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1 CCRRPPEE CRPE 2011 CMJ S24. Autour des SOLIDES usuels G om trie dans l espace Mise en route1 fig. A fig. B fig. C A. Sph re On consid re une sph re de centre O et de rayon R (fig. A). On coupe cette sph re par un plan P ne passant pas par O. On note le cercle intersection de cette sph re et de P. La droite perpendiculaire au plan P et passant par O coupe ce plan en I et la sph re en A et B, comme indiqu sur la figure. Soit C un point du cercle. a. Quelle est la nature du triangle OIC ? b. Calculer le rayon R de la sph re lorsque2 4 IAcm et ICcm . B. Pyramide On consid re une pyramide SEFG (fig. B). Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs de [SE], [SG], [GF], [EF] et [EG]. 1. a. Prouver que (IL) // (JK) et que IJKL est un parall logramme.

2 B. Pour cette question, on suppose, queSFEG . Quelle est la nature du quadrilat re IJKL ? c. Pour cette question, on suppose que (SF) est orthogonale au plan (EFG). Prouver que le quadrilat re IJKL est un rectangle. 2. a. Quelle condition suffit-il d'imposer au triangle SEG pour que SIMJ soit un losange ? b. Quelle condition suffit-il d'imposer au triangle SEG pour que SIMJ soit un rectangle ? 3. Dessiner le patron d'une pyramide SEFG telle que SIMJ soit un carr et IJKL un rectangle. C. C ne Soit un c ne de sommet S dont la base est un disque de rayon 8 cm, et de hauteur [SA] mesurant 25 cm (fig. C). Ce c ne est tronqu par un plan parall le la base, une hauteur AC de 20 cm partir de cette base. a. Calculer la mesure de la longueur du rayon [CD] du petit cercle.

3 B. Calculer la mesure de la longueur de la g n ratrice du petit c ne obtenu. c. R aliser main lev e un patron de ce petit c ne, puis expliquer les diff rentes tapes de calcul n cessaires la r alisation en vraie grandeur de ce patron. 1 D apr s Rennes 1997, d apr s Bordeaux 2000, D apr s Caen 1996 CRPE 2011 CMJ Pour s exercer2 Exercice 1 1. On consid re la figure ci-dessus ( ) form e de quatre triangles, formant un carr ABCD de c t 4cm. a. Justifier que ce patron ne peut pas tre un patron de prisme. b. O doivent tre plac s les points E sur le segment [BC] et F sur le segment [CD] pour que ce patron soit un patron de pyramide. c. Pr ciser sa nature ainsi que la nature de chacune ses quatre faces.

4 2. Soit K le sommet du solide o se rejoignent les points B, C et D du patron. On obtient la pyramide AEFK. a. Montrer que l on peut faire co ncider la pyramide avec le coin d un cube de c t 4 cm. b. Repr senter un cube en perspective et y tracer une repr sentation de la pyramide. Exercice 2 ABB A DCC D est un cube ( ). Chacune de ses ar tes mesure 4 cm. Le point O est le centre de ce cube. a. Dessiner en vraie grandeur un patron de la pyramide OABB A . Pr ciser les longueurs des segments trac s. b. Sans utiliser de formule de calcul de volume autre que celle qui donne le volume d un cube, calculer le volume de la pyramide OABB A . En donner une valeur approch e au cm3 pr s. Exercice 3 On consid re un parall l pip de plein form de 6 faces rectangulaires identiques 2 2.

5 On appelle S1 ce solide. On donne en unit s u, les mesures des ar tes : 2 BC 3 AA' 4 ABuuu 1. Calculer le volume V1 de S1. 2. On pratique une coupe selon le plan (ABC'D'). On obtient deux prismes identiques nomm s ADD'BCC' que nous appellerons P1 et AA'D'BB'C' que nous appellerons P2, et qui ont chacun 5 faces ( ). a. Nommer et donner la nature g om trique des 5 figures planes qui composent P1. Justifier. 2 D apr s Limoges 1998- Bordeaux 2001- D apr s Dijon 1996- Aix-Marseille 2001- D apr s Grenoble 1998- Rennes 1997 CRPE 2011 CMJ b. Dessiner deux patrons diff rents de ce prisme en prenant l cm comme unit (deux patrons sont dits diff rents s'ils ne sont pas superposables).

6 La construction sera r alis e sur papier blanc, avec r gle gradu e, querre et compas. Il sera tenu compte du soin et de la pr cision du trac . c. Calculer l'aire d'un des deux patrons de ce prisme. 3. On associe les prismes P1 et P2 en collant les faces ABCD et A B C D ensemble, respectivement A en A', B en B', C en C' et D en D': on appelle S2 ce solide. a. Quelle est l'aire de la face obtenue partir des deux triangles BCC' et BB C ? b. Quelle est l'aire du patron du solide obtenu ? c. Quel est le volume de S2 ? Exercice 4 1. Montrer que, dans un triangle ABD rectangle en A et dont les longueurs des c t s de l angle droit sont respectivement 4 cm et 3 cm, la hauteur relative l hypot nuse est de 2,4 cm. 2. On consid re une bo te sans couvercle ayant la forme d un parall l pip de rectangle ( ), avec 4, 3 ' 6 ABcm ADcm et AAcm.

7 Pour cr er des compartiments dans cette bo te, on introduit deux plaques : l une passant par le plan DBB D , l autre passant par le plan IJJ I , les points I, J, I , J tant les milieux respectifs des segments [AD], [AB], [A D ] et [A B ]. On se propose d tudier le compartiment IJBDI J B D . a. Indiquer la nature et les dimensions des faces BDIJ et DBB D . b. Quelle est la nature du solide IJBDI J B D ? c. Repr senter en vraie grandeur un patron du compartiment. d. Calculer le volume de ce compartiment. Exercice 5 On consid re un c ne de r volution ( ) dont le rayon du cercle de base [OB] mesure 2,5 cm, la g n ratrice [AB] mesure 12 cm et le point B est une distance de A de 9 cm. On d signe par h la hauteur [OA] de ce c ne.

8 1. a. Donner le meilleur encadrement possible de h en cm, au dixi me pr s. b. En prenant 3,143,15 et l encadrement de h pr c demment trouv , d duire le meilleur encadrement possible du volume du c ne avec des entiers. 2. En disposant le c ne pointe en bas et hauteur verticale, on le remplit avec un liquide jusqu au point B . Quel est le volume de ce liquide ? Exprimer ce volume en centim tres cubes, puis en centilitres. CRPE 2011 CMJ Pour cette question, on pourra utiliser les valeurs approch es par d faut que l on peut d duire des questions a. et b. 3. Le patron de ce c ne (rayon : 2,5 cm, g n ratrice : 12 cm) est constitu d un secteur de disque. a. D montrer que l angle de ce secteur mesure 75.

9 B. Avec la r gle non gradu e et le compas, construire ce secteur en vraie grandeur, en laissant apparentes les traces de la construction. c. Donner les grandes tapes de cette construction. d. Calculer l aire du secteur au cm2 pr s. Exercice 6 On consid re une sph re de centre O et de rayon8 Rcm , coup e par un plan P. La droite perpendiculaire au plan P et passant par O coupe le plan en I et la sph re en A et B ( ). Soit C un point du cercle, section de la sph re par le plan. On s int resse la calotte sph rique obtenue, repr sent e en gris sur la figure 6. 1. Le volume V d'une calotte sph rique est donn par la formule : 2(3 - ) 3hVR h o R est le rayon de la sph re et h la hauteur de la calotte sph rique.

10 A. Calculer la mesure de h lorsque le rayon du petit cercle vaut 6, 4rcm b. Calculer le volume (en cm3) de cette calotte sph rique. En donner une valeur approch e par exc s 1 cm3 pr s. 2. Cette calotte sph rique, une fois remplie de plomb, constitue la partie inf rieure d'un jouet appel "culbuto" ( ) dont la partie sup rieure est un c ne de r volution dont le sommet est B et de base le disque d limitant la calotte. D terminer le volume du c ne puis le volume total du jouet dont on donnera une valeur approch e par d faut 1 cm3 pr s. CRPE 2011 CMJ A retenir3 Les solides de l espace qui ne sont pas des poly dres Le cylindre droit de r volution a deux bases qui sont des disques parall les.