier Stokes .. 50 coulements laminaires et coulements turbulents. Pertes de 56 2 Chapitre 1 G n ralit s Propri t s physiques des FLUIDES Qu est-ce qu un fluide ? C est un milieu mat riel : ! continu ; ses propri t s varient d une fa on continue, propri t s consid r es comme caract ristiques non d un point sans volume mais d une particule, volume de fluide extr mement petit autour d un point g om trique ; par exemple, on affecte chaque point P, pour chaque instant t, une masse volumique repr sentative de la population des mol cules int rieures au volume dV de la particule ; !

3 D formable (il n a pas de forme propre) ; les mol cules peuvent facilement glisser les unes sur les autres ; cette mobilit fait que le fluide prendra la forme du r cipient qui le contient ; ! qui peut s couler ; mais tout fluide peut s couler plus ou moins facilement d un r cipient un autre ou dans une conduite : des forces de frottements qui s opposent au glissement des particules de fluide les unes contre les autres peuvent appara tre car tout fluide r el a une viscosit . L tat fluide englobe deux des trois tats de la mati re : le liquide et le gaz. Les liquides et gaz habituellement tudi s sont isotropes, c est- -dire que leurs propri t s sont identiques dans toutes les directions de l espace. Particule fluide La particule fluide est une portion de fluide laquelle correspondent, un instant t, une vitesse, une pression, une temp rature, une masse volumique, etc.

4 Le volume envisag est tr s petit notre chelle, mais doit contenir encore un tr s grand nombre de mol cules pour que les chocs mol culaires puissent tre remplac s par la pression moyenne. Les particules FLUIDES ne sont pas des particules microscopiques sur lesquelles le mouvement brownien d l agitation mol culaire est tr s perceptible ; la notion de continuit repose sur celle de la compacit du r seau mol culaire intrins quement lacunaire1. Chaque particule d un fluide est soumise des forces de volume qui sont des forces longue distance induites par des champs de forces - le plus banal tant le champ de pesanteur - et des forces de surface, forces de contact transmises la surface de la particule par les l ments environnants. On peut dire qu un fluide est un corps homog ne et continu dont les diverses particules peuvent se d placer ou se d former sous l action d une force tr s faible.

5 1 Un nombre sans dimension utile dans cette discussion est le nombre de Knudsen Kn, rapport du libre parcours moyen l (distance moyenne que parcourt une mol cule entre deux chocs successifs avec ses mol cules voisines) la longueur de r f rence L caract ristique de l coulement consid r (soit le diam tre du tube, s il s agit d un fluide s coulant dans un tube, soit le diam tre d un orifice pour l jection d un fluide, soit de la corde d un profil d aile, etc.). partir de r sultats exp rimentaux, il appara t que si Kn < 0,02 le fluide est un milieu continu. C est ce domaine qui nous int resse ici. Cela exclut les gaz basse pression. 3 Masse volumique D finition Consid rons un milieu continu fluide l int rieur d un volume V, et soit dV un volume l mentaire d fini autour d un point M du volume V. D signons par dm la masse de fluide contenue dans le volume dV.

6 Le rapport dVdm= repr sente la masse volumique moyenne du fluide contenu dans le volume dV. On d finit la masse volumique au point M par : dVdm0dVlim = 2 (kg/m3) La masse m du fluide contenue dans le volume V est alors : =VdVm. La densit d un liquide est d finie par : eaufluided = (sans unit ). Ordres de grandeur des masses volumiques ( 20 C) Eau (le standard liquide) 1 000 kg/m3 Huile 914 kg/m3 Mercure 13 400 kg/m3 Air (le standard gazeux) 1,2 kg/m3 << eau Les liquides sont caract ris s par une masse volumique relativement importante ; gaz << liquide Pour les gaz, la masse volumique d pend de la temp rature et de la pression . Pour un gaz parfait, l quation d tat donne rTp= , o r est la constante massique des gaz parfaits (MRr= avec R = 8,314 Jmole-1K-1 et M masse molaire du gaz). Compressibilit La propri t physique qui permet de faire la diff rence entre un liquide et un gaz est la compressibilit.

7 Un liquide est un fluide occupant un volume d termin , ou du moins ce volume ne peut varier que tr s peu, et seulement sous l action de fortes variations de pression ou de temp rature. Un gaz, au contraire, occupe toujours le volume maximal qui lui est offert : c est un fluide essentiellement compressible (ou expansible). D finition de la compressibilit La compressibilit traduit la diminution de volume en r ponse un accroissement de pression. Pour quantifier cet effet on introduit le coefficient de compressibilit isotherme d fini par : Tpvv1 = (Pa-1) o =1v est le volume massique (m3/kg). Un accroissement de pression entra ne une diminution de volume, et inversement ; d o la n cessit de mettre un signe moins devant le coefficient de compressibilit . 2 Les dimensions de la surface ferm e entourant dV ne doivent pas tre trop faibles au cours de ce passage la limite ; il faut que les mol cules qu elle renferme restent en nombre suffisant pour que la masse volumique soit une fonction continue.

8 4 Ordres de grandeur des compressibilit s Eau 4,1 10-10 Pa-1 Mercure 4,4 10-10 Pa-1 Air 10-5 Pa-1 gaz >> liquide Pour les gaz parfaits, on d duit de l quation d tat des gaz parfaits : p1= . Calculez la pression exercer sur un liquide tel que l eau pour observer une variation de volume de 1 pour 1000. R ponse : p = 24 atm. Relation entre masse volumique et compressibilit Le volume (et donc la masse volumique) peut varier sous l effet de la pression ou de la temp rature. En plus du coefficient de compressibilit isotherme, on d finit donc un coefficient de dilatation thermique pression constante : pTvv1 = . Dans un fluide en mouvement les trois grandeurs p, v = 1/ et T ne sont pas uniformes et l quilibre thermodynamique n est r alis que localement, l chelle de la particule. L quation diff rentielle d tat : dTTvdppvdvpT + = peut tre transform e en faisant appara tre les deux coefficients et : vdTvdpdv + = Nous n tudierons que des coulements de liquides ou de gaz dans lesquels la temp rature peut tre consid r e comme constante (dT = 0).

9 L approximation suivante sera donc faite : Liquide = fluide incompressible ( = 0) = cte : fluide isovolume (dv = 0) En pratique, il est raisonnable de dire qu un fluide est isovolume si %4 au cours de son mouvement. La variation pour l eau est 4105 = pour une variation de temp rature T = 1 K et 4102 = pour une variation de pression p = 1 bar. On peut donc souvent traiter l eau comme un fluide incompressible et utiliser dans les quations du mouvement une masse volumique = cte. Viscosit L agitation des mol cules est responsable d un transfert microscopique de quantit de mouvement d une particule sa voisine s il existe entre elles une diff rence de vitesse. Ce transfert est traduit par la propri t appel e viscosit , sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre 5. La viscosit caract rise l aptitude d un fluide s couler. Tout fluide r el pr sente une viscosit qui se manifeste par une r sistance la mise en mouvement du fluide.

10 Par opposition, dans un fluide parfait aucune force de frottement ne s oppose au glissement des particules fluide les unes contre les autres. Les FLUIDES parfaits n existent pas ; ils constituent un mod le. 5 Forces subies par un fluide L un des buts de la m canique tant de d finir la position ou le mouvement des particules mat rielles sous l action des forces qui les sollicitent, il faut donc d finir le genre de forces que nous aurons consid rer en m canique des FLUIDES . Force de volume : force de pesanteur Les champs de force (de pesanteur, magn tique, lectrique, etc.) exercent sur les particules FLUIDES des actions distance qui sont proportionnelles aux volumes des particules. Ce sont les forces de volume. Consid rons un petit volume l mentaire dV et soit dF la force l mentaire qui s exerce sur dV. On d signe par force volumique f (ou densit de force par unit de volume) la limite, si elle existe, de la quantit : dVdF0dVlimf = La densit des forces exerc es par la gravit sur un milieu continu est l un des exemples les plus classiques.