Chapitre 13 Les mathématiques financières - iclf.ca

1 Chapitre 13 Les math matiques financi res G rer ses finances personnelles ou jouer le r le de conseiller dans ce domaine demande que l'on ait une bonne connaissance des produits financiers et des march s sur lesquels ils se n gocient. On devra aussi tre en mesure de compa- rer diff rents choix qui s'offrent pour l'atteinte des objectifs de s curit et de progression financi re. Plusieurs d cisions impliqueront que l'on ait calcul de fa on pr cise les avantages mon taires qui en d coulent. Pour ce faire, le plani- ficateur financier a recours un ensemble de techniques de calcul que l'on ap- pelle math matiques financi res ou math matiques de l'int r t. Celles-l font l'objet du pr sent texte. De fa on particuli re, apr s sa lecture, vous pourrez: 1. calculer la valeur capitalis e ou future d'un montant fixe ou d'une s rie de Objectifs versements en utilisant le multiplicateur d'une table con ue cet effet ou une formule appropri e.

2 2. calculer la valeur actualis e ou pr sente d'un montant fixe ou d'une s rie de versements en utilisant le multiplicateur d'une table con ue cet effet ou une formule appropri e;. 3. expliquer comment r soudre des probl mes de math matiques financi res en ayant recours des outils tels le calculateur financier et le chiffrier lectronique;. 4. utiliser la technique de l'approximation d'un taux l'aide de la m thode de l'interpolation, partir des multiplicateurs tir s d'une table d'int r t;. 5. r soudre des probl mes comprenant des annuit s de d but de p riode . l'aide d'une table fournissant les facteurs d'int r t pour des annuit s de fin de p riode;. 6. appliquer les notions de math matiques financi res la solution de divers probl mes li s la gestion des finances personnelles. G rer le portefeuille de valeurs mobili res 250 Chapitre 13 Les math matiques financi res Une bonne familiarit avec les math matiques financi res se r v le un pr cieux atout pour qui veut g rer ses finances personnelles ou conseiller d'autres per- sonnes dans ce domaine.

3 En effet, on peut mettre ces connaissances en pratique dans presque tous les aspects de la planification financi re, qu'il s'agisse de l'analyse de produits financiers visant l'atteinte de la s curit financi re, tels les assurances et les r gimes d' pargne-retraite, de l' valuation de placements en titres taux fixe, de l'analyse d'actions ordinaires et de placements immobiliers ou, enfin, d'un choix entre diff rentes options de strat gies fiscales. 1. La notion d'int r t Le dictionnaire Larousse donne diff rentes significations pour le mot int r t, dont celle-ci, qui correspond son utilisation habituelle dans les domaines li s . la gestion des finances personnelles: Somme que le d biteur paie au cr ancier pour de l'argent pr t .. Les math matiques financi res permettent de calculer diff rentes valeurs s'ap- pliquant une situation o un int r t est encaiss ou pay , par exemple: le montant de l'int r t payer sur un pr t personnel.

4 Le montant d'int r t gagn sur un placement taux fixe, au cours d'une p - riode donn e;. le montant pargner pour engendrer un montant recherch une ch ance donn e;. le nombre de p riodes pendant lesquelles un emprunt devra tre rembours , si l'on suppose un remboursement d'une somme de X$ et un taux d'int r t de Y%. Non seulement les math matiques de l'int r t s'appliquent-elles toutes les si- tuations comprenant le paiement ou la r ception d'un int r t au sens strict, mais elles sont galement utilis es pour calculer le taux de rendement dans des situations o on ne trouve pas d'int r t, selon la d finition que nous en avons donn e. En effet, les techniques que nous verrons sous peu permettent aussi de calculer le rendement annuel moyen d'un investissement en actions, dont les re- tomb es p cuniaires se manifesteront sous forme de dividende et de gain en ca- pital. On pourra galement les utiliser pour calculer le rendement d'un investissement dans l'immobilier.

5 A. Int r t simple et int r t compos . Dans notre syst me conomique, le capital est consid r comme un facteur de production primordial pour le bon fonctionnement des entreprises et des autres agents conomiques. Cette contribution est r mun r e juste titre par le verse- ment r gulier et p riodique d'int r t ou d'autres formes de paiements (dividen- des, loyers, etc.). Les revenus d'int r ts que touche un pr teur la fin d'une p riode peuvent tre pr t s ou plac s leur tour, augmentant du fait m me le capital-pr t de l'investisseur, et, d'une p riode l'autre, le montant d'int r t global que touche un pr teur ou un investisseur. Ce ph nom ne par lequel un G rer le portefeuille de valeurs mobili res Chapitre 13 Les math matiques financi res 251. capital initial est augment des revenus d'int r ts de chaque p riode, ce qui permet de gagner au cours des p riodes suivantes des int r ts sur l'int r t des p riodes pr c dentes en plus d'en retirer sur le capital initial, s'appelle la com- position de l'int r t ou, plus commun ment, l'int r t compos.

6 Il d crit la con- ception que l'on se fait aujourd'hui de l'int r t dans la presque totalit des situations qui le concernent. L'exemple illustre une application du concept d'int r t compos pour un placement taux fixe. Exemple M. Caron a investi 5 000$ dans un certificat de placement garanti int r t compos offert par une soci t de fiducie exploitant une succursale dans la lo- calit o il r side. Ce placement comporte un taux d'int r t de 8%, calcul an- nuellement. L'appellation int r t compos signifie que l'int r t annuel ne sera pas vers M. Caron mais qu'il s'ajoutera plut t au capital pour rapporter un int r t sup rieur au cours des p riodes suivantes. l' ch ance du place- ment, le fiduciaire remboursera le capital initial et paiera tous les int r ts ga- gn s. Le tableau ci-apr s illustre l' volution du revenu d'int r t et du capital accumul de M. Caron au cours de la dur e du placement.

7 Int r t Capital gagn au accumul Int r t Moment/p riode cours de la fin de cumulatif la la p riode p riode d but du placement (temps 0) 0,00$ 5 000,00$ 0,00$. 1re ann e (p riode 1) 400,00$ 5 400,00$ 400,00$. 2e ann e (p riode 2) 432,00$ 5 832,00$ 832,00$. 3e ann e (p riode 3) 466,56$ 6 298,56$ 1 298,56$. 4e ann e (p riode 4) 503,88$ 6 802,44$ 1 802,44$. 5e ann e (p riode 5) 544,20$ 7 346,64$ 2 346,64$. Comme on le constate, le montant d'int r t gagn par M. Caron augmente d'an- n e en ann e, puisque le fiduciaire calcule l'int r t non pas sur le capital initial de 5 000$, mais sur le capital accumul au d but de la p riode. Ainsi, l'int r t applicable la 3e p riode s'obtient en multipliant le taux d'int r t, 8%, par le ca- pital accumul la fin de la 2e p riode, 5 832,00$, ce qui donne 8 % u 5 832,00 $ , soit 466,56 $. L'exemple qui pr c de illustre une situation o l' metteur d'un placement prend sa charge la composition de l'int r t en ajoutant les montants d'int r t gagn s p riodiquement au capital d j accumul et en versant, pour la p riode G rer le portefeuille de valeurs mobili res 252 Chapitre 13 Les math matiques financi res suivante, de l'int r t sur le montant de capital r sultant de cette addition.

8 Bien qu'un tel exemple illustre parfaitement ce qu'est l'int r t compos , notons qu'il n'est pas n cessaire que l' metteur d'un placement assure le r investissement d'un revenu pour que le concept d'int r t compos s'applique. En effet, si M. Caron d tenait un certificat de placement int r t r gulier gr ce auquel il per- cevrait un montant annuel d'int r t de 400$1 que lui verserait le fiduciaire, il aurait le loisir de placer de nouveau chaque paiement d'int r t dans des pro- duits financiers distincts, b n ficiant ainsi de la composition de l'int r t sur les revenus d'int r ts produits par son capital initial. Par opposition l'int r t compos , on d crit l'int r t simple comme un int r t pay ou per u, l' ch ance d'un contrat de pr t ou de placement, et calcul , pour chaque p riode, sur le capital initial non augment des int r ts des p rio- des pr c dentes. tant donn que l'int r t n'est ni vers la fin de chaque p - riode ni ajout au capital initial aux fins du calcul de l'int r t applicable aux p riodes suivantes, il n'y a pas, dans un tel cas, composition de l'int r t.

9 Les dif- f rentes l gislations r gissant le fonctionnement des institutions financi res de m me que les lois prot geant le consommateur ont pratiquement fait dispara - tre l'int r t simple du domaine des finances personnelles. Les techniques de math matiques financi res pr sent es dans cette le on s'ap- pliquent strictement aux situations comprenant l'int r t compos . B. Int r t p riodique, int r t nominal et int r t effectif Bien que, comme nous venons de l'expliquer, les contrats de placement et les contrats de pr t en vigueur au Canada pr voient le calcul et l'attribution de l'in- t r t de fa on p riodique, ce qui permet la composition de l'int r t ou l'int r t compos , il existe diff rentes fa ons de se r f rer au taux d'int r t d'un m me contrat. On distingue, en effet, le taux d'int r t p riodique, le taux d'int r t no- minal et le taux d'int r t effectif d'un placement. Dans le cas o l'int r t est cal- cul et accord au propri taire du capital une fois par ann e, ces trois taux seront identiques.

10 Par contre, si la p riode de r f rence pour le calcul de l'int - r t est de moins de 1 an, par exemple mensuelle, trimestrielle ou semestrielle, ces trois taux seront de valeurs diff rentes. i) Le taux p riodique d'un placement ou d'un emprunt Le taux p riodique est le taux utilis chaque p riode de calcul d'int r t pour d terminer l'int r t sur un emprunt ou sur un placement. Par exemple, si un certificat de placement de 1 000$ offre son d tenteur la possibilit de retirer un int r t semestriel de 40$, le taux p riodique de ce placement est de 4%, soit 4 % u 1 000 $ . Mentionnons qu'on d signe la p riode retenue pour le calcul de l'int r t par la p riode de capitalisation ou composition de l'int r t. 1. Soit 8 % u 5 000,00 $ . G rer le portefeuille de valeurs mobili res Chapitre 13 Les math matiques financi res 253. ii) Le taux nominal d'un pr t ou d'un placement Le taux nominal d'un placement est simplement le taux obtenu en multipliant son taux p riodique par le nombre de p riodes de capitalisation dans une an- n e.