1 Numeri complessi - Dipartimento di Matematica -UTV-

1 1 Numeri complessiNel corso dello studio della Matematica si assiste ad una progressiva estensione delconcetto di numero. Dall insieme degli interi naturaliNsi passa a quello degli interirelativiZper poi giungere ai razionaliQe ancora ai realiR. Spesso questi ampliamentivengono giustificati con l incapacit`a di risolvere in un certo insieme un determinatoproblema. Ad esempio l equazionex2= 2non ha soluzione nell insieme dei razionali, mentre ne ha ben due nell estensioneR,ossia 2 e 2. La necessit`a di ampliare ulteriormente i Numeri reali sipresentainvece quando si prova a risolvere un altra equazione di secondo grado:x2= problema in questo caso `e comune a tutte le risoluzioni diequazioni di secondo gradocon discriminante negativo e consiste nel fatto che la funzione reale radice quadratanon `e definita per Numeri negativi. Come vedremo l insieme dei Numeri complessi , chedenoteremo con il simboloC, permetter`a di dare una risposta a questo La definizione di numero complesso e le sue rappresentazioniL estensione consiste nel passaggio dalla dimensione uno della retta (reale) alla dimen-sione due del piano (complesso).

2 Unnumero complessozsi identifica dunque comeun punto nel piano e comunemente viene rappresentato in due modi: nella formacartesiana e nella forma cartesianail numero complessozviene individuato dalle sue coordinate(reali)xeye si pu`o scriverez= (x, y) =x(1,0) +y(0,1) =x+iydove i particolari Numeri complessi (1,0) e (0,1) sono stati identificati rispettivamentecon l unit`a reale1 e l unit`a +iyxy2 Roberto Tauraso - Analisi 2La coordinatax`e laparte realedizmentrey`e laparte immaginariadiz:x= Re(z), y= Im(z).Nellaforma esponenzialeil numero complessozviene invece individuato dalmodulo|z|, ossia la distanza del puntozdall origine, e dall argomento, ossia l angolo com-preso tra la direzione positiva dell asse dellexe la semiretta uscente dall origine epassante perz. Tale angolo viene espresso in radianti e non `e definito quandoz= 0,mentre perz6= 0 `e determinato a meno di multipli di 2 (che corrisponde ad un angologiro).

3 In questo modo possiamo scriverez=|z|ei dove il simboloei `e definito come il numero complesso di modulo unitario cos +isin .bbbb1iei z=|z|ei |z| Esempio nel piano il numero complessoz1= 3 +i, scritto informa cartesiana, e il numero complessoz2= 2ei3 4, scritto in forma 3 +iz2= 2ei3 4Si osservi che la forma esponenziale diz2non `e unica:z2= 2ei3 4= 2ei(3 4+2 )= 2ei11 4=ei(3 4 2 )= 2e i5 seguente figura ci aiuta a capire come passare da una forma all altraNumeri complessi3bbb1iz=x+iy=|z|ei xy|z| Il passaggio dalla forma cartesiana a quella esponenziale `e complicato dall indetermi-nazione dell argomento:Dalla forma cartesiana alla forma esponenzialeSez=x+iy6= 0 allora|z|=px2+y2e =(arccos(x|z|) sey 0 arccos(x|z|) sey <0In questo modo viene calcolato solo uno degli infiniti argomenti associati aze pre-cisamente quello compreso nell intervallo ( , ]. L insieme completo dei possibiliargomenti `e dato da: + 2k conk passaggio inverso `e pi`u semplice:Dalla forma esponenziale alla forma cartesianaSez=|z|ei allorax= Re(z) =|z|cos ey= Im(z) =|z|sin.))

4 Esempio a convertire i Numeri complessi dell esempio precedente.(1) Perz1= 3 +i|z1|=q( 3)2+ (1)2= 4 = 2 e 1= arccos 32!= 6quindiz1= 2ei 6.(2) Perz2= 2ei3 4x2= 2 cos 3 4 = 2 ey2= 2 sin 3 4 = 2 +i Tauraso - Analisi 22. La sommaL operazione di somma di due Numeri complessi `e piuttosto semplice: si tratta discrivere gli addendi in forma cartesiana e di sommare separatamente le parti reali e leparti +iy1ez2=x2+iy2alloraz1+z2= (x1+x2) +i(y1+y2). Esempio Sez1= 2 +32iez2= 3 +ialloraz1+z2= 2 +32i + (3 +i) = ( 2 + 3) +i 32+ 1 = 1 +52iNel piano la somma si pu`o individuare costruendo un parallelogramma di +z23. Il prodottoLa definizione dell operazione di prodotto tra due Numeri complessi `e un po pi`u deli-cata: per moltiplicarez1=x1+iy1perz2=x2+iy2ci comportiamo come il prodottodi due binomi:(x1+iy1) (x2+iy2) =x1(x2+iy2) +iy1(x2+iy2) =x1x2+ix1y2+ix2y1+ questo modo la definizione di prodotto dipende dal risultato dii i=i2.

5 Datoche l introduzione dei Numeri complessi `e motivata proprio dal desiderio di risolverel equazionez2= 1, decidiamo che il numero complessoisia una delle soluzionecercate, ossia chei2= 1. Con questa scelta la definizione completa di prodottodiventa:Prodotto in forma cartesianaSez1=x1+iy1ez2=x2+iy2alloraz1 z2= (x1x2 y1y2) +i(x1y2+x2y1). Numeri complessi5 Proviamo a riprendere i Numeri dell esempio precedente e a farne il prodotto. Esempio 2 +32iez2= 3 +ialloraz1 z2= 2 3 1 32 +i 2 1 + 3 32 = 152+52iL interpretazione geometrica del prodotto diventa pi`u evidente se i fattori sono scrittiin forma esponenziale:Prodotto in forma esponenzialeSez1=|z1|ei 1ez2=|z2|ei 2alloraz1 z2=|z1||z2|ei( 1+ 2).Dunque nel prodotto di due Numeri complessi i moduli si moltiplicano mentre gli argo-menti si sommano (e questo giustifica la scelta del simbolo esponenziale). Verifichiamoquesta propriet`a ricordando ancora una volta chei2= 1:z1 z2=|z1|(cos 1+isin 1) |z2|(cos 2+isin 2)=|z1||z2|((cos 1cos 2 sin 1sin 2) +i(sin 1cos 2+ cos 1sin 2))=|z1||z2|(cos( 1+ 2) +isin( 1+ 2))=|z1||z2|ei( 1+ 2).

6 Un caso particolare molto interessante `e il prodotto di un numero quanto detto, la moltiplicazione peri=ei 2corrisponde a una rotazione di 90gradi in senso a calcolare un altro prodotto descrivendo i passi dell operazione nel pianocomplesso. 6 Roberto Tauraso - Analisi 2 Esempio Calcoliamo il prodotto diz1= 12+iperz2= 3 +i:z1 z2= 12+i z2= 12z2+iz2= 32 12i + (3i 1) = 52+52ibbbbbz1z2iz2 12z2z1 z24. Il coniugato e il quozienteIlconiugatozdi un numero complessoz=x+iy`e definito nel modo seguentez=x iye corrisponde al punto simmetrico dizrispetto all asse reale. Quindi in forma espo-nenziale: sez=|z|ei alloraz=|z|e i bbzz Esempio l insieme dei Numeri complessiztali chez2+z2= l equazione ponendoz=x+iy(x+iy)2+ (x iy)2= (x2+ 2ixy y2) + (x2 2ixy y2) = 2(x2 y2) = le coordinate dei punti del piano complessoCrichiesti sono tali che(x2 y2) = (x+y)(x y) = 0ossia le rettey= xey= complessi7 Notiamo chez z= (x+iy)(x iy) =x2+ixy ixy i2y2=x2+y2=|z| relazione permette di calcolare il quoziente di due Numeri complessi ricon-ducendolo ad un prodotto:QuozienteSez26= 0 alloraz1z2=z1 z2z2 z2=z1 z2|z2|2.

7 Esempio il quoziente diz1= 1 +iez2= 3 +i:z1z2=z1 z2|z2|2=( 1 +i) (3 i)32+ 12=( 1 +i) (3 i)10= 15+ caso in cui i Numeri siano in forma esponenziale, anche per il quoziente si ottieneuna formula significativa: sez1=|z1|ei 1ez2=|z2|ei 2alloraz1z2=z1 z2|z2|2=|z1|ei 1 |z2|e i 2|z2|2=|z1||z2|ei( 1 2).Dunque nel quoziente di due Numeri complessi i moduli si dividono mentre gli argo-menti si sottraggono. Esempio Calcoliamo il quoziente diz1= 2ei 3ez2= 3ei 4:z1z2=23ei( 3 4)=23ei Potenza di un numero complessoCome abbiamo visto, la forma esponenziale risulta particolarmente comoda quandosi devono effettuare prodotti o quozienti. Per esempio il calcolo del quadrato di unnumero complessoz=|z|ei si svolge nel seguente modoz2=|z|ei |z|ei =|z|2ei( + )=|z|2ei2 .Pi`u in generale il calcolo dellapotenzan-esimaconnintero positivo diventazn=|z|nein ossia bisogna elevare il modulo allane moltiplicare pernl argomento (sez= 0 allorazn= 0).

8 8 Roberto Tauraso - Analisi 2 Esempio le potenze diz= 2ei 3pern= 1,2,3:z= 2ei 3, z2= 2ei2 3, z3= 2 2ei = 2 punti sono riportati nella figura seguente evidenziando la loro posizione rispettoalla circonferenza facciamo un altro esempio, questa volta partendo da un numero in forma carte-siana. Esempio le potenze diz=12 12ipern= 1,2,3. Per agevolare ilcalcolo riscriviamo il numero in forma esponenziale:|z|=px2+y2=1 2e = arccos x|z| = arccos 1 2 = determiniamo le potenze richiestez=1 2e i 4, z2=12e i 2= i2, z3=12 2e 3i punti sono riportati nella figura seguente evidenziando la loro posizione rispettoalla circonferenza Numeri complessi9Da questi esempi si pu`o osservare che, facendo le successive potenze di un numerocomplessoz, i punti corrispondenti girano attorno all origine. Se inoltre|z|>1allora i punti si allontanano indefinitamente (|z|n + ), se|z|= 1 i punti rimangonosulla circonferenza unitaria (|z|n= 1) e infine se|z|<1 i punti si avvicinano all origine(|z|n 0).

9 Se riprendiamo il puntozdell esempio precedente e proviamo a disegnarenel piano le prime 10 potenze otteniamo:bbbbbbbbbbz6. Radici di un numero complessoPassiamo ora all analisi del problema inverso: se conosciamo la potenzan-esima diun numero complesso, come facciamo a calcolare il numero originale? Ossia dato unnumero complessozquante e quali sono le soluzioniwdell equazionewn=z? Sez= 0 la risposta `e banale: l unica soluzione possibile `e propriow= 0. Supponiamoquindi chez6= 0 e iniziamo a ragionare nel caso particolare in cuiz= 2 l equazione da risolvere `ew2= 1. Se esprimiamo l incognita in formaesponenziale otteniamo:w=|w|ei ew2=|w|2ei2 = 1ei0= che due Numeri complessi in forma esponenziale sono uguali se e solo se i loromoduli sono uguali e i loro argomenti differiscono di un multiplo di 2 , abbiamo che|w|2= 1 e 2 = 0 + 2k conk vuol dire che|w|= 1 (il modulo `e un numero reale non negativo) e i possibiliargomenti diwsono =0 + 2k 2=k conk l insieme delle soluzioni si scrive come wk=eik :k Z.

10 Apparentemente questo insieme contiene infiniti elementi che dipendono dal parametrok Z. Se per`o esaminiamo gli elementi con pi`u attenzione ci accorgiamo cheeik = 1 sek`e pari eeik = 1 sek`e dispari10 Roberto Tauraso - Analisi 2ossia wk=eik :k Z = wk=eik :k= 0,1 ={1, 1}.Cos` le soluzioni sono esattamente 2 e sono quelle che potevamo determinare gi`anell ambito dei Numeri reali:w0= 1 ew1= ora a vedere cosa succede pern= 3. L equazione da risolvere `ew3= 1e se ripercorriamo i passaggi del caso precedente otteniamo:w3=|w|3ei3 = 1,che equivale a|w|= 1 e =2k 3conk l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni delcason= 2, si scrive comenwk=ei2k 3:k Zo=nwk=ei2k 3:k= 0,1,2o=n1, ei2 3, ei4 le soluzioni sono esattamente 3: oltre a quella che ciaspettavamo dal casoreale,w0= 1, abbiamo ottenuto anchew1=ei2 3ew2=ei4 3. Riportando i punti nelpiano possiamo notare che queste soluzioni stanno tutte sulla circonferenza unitaria eindividuano i vertici di un triangolo dovrebbe essere chiaro cosa si ottiene perz= 1 quandon`e un intero positivoqualunque: le soluzioni dell equazionewn= 1sonone precisamentenwk=ei2k n:k= 0,1,2,3.