Théorie de la mesure et de l'intégration

1 TH ORIE DE LA mesure ET DE L INT par Tancr de LEPOINT2009 UNIVERSIT JOSEPHFOURIER, GRENOBLETABLE DES MATI RESA vant-proposvBiographie sommaire .. vIntroductionvii1 Th orie g n rale de la Espaces mesurables .. D finition et exemples de mesures .. Exemple : l ensemble de Cantor .. Compl tion des mesures .. 62 Th orie g n rale de l int Fonctions mesurables .. D finitions et g n ralit s .. Stabilit de la classe des fonctions mesurables .. Les fonctions tag es .. G n ralit s .. D finition de l int grale d une fonction tag e positive.

2 Int gration des fonctions mesurables positives.. D finitions et th or me de convergence monotone .. Propri t s de l int grale .. Application : Mesures densit .. Fonctions int grables valeurs dansRouC.. Cas deR.. Cas deC.. Th or me de la convergence domin e .. Applications .. Comparaison avec l int grale de Riemann .. Int grales d pendant d un param tre .. Application : la fonction d Euler .. 313 mesure de Lebesgue Mesures ext rieures .. La mesure de Lebesgue .. Classes monotones.

3 Propri t s de la mesure de Lebesgue .. Th or me de repr sentation de Riesz .. 50iii4 Int gration sur les espaces Produit d espaces mesurables .. mesure produit .. Th or mes de Fubini .. Enonc s des th or mes .. Discussions sur les th or mes .. Applications et exemples .. Int gration par parties dansR.. Calcul de l int grale de Gauss .. mesure de la boule unit dansRd.. Epigraphe d une fonction mesurable .. Compl tion des mesures produit .. 675 Changements de variables La formule de changement de variables.

4 Applications .. Coordonn es polaires dans le planR2.. Coordonn es sph riques dans l espaceR3.. G n ralisation Rd.. 766 G n ralit s sur les espacesLpetLp.. Inclusions des espacesLpouLp.. Th or mes de densit .. Le produit de convolution .. D finition et propri t s .. R gularisation par convolution .. 917 Transformation de D finition et propri t s g n rales .. Etablissement d un cadre fonctionnel .. L espace de Schwartz .. La transform e de Fourier dansL2(R).. Formules de la transformation de Fourier surRd.

5 Applications .. A la rescousse des quations diff rentielles .. L quation de la chaleur une dimension .. 103A mesure de Compl ments sur les mesures ext rieures .. D finition de la mesure de Hausdorff .. Propri t s et dimension de Hausdorff .. Exemples de mesures et de dimension de Hausdorff .. 111iv AVANT-PROPOSCe polycopi est le support du cours deTh orie de la mesure et de l int grationenseign l universit Joseph Fourier de Grenoble en troisi me ann e de licence de math matiques fondamentales par ThierryGallay1.

6 Il a t transcrit tout au long de l ann e et ne saurait en aucun cas remplacer le document est tr s proche du cours enseign , et except quelques infimes modifications (et l annexe),il retranscrit le cours tel qu il a t donn tous les tudiants. En cons quence de quoi, il n est pas un ap-profondissement du cours, au contraire des livres disponibles dans la bibliographie. L annexe pr sentela mesure de Hausdorff, n e une quinzaine d ann e apr s celle de Lebesgue, qui permet notamment lamesure d objets de dimension inf rieures, et n a pas t trait e en cours.

7 Elle n cessite de conna tre toute remarque, suggestion ou correction concernant ce document, merci de me contacter pour queje puisse modifier et corriger ce polycopi .Tancr de SOMMAIREN. Bourbaki, l ments de math matiques, livre VI : Int gration, Chapitres 1-9, Hermann, Paris, Briane et G. Pag s,Th orie de l int gration, Vuibert, Paris, L. Cohn,Measure Theory, Birkh user, Boston, L. Doob,Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics143, Springer, New-York, M. Dudley, /em Real analysis and probability, Cambridge Studies in Advanced Mathematics74,Cambridge University Press, R.

8 Halmos,Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics18, Springer, H. Lieb et M. Loss,Analysis, Graduate Studies in Mathematics14, AMS, Providence, Rudin,Analyse r elle et complexe, Masson, Paris, Rudin, Real and complex analysis (3 me d.), McGraw-Hill, New York, W. Stroock,A concise introduction to the theory of integration(3 me d.), Birkh user, Boston, Yeh,Real analysis. Theory of measure and integration(2 me d.), World Scientific, Hackensack, Thierry Gallay -http gallay/ - INTRODUCTIONU neth orie de l int grationest un proc d qui associe toute fonctionf(dans une certaine classe) unnombreI(f), appel int grale defet qui v rifie certaines propri t s (lin arit , positivit.)

9 Exemple (fondamental).On retrouve pour la premi re fois l exemple suivant (actuellement connu commel int grale de Riemann) dans le cours de Cauchy en ([a,b],R)l espace des fonctions continues sur un intervalle[a,b] valeurs dansR. Pour toutf C0([a,b],R), la limite suivante existe :I(f) = limN + b aNN 1Xi=0f(a+ib aN)(1)La correspondancef7 I(f)est : lin raire: I(f1+f2) =I(f1) +I(f2), f1,f2 C0([a,b],R) I( f) = I(f), f C0([a,b],R), R positive: Sif>0, alorsI(f)>0. Dans ce cas,I(f)a une interpr tation graphique (figure1) : c estl aire sous le graphe (f)FIGURE1 Interpr tation graphique de l int grale d une n est pas n cessaire d utiliser une subdivision r guli re pour calculerI(f).

10 Pour tout >0, il existe >0tel que pour toute subdivisiona=x0< x1< < xN=bde l intervalle[a,b]tel quemaxi=1,..,N(xi xi 1)6 et pour tous points i [xi 1,xi],i= 1,..,Non a : I(f) NXi=1f( i)(xi xi 1) 6 (2)vii Mais pourquoi appelle-t-on cela l int grale de Riemann?Riemann s est demand pour quelles classesde fonctions les proc d s (1) et (2) permettent de d finir l int grale. Est-il n cessaire de selimiter auxfonctions continues ? Il a remarqu en 1854 que l on pouvait utiliser ces proc d s pour une certaineclasse de fonctions non continues. Les fonctionsf: [a,b] Rpour lesquelles on peut d finirI(f)par(1) et (2) sont appel es des fonctionsint grables au sens de Riemann.