PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA GEOMÉTRICA

1 Ediciones Universidad Cat lica del MauleJ rgen Baier SaipPROBLEMAS RESUELTOS DE PTICA GEOM TRICA ptica22 TEXTO DE APOYO A LA DOCENCIA22 Casilla 617 - Talca - CHILE REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL N 212361 ISBN: 978-956-7576-52-4 PRIMERA EDICI NTalca, Diciembre de 2011 Director de la Colecci n Textos de Apoyo a la Docencia:Juan Cornejo EspejoDise o y Diagramaci n:Luz Mar a Guti rrez TapiaCorrecci n de Estilo:Reinaldo Cortez ValenzuelaImpresi n:Impresora Gutenberg TalcaImpreso en Chile - Printed in ChileTEXTOS DE APOYO A LA DOCENCIAE diciones Universidad Cat lica de MauleEdiciones Universidad Cat lica del Maule NDICEGENERALPr logo1. Reflexi n y refracci PROBLEMAS RESUELTOS . PROBLEMAS propuestos2. Espejos PROBLEMAS PROBLEMAS propuestos3. Superficie esf rica refringente PROBLEMAS PROBLEMAS propuestos4. Lentes delgadas PROBLEMAS PROBLEMAS propuestosAp ndice A.

2 F rmulas matem Trigonometr Algunas derivadas e integralesAp ndice B. Bibliograf a p g. 5p g. 7p g. 9p g. 43p g. 47p g. 50p g. 80p g. 85p g. 87p g. 111p g. 115p g. 118p g. 148p g. 153p g. 153p g. 154p g. 155p g. 157 TEXTO DE APOYO A LA DOCENCIA224 Ediciones Universidad Cat lica del Maule5PR LOGOLa experiencia que he tenido ense ando me ha mostrado que los apuntes, gu as y pruebas anteriores constituyen una valiosa fuente de in-formaci n para estudiantes que desean prepararse para las evaluaciones. Por otra parte, la literatura que existe es inadecuada para principiantes y cubre esencialmente dos extremos: en uno, aparecen ejercicios RESUELTOS que son demasiado elementales para estudiantes de carreras t cnicas y, en el otro, hay PROBLEMAS de buen nivel, pero que muchas veces vienen sin la soluci n. La presente obra contiene 80 PROBLEMAS desarrollados y 28 PROBLEMAS propuestos de ptica Geom trica: reflexi n, refracci n, espejos planos y esf ricos, superficies esf ricas refringentes y lentes libro no pretende ser un texto base para un curso de ptica geom -trica, ya que el objetivo est centrado en la resoluci n de PROBLEMAS y no en la exposici n detallada de los fundamentos te ricos.

3 La finalidad es que se puedan aprender conceptos b sicos y metodolog as como si se estuviera en una ayudant a. Trabajando ejercicios que van desde un nivel elemental hasta un nivel avanzado, se puede adquirir experiencia para contestar una amplia variedad de comienzo de cada cap tulo se encuentra una breve descripci n de los fundamentos te ricos, pero sin deducir f rmulas. En especial, se abordan temas que usualmente les cuestan m s a los estudiantes. El nfasis no fue insertar un gran n mero de PROBLEMAS con soluciones cortas, mostrando solamente algunos pasos que conducen al resultado final, sino que se esco-gieron PROBLEMAS representativos de cada materia y se presentan, en forma clara, soluciones detalladas. En algunos casos, se explica m s de un m todo de soluci n que conduce al mismo resultado DE APOYO A LA DOCENCIA226 Varios de los temas son independientes entre s y, en algunos casos, se puede iniciar el estudio de una parte sin haber consultado el contenido de cap tulos anteriores.

4 En las soluciones a veces se citan las ecuaciones, las que se referencian por su n mero y por la p gina en la que se encuentran. Por ejemplo, Ec. ( , 116) indica la ecuaci n que est en la p gina figuras ilustran s lo los aspectos esenciales para la comprensi n de los PROBLEMAS . Siempre que fue posible, se dibuj la figura a escala, e incluso parte de la respuesta se encuentra graficada, de modo que se consiga visualizar la soluci n por adelantado. Con esto se facilita el entendimiento de lo que se pretende hacer con n PROBLEMAS con un mayor grado de dificultad se encuentran por lo general, al final de cada cap tulo y constituyen un desaf o para madurar los conocimientos. Ciertos ejercicios fueron dise ados para estudiantes avan-zados. Al t rmino de cada cap tulo, se encuentran PROBLEMAS propuestos que traen la respuesta al final. Ya que el enfoque es la comprensi n del problema y su soluci n desde un punto de vista f sico, la mayor a de los ejercicios se resuelven sin usar el c lculo diferencial e integral.

5 El Ap ndice incluye f rmulas matem ticas como un recordatorio para el , deseo agradecer a los estudiantes que durante varios se-mestres han asistido a las c tedras, participando en el desarrollo de la clase y formulando sus inquietudes. De esta forma, con el pasar del tiempo, pude acumular una gran cantidad de datos que me permiti escribir este rgen BaierTalca, Diciembre de 2011 Ediciones Universidad Cat lica del Maule7 CAP TULO 1La ptica es el ramo de la f sica que se ocupa del estudio del compor-tamiento de la luz y, en especial, de su propagaci n a trav s de diversos materiales. Cuando la longitud de onda de la luz resulta ser mucho menor que las dimensiones de los objetos que aparecen en el problema , se usan aproximaciones que conducen a la ptica geom La propagaci n de la luz se describe por medio de rayos que son l neas perpendiculares a los frentes de este cap tulo, el lector se familiarizar con los fen menos de re-flexi n y de refracci n, que constituyen la base de la ptica geom trica.

6 La luz es una onda y como tal puede ser reflejada y refractada. Para describir la propagaci n de rayos se necesitan dos leyes. Ley de reflexi n (Fig. ): el ngulo de reflexi n 2 es igual al n-gulo de incidencia 1. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie reflectora se encuentran en un mismo plano. Por este motivo, muchas veces se consideran los PROBLEMAS en dos dimensio-nes. ndice de refracci n n: es igual a la velocidad de la luz c = 3 108 m/s en el vac o dividida por la velocidad de la luz v en el medio que se propagaReFlexi n y ReFRAcci n1 Por otro lado, si la difracci n no es despreciable, se debe emplear la ptica f sica, donde se trata la luz como onda electromagn Un frente de onda corresponde a una superficie definida por los puntos r, donde la fase (r,t) es constante. Esta superficie se mueve a medida que el tiempo t transcurre.

7 Un rayo de luz tambi n representa la trayectoria por donde fluye la energ a electromagn DE APOYO A LA DOCENCIA228( ) Por lo general, el ndice de refracci n var a con la longitud de onda de la luz, lo que recibe el nombre de dispersi n. Ley de Snell (Fig. ): el ngulo de incidencia 1 y el ngulo de refracci n 2 satisfacen la siguiente relaci n( ) donde n1 y n2 son los ndices de refracci n de los medios. De forma similar a lo que ocurre en la reflexi n, el rayo incidente, el rayo re-fractado y la normal est n en un mismo plano. Si luz no monocrom tica incide sobre un medio dispersivo, enton-ces cada longitud de onda se refracta a un ngulo diferente. Por ejemplo, cuando luz blanca (= no monocrom tica) incide sobre un prisma (= medio dispersivo), lo que se observa es que los diversos colores (= longitudes de onda) salen refractados en direcciones : (a) Reflexi n: la luz incidente y la reflejada est n al mismo lado del plano de re-flexi n.

8 La normal es la recta perpendicular a la superficie. (b) Refracci n: la luz pasa de un medio con ndice de refracci n n1 a otro con ndice n2 y su direcci n de propagaci n cambia. En la Figura 2 < 1, lo que se obtiene para n2 > (a)normal(b)n = 1cvn1 sin 1 = n2 sin 2 Ediciones Universidad Cat lica del Maule9 Reflexi n interna total: para( ) la Ec. ( ) no tiene soluci n y no ocurre refracci n, sino que nica-mente reflexi n de la luz. Principio de Fermat: la trayectoria que sigue la luz cuando se propa-ga de un punto a otro es tal, que el tiempo que demora es m En particular, si se tiene un medio homog neo donde el ndice de refracci n no depende de la posici n, entonces la luz se propaga en l nea Este principio permite derivar las leyes de la reflexi n (Prob. ) y de la refracci n (Prob. ). PROBLEMAS Si la velocidad de la luz en un cierto medio es 1,96 108 m/s, cu nto vale el ndice de refracci n?

9 El ndice de refracci n es igual a la raz n entre la velocidad de la luz en el vac o y la velocidad de la luz en el Un haz de luz que se propaga en el vac o (n1 = 1) incide sobre una pla-ca de vidrio. En el vac o el ngulo con la normal vale 35,5 y en el vidrio 23,1 . Determine el ndice de refracci n n2 del ley de Snell relaciona los ngulos y los ndices de refracci n1 sin(35,5 ) = n2 sin(23,1 )3 O m s precisamente: el tiempo del recorrido es estacionario con respecto a variaciones infinitesimales de la La distancia m nima entre dos puntos es una recta, de tal forma que para una velocidad independiente de la posici n el tiempo del recorrido tambi n es m sin 1 > n2n == 1,53=cv3 1081,96 108 TEXTO DE APOYO A LA DOCENCIA2210de manera Un vidrio grueso con ndice de refracci n n3 = 1,52 yace en el fondo de un estanque con agua (n2 = 1,33).

10 Un rayo de luz en el aire (n1 = 1) incide sobre el agua, formando un ngulo 1 = 60 con la vertical. Qu ngulos hay entre el rayo y la normal (A) en el agua y (B) en el vidrio?(A) Si 2 y 3 representan los ngulos en el agua y en el vidrio respectiva-mente, entonces, de acuerdo con la ley de Snell(P )(P )La Ec. (P ) permite calcular 2(B) Para determinar 3 hay que sustituir el valor de 2 en la Ec. (P ). Pero otra forma es igualar el t rmino a la izquierda de la Ec. (P ) con el t rmino a la derecha de la Ec. (P ), pues ambos son iguales a 1,33 sin 21 sin(60 ) = 1,52 sin 3sin(35,5 )sin(23,1 )n2 = = 1,481 sin(60 ) = 1,33 sin 21,33 sin 2 = 1,52 sin 3 2 = sin 1= 40,6 sin(60 )1,33 3 = sin 1= 34,7 sin(60 )1,52 Ediciones Universidad Cat lica del Maule11 Este procedimiento se puede usar siempre que las superficies refringentes son paralelas entre s.