1. Sucesiones y series num´ericas

1 ATICAC ALCULO INFINITESIMALBOLET IN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOSCURSO 2005-061. Sucesiones y series num ericas1. Escribir una expresi on para eln- esimo t ermino de la sucesi on:a) 1 +12,1 +34,1 +78,1 +1516, b)12 3,23 4,34 5, c) 1,12,16,124,1120, d) 1,11 3,11 3 5,11 3 5 7, e) 2, 4,6, 8,10,..f) 1, 1, 1,1,1, 1, 1,..2. Determinar la convergencia o divergencia de la sucesi on cuyo t erminon- esimo se da. En caso deconvergencia, determinar el l )an=1n3/2b)an=n 1n nn 1c)an=3n2 n+ 42n2+ 1d)an=log(n2)ne)an= cosn 2f)an=n!nng)an=npen,(p>0)h)an=n2n+2i)an= n nj)an=1 + 2 2 + 33 3 + +nn nn23. En el estudio de la procreaci on de conejos, Fibonacci (hacia 1175-1250) encontr o la hoy famosa sucesi onque lleva su nombre, definida por recurrencia comoan+2=an+an+1,a1= 1,a2= ) Escribir sus 12 primeros t ) Escribir los 10 primeros t erminos de la sucesi on definida porbn=an+1an,paran Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-062c) Usando la definici on del apartado anterior, probar quebn= 1 +1bn 1d) Si limbn= usar los apartados anteriores para verificar que = 1 +1.

2 Resolver esta ecuaci onen ( se conoce como lasecci on aurea).4. Verificar que la serie dada es ) n=1n n2+ ) n=203(32) ) n=01000(1,055) ) n=12n+ 12n+ ) n=1n! Verificar que la serie dada converge:a) n=0(0,9)nb) n=11n(n+ 1). (Usar fracciones simples).c) n=11n(n+ 2).6. Calcular la suma de las series convergentes ) n=1( 12) ) n=14n(n+ 2).c) n=11(2n+ 1)(2n+ 3).d) n=1(12n 13n).7. Expresar cada decimal peri odico como una serie geom etrica y escribir su suma en forma de cocientede dos n umeros ) 0,07575b) 0, Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-0638. Sea anuna serie convergente y seaRn=an+1+an+2+ el resto de la serie tras losnprimeros t erminos. Demostrar que limRn= Hallar dos series divergente any bntales que (an+bn) sea convergente. Si anconverge y bndiverge, demostrar que (an+bn) Usar el criterio de comparaci on directa para saber si la serie converge o ) n=11n2+ ) n=013n+ ) n=2lognn+ ) n=01n!

3 E) n=0e ) n=14n3n Usar el criterio de comparaci on en el l mite para determinar si la serie es convergente o ) n=21 n2 ) n=12n2 13n5+ 2n+ ) n=11n(n2+ 1).d) n=1nk 1nk+ 1,k> ) n=1tg(1n).12. Usar el criterio de comparaci on en el l mite con la serie arm onica para demostrar que la serie an(conan 0) diverge si limnan6= Probar que la serie n=1sin(1n) :Usa el apartado anterior14. Probar que siP(n) yQ(n) son polinomios de grados respectivosjyk, la Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-064 n=1P(n)Q(n)converge sij<k 1 y diverge sij k Analizar si la serie dada es convergente o divergente, usando el criterio de series ) n=1( 1)n+ ) n=1( 1)nn2n2+ ) n=1( 1)n+1log(n+ 1)n+ ) n=1sin(2n+ 1) ) n=1( 1)n(2n)!.f) n=12( 1)n+1en e Determinar si la serie dada es condicional o absolutamente ) n=1( 1)n+1(n+ 1) ) n=1( 1)n+1n+ ) n=2( 1) ) n=1( 1)nnn3 ) n= ) n=1sin[(2n 1) /2] Demostrar que la serie arm onica alternada generalizada n=1( 1)n(1np)converge sip> Probar que si |an|converge, entonces Determinar si la serie dada es convergente o Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-065a) n= ) n=1(n2n+ 1) ) n= ) n=1( 1)n+1(n+ 2)n(n+ 1).

4 E) n=1( 2n3n+ 1) ) n=0n! ) n=1nnn!.h) n=13n(n+ 1) ) n=1( 1)n+1n!1 3 5 (2n+ 1).j) n=0e ) n=1( 1)n3n 1n!.l) n= ) n=1( 3)n3 5 7 (2n+ 1).n) n=0a(a+ 1)(a+ 2) (a+n+ 1)b(b+ 1)(b+ 2) (b+n+ 1),a,b> Aproximar la suma de la serie convergente con un error menor que a) n=1( 1)n+12n3 1con = ) n=0( 1)nn!con = ) n=112nncon = ) n=11n5con = ) n=13nn!con = Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-0662. Sucesiones y series de funciones21. Se define, para cadan IN, la funci onfn: [0, ) IR dada por:fn(x) =11 +nxk,k IR+a) Encontrar la funci on l mite puntual de la sucesi on funcional{fn}.b) Justificar que la convergencia no es Sea{fn}confn: [0,1] IR la sucesi on de funciones dada por:fn(x) = 2nxe ) Comparar 10limfncon lim ) Qu e se deduce de este resultado?]

5 Define, para cadan IN, la funci onfn: [ , ] IR dada porfn(x) =x2n1 +x2nSe pide encontrar la funci on l mite puntual de{fn}y justifica que la convergencia no es 29-01-00. Demostrar que la serie n=1sin(nx)n3converge uniformemente enRy adem as 0 n=1sin(nx)n3dx= 2 n=11(2n 1) Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-061 Soluciones a los ejercicios1. Sucesiones y series num ericasP-1:a) 1 +2n 12nb)n(n+ 1)(n+ 2)c)1n!d)11 3 5 (2n 1)e) 2n( 1)n+1f) ( 1)bn2cP-2:a) 0b) 0c)32d) 0e) Sucesi on no 1= 0,a2n= ( 1) ) En principio se tiene:liman= .Para resolver vamos a usar el Teorema del sandwich (o encaje). Observemos que:0 n!nn=nnn 1n 1n 1 1 1nSeanbn= 0 ycn= 1/ncomo ambas tienen l mite 0 y al estaran=n!nnencajada entre ellas,entonces se tiene:liman= ) Se tiene que:liman= para resolver esta indeterminaci on, usamos la propiedad que relaciona el l mite de una funci oncon el de una sucesi on.

6 Para ello consideremos la funci onf(x) =xpexque cumple quef(n) = tanto, se tiene quelimn an= limx f(x).Abordamos la indeterminaci on limx f(x) = mediante la Regla de L H opital, obteni endose:limx f(x) = limx pxp 1ex={0p 1 0 p 1>0En el caso en quep 1>0, aplicamos de nuevo L H opital:limx f(x) = limx p(p 1)xp 2ex={0p 2 0 p 2>0 Por tanto, aplicando L H opital exactamentedpe-veces llegamos a:limx f(x) = Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-062h) 0i) 1j) Para calcular el siguiente l mite, liman, recurrimos a la Regla de Stolz, dondean=cnbnconcn= 1 + 2 2 +3 3 + +nn nybn=n2. Veamos que se satisfacen las condiciones de estaregla: Es claro quebnes estrictamente creciente. limbn= .Por tanto, pasamos a calcular el siguiente l mite:limcn cn 1bn bn 1= limnn nn2 (n 1)2= limn2n 1 limn n=12 1,al existir, coincide con el l mite dean=cn/bn.}}

7 Por tanto, tenemosliman= :a) 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144b) 2,3/2,573,8/5,13/8,21/13,34/21,55/34,89/ 55,144/89c) 1 +1bn 1= 1 +1anan 1=an 1+anan=an+1an=bnd) Tomando l mite en los dos extremos de la identidad del apartado anterior, se tiene:limbn= 1 +1limbn 1usando que limbn= limbn 1,y denotando limbnpor llegamos a la ecuaci on: = 1 +1 ,resolvi endola se tiene: =1 52P-4:a) Diverge pues limn n2+ 1= 16= ) Diverge por ser una serie geom etrica de raz on 3/2> ) Diverge por ser una serie geom etrica de raz on 1,055> ) Diverge pues lim2n+ 12n+1=126= ) Diverge pues limn!2n= lim122232 n2>lim1222=12>0, por tanto, no verifica el teorema dell mite del t ermino general de una serie :a) Convergente por ser serie geom etrica de raz on 0,9< ) Es una serie telesc opica: n=11n(n+ 1)= n=1(1n 1n+ 1).

8 C) Por el criterio de comparaci on por paso al l mite:lim1/(n(n+ 2))1/n2= 1n2converge, entonces 1n(n+ 2)tambi Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-063P-6:a) Serie geom etrica de raz on 1/2. La suma es: 1/21 ( 1/2)= 1 ) n=14n(n+ 2)=42 n=11n 1n+ 2= 2(1 +12)= ) Para resolver este tipo de ejercicios, donde se nos pide calcular la suma exacta de una serienum erica, debemos caer en el hecho de que en teor a s olo hemos visto como se suman dos tiposde series : las geom etricas y las telesc opicas. Por ello, lo primero que debemos hacer es ver a quemodelo de las dos anteriores se ajusta mejor, la serie que pretendemos este caso es claro que no se parece a una geom etrica. Ahora, vamos a descomponer el cociente1(2n+ 1)(2n+ 3)en fracciones simples, para ver si se ajusta al modelo de las telesc opicas:1(2n+ 1)(2n+ 3)=A2n+ 1+B2n+ 3operando tenemosA= 1/2 yB= 1/2.

9 Adem as observamos que sibn=1/22n+1entoncesbn+1=1/22n+3, por tanto tenemos: n=11(2n+ 1)(2n+ 3)= n=1(1/22n+ 1 1/22n+ 3)= n=1(bn bn+1) =b1 limbn+1=b1= 1 ) Teniendo en cuenta que las series 12ny 13nson geom etricas de raz onr= 1/2 yr= 1/3,respectivamente. Por tanto, ambas convergentes, se tiene que: n=1(12n 13n)= n=112n n= as, n=112n=1/21 1/2= 1 y n=113n=1/31 1/3= 1/2. As pues: n=1(12n 13n)= 1 :a) = + +..= 10 2+ 10 4+..=7510 n=1(1102)n=75101/1021 1/102=75990b) = + + +..= +1510 n=1(1102)n=71330P-8:LlamandoSn=n i=1aiyS= i=1ai, tenemos queSn+Rn=S. Tomando l mite en esta igualdad ultima y usando la propiedad de los l mites, tenemos:limSn+ limRn= limSusando que limS=S(l mite de una sucesi on constante) y que limSn=S(por definici on), deducimosque limRn= Ingeniero T ecnico en Inform atica Curso 2005-064P-9:Por ejemplo, 1ny 1n+ 1son divergentes, pero (1n+ 1n+ 1)= 1n(n+ 1)es anconverge y bndiverge, demostrar que (an+bn) diverge: Por reducci on al absurdo,suponer que (an+bn) converge.

10 Entonces ((an+bn) an) = bntambi en converger a lo quecontradice la hip :a) Para cualquiernnatural se tiene:n2+ 1>n2 1n2+ 1<1n2 n=11n2+ 1 n=11n2,como sabemos que 1n2converge, entonces 1n2+ 1tambi ) Converge. Comparar con (13) ) Paran 3, se tiene:1<lnn 1n+ 1<lnnn+ 1 n=31n+ 1 n=3lnnn+ 1,como sabemos que n=31n+ 1diverge, entonces n=3lnnn+ 1tambi en. (Obs ervese que la serie deeste apartado comienza la suma enn= 2, pero sabemos que el car acter de una serie no dependedel valor donde se comience la suma).d) Converge. Comparar con ) Converge. Comparar con ) Diverge. Comparar con (43) :a) Divergente. Comparar con ) Convergente. Comparar con ) Convergente. Comparar con ) Divergente. Comparar con ) Divergente. Comparar con :Suponiendo que limnanes distinto de cero.