11. Semejanza. Teorema de Thales y Pitágoras

1 BLOQUEIVG eometr a11. Semejanza. Teorema de Thales y Pit goras12. Cuerpos en el espacio13. reas y vol menes284 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, Teoremasde Thales y Pit goras1. Figuras semejantesDe las figuras siguientes, hay dos semejantes. Cu -les son?De las figuras siguientes, A es la original. Cu l delas siguientes es ampliaci n y cu l es reducci n?Halla el tanto por ciento de ampliaci n y reduc-ci n n:B es una reducci ,6r = = 0,73 = 73 %2,2C es una ampliaci ,3r = = 1,5 = 150 %2,2 ABC2 Soluci n:Son semejantes la A y C porque tienen la misma LA TEOR ASi la Torre del Oro mide aproximadamente 20 m de alto, cu nto mide aproximadamente de alto la Giralda deSevilla?Soluci n:Si la Torre de Oro mide 1 cm en el libro, en la realidad mide aproximadamente20 m; y si la Giralda en el libro mide 5 cm, su altura en la realidad ser :20 5 = 100 m la Torre del Oro mide 20,79 m, y la Giralda, 97,5 mPIENSA Y CALCULA25,6 : 0,68 |C = 37,64; R = 0,0048 Carn calculistaTEMA 11.

2 SEMEJANZA. Teorema DE Thales Y PIT GORAS285 Grupo Editorial Bru o, Teorema de ThalesMediante la t cnica de cuadriculado, haz un avi nsemejante al siguiente, pero con el doble de ta-ma una proyecci n que tenga como centroel v rtice A, dibuja otro tri ngulo rect ngulo quesea una ampliaci n al 150%. Cu nto mide cadauno de los lados?Soluci n:a = 1,5 5 = 7,5b = 1,5 4 = 6 cmc = 1,5 3 = 4,5 cmb = 4 m c = 3 m a = 5 m BA C4 Soluci n:Hay que hacer un cuadriculado que tenga de lado eldoble. El original mide 4 cm de largo; por tanto, elsemejante, 8 cm y en cada casilla hay que hacer lamisma una persona que mide 1,75 m proyecta una sombra de 1,75 m, y en el mismo lugar, el mismo d a y a la mis-ma hora la sombra de un rbol mide 6,5 m, cu nto mide la altura del rbol?

3 Soluci n:Se observa que la altura de la persona es igual a la sombra; por tanto, lo mismo suceder en el rbol. El rbolmide 6,5 mPIENSA Y CALCULAb = 4 mc = 3 ma = 5 mBB'ACC' + : = 12710153427 Carn calculista286 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, que AB = 9 cm, BC = 12 cm y A B = 7,5 cm,halla la longitud del segmento B C . Qu teoremahas aplicado?Divide el segmento aen partes proporcionales alos segmentos b,cy dDibuja un tri ngulo rect ngulo cuyos catetosmidan 3 cm y 4 cm. Dibuja otro tri ngulo rect n-gulo en posici n de Thales , de forma que el catetomenor mida 6 cm. Cu nto mide el otro cateto?Dos ngulos de un tri ngulo miden 55 y 65 , ydos ngulos de otro tri ngulo miden 55 y 60 . Son semejantes ambos tri ngulos?En una fotograf a est n Pablo y su padre.

4 Se sabeque Pablo mide en la realidad 1,50 m. Las medidasen la fotograf a son: Pablo, 6 cm, y su padre, 7,2 cm. Cu nto mide su padre en la realidad?Soluci n:67,2 = 150xx = 180 cm = 1,8 m9 Soluci n:El tercer ngulo del 1ertri ngulo mide:180 (55 + 65 ) = 180 120 = 60 Es decir, los ngulos del 1ertri ngulo miden: 55 , 65 y60 El tercer ngulo del 2 tri ngulo mide:180 (55 + 60 ) = 180 115 = 65 Es decir, los ngulos del 2 tri ngulo miden: 55 , 60 y65 Como los dos tri ngulos tienen sus ngulos iguales,son n:r = 6 : 3 = 2c = 2 4 = 8 cm7 Soluci n:abcd6 Soluci n:A'B'B'C'7,5B'C' = = ABBC912B'C' = 10 cmHemos aplicado el Teorema de 'BB'CC'5 APLICA LA TEOR Aabb'cc'dd'rc = 4 mb = 3 mCAB'C'BTEMA 11. SEMEJANZA. Teorema DE Thales Y PIT GORAS287 Grupo Editorial Bru o, Relaciones en figuras semejantesUn lado de un tri ngulo mide 3,5 m, y el lado co-rrespondiente de otro tri ngulo semejante mi-de 8,75 cm.

5 Si el per metro del primer tri ngulomide 12 m y el rea mide 4,6 m2:a) cu nto mide el per metro del tri ngulo seme-jante?b) cu nto mide el rea del tri ngulo semejante?Una arista de un ortoedro mide 2,5 m, y la aristacorrespondiente de otro ortoedro semejantemide 3,75 m. El rea del primer ortoedro mide71,5 m2, y el volumen, 39,375 m3. Halla en el ortoe-dro semejante:a) El ) El volumen. Qu escala es mayor, 1:200 o 1:20 000? Cu lcorresponde a un mapa y cu l a un plano?Un terreno tiene forma rectangular y mide 3 kmde largo. Se dibuja un rect ngulo semejante de6 cm de ) Halla la ) El objeto dibujado es un plano o un mapa?En el plano siguiente, el sal n mide 3 cm 2 sus dimensiones y el rea en la nDormitorioEscala 1:200 Cocina14 Soluci n:a) 6 cm : 3 km = 6 : 300 000 = 1:50 000b) Es un n:1:200 = 0,0051:20 000 = 0,00005La 1 es 1 corresponde a un 2 corresponde a un n:3,75r = = 1,52,5A'a) = 1,52= 2,25AA = 2,25 71,5 = 160,875 m2V'b) = 1,53= 3,375VV = 3,375 39,375 = 132,89 m311 Soluci n:8,75r = = 2,53,5P'a) = 2,5PP = 2,5 12 = 30 mA'b) = 2,52= 6,25AA = 6,25 4,6 = 28,75 m210 APLICA LA TEOR AUn cuadrado tiene 9 m2de rea.

6 Calcula el rea de otro cuadrado cuyo lado mide el n:El lado del 1ercuadrado mide 3 m, luego el lado del 2 cuadrado medir 6 m rea del 2 cuadrado: 62= 36 m2 PIENSA Y CALCULA36,89 : 5,9 |C = 6,25; R = 0,015 Carn calculista288 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, Teorema de Pit gorasMidiendo con la regla en el mapa siguiente, calcula ladistancia que hay en l nea recta entre:a) Barcelona y La Coru a. b) Bilbao y C ) Huelva y ) Valencia y 1:25 000 000 Las dimensiones de una maqueta de un coche aescala 1:50 son 9 cm 3,6 cm 3 cm. Calcula susdimensiones en la n:Largo: 9 50 = 450 cm = 4,5 mAncho: 3,6 50 = 180 cm = 1,8 mAlto: 3 50 = 150 cm = 1,5 m16 Soluci n:a) 3,6 25 000 000 = 90 000 000 cm = 900 kmb) 3,3 25 000 000 = 82 500 000 cm = 825 kmc) 2,8 25 000 000 = 70 000 000 cm = 700 kmd) 1,2 25 000 000 = 30 000 000 cm = 300 kmFRANCIAPORTUGALM adridM lagaSevillaZaragozaBarcelonaValenciaBale aresCanariasLugoPontevedraZamoraPalencia vilaSegoviaSoriaGuadalajaraCiudad RealCuencaToledoTeruelHuescaGeronaLa Coru aOrenseAsturiasCantabriaLe nSalamancaBurgosValladolidLa RiojaVizcayaGuip zcoa lavaAlbaceteC ceresBadajozC dizGranadaJa nAlmer aC rdobaHuelvaNavarraL ridaTarragona Castell nAlicanteMurcia18 O16 O14 O28 N29 N0 2 O4 O6 O8 O10 O42 N2 E4 E0 2 O2 E38 N40 N40 N36 N42 N38 N36 N0100200400 km300 Escala 1:25 000 00015 Soluci n:Largo: 3 200 = 600 cm = 6 mAncho.

7 2 200 = 400 cm = 4 m rea: 6 4 = 24 m2En un tri ngulo rect ngulo, la altura relativa a lahipotenusa divide a sta en dos segmentos conlongitudes de 3 cm y 12 cm. Halla la longitud dedicha altura y dibuja el tri ngulo rect un tri ngulo rect ngulo, la hipotenusa mide 5 my la proyecci n del cateto bsobre ella mide 1,8 :a) La longitud del cateto bb) La longitud de la proyecci n del cateto csobrela ) La longitud del cateto cd) La longitud de la altura relativa a la hipotenusa h e) Dibuja el tri ngulo rect n:a) b2= a b b2= 5 1,8 = 9 mb = 3 m18 Soluci n:h2= b c h2= 3 12 = 36h = 6 cm17 APLICA LA TEOR ASustituye los puntos suspensivos por el signo de igualdad, ==, o de desigualdad, ??:a) 32+ 42b) 62+ 82c) 62+ 102d) 52+ 122 Soluci n:a) 52= 32+ 42b) 62+ 72 82c) 62+ 82= 102d) 132= 52+ 122 PIENSA Y CALCULAb' = 3 cmc' = 12 cmh = 6 cmbac( 2): = 631015 Carn calculistaTEMA 11.

8 SEMEJANZA. Teorema DE Thales Y PIT GORAS289 Grupo Editorial Bru o, un tri ngulo rect ngulo, los catetos miden 3,5 cmy 2,5 cm. Haz el dibujo y halla la longitud de la hipo-tenusa. Redondea el resultado a dos un tri ngulo rect ngulo, la hipotenusa mide4,5 cm, y un cateto, 3 cm. Haz el dibujo y halla lalongitud del otro cateto. Redondea el resultado ados la interpretaci n geom trica del teoremade Pit goras en el caso en que los lados midan6 cm, 8 cm y 10 cm Cu les de las siguientes ternas son pitag ricas?a) 2, 3 y 4b) 3, 4 y 5c) 4, 5 y 6d) 5, 12 y 13En una pir mide cuadrangular, la arista de la basemide 6 cm, y la altura, 8 cm. Calcula cu nto mide laapotema de dicha pir mide. Redondea el resultadoa dos n:h2= 32+ 82h = 8,54 cm6 cmhh3 cm8 cm8 cm23 Soluci n:a) 22+ 32 42 Nob) 32+ 42= 52 S c) 42+ 52 62 Nod) 52+ 122= 132 S 22 Soluci n:100 = 64 + 3621 Soluci n:a2= b2+ c24,52= 32+ c2c = 3,35 cm20 Soluci n:a2= b2+ c2a2= 3,52+ 2,52a = 4,30 cm19b) c = a b c = 5 1,8 = 3,2 mc) c2= a c c2= 5 3,2 = 16c = 4 md) h2= b c h2= 1,8 3,2 = 5,76h = 2,4 me) Dibujob' = 1,8 mc' = 3,2 mh = 2,4 mb = 3 ma = 5 mc = 4 mabca2b2c2102 = 10082 = 6462 = 36b = 3,5 cmac = 2,5 cmb = 3 cmca = 4,5 cm290 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, y problemas1.

9 Figuras semejantesDe las figuras siguientes, la A es la original. Cu lde las otras es ampliaci n y cu l es reducci n?Halla el tanto por ciento de ampliaci n y reduc-ci n la t cnica de cuadriculado, haz un barcosemejante al siguiente, pero que tenga el doble detama una proyecci n que tenga como centroel centro del rombo, dibuja otro rombo que seauna ampliaci n al 250%. Cu nto miden las nuevasdiagonales?2. Teorema de ThalesSabiendo que AB = 15 cm, BC = 20 cm yB C = 24 cm, halla la longitud del segmento A B . Qu Teorema has aplicado?Soluci n:A'B'B'C'A'B'24 = = ABBC1520A'B' = 18 cmSe ha aplicado el Teorema de 'BB'CC'27 Soluci n:D = 2,5 3 = 7,5 cmd = 2,5 2 = 5 cmD = 3 cmd = 2 cm26 Soluci n:Hay que hacer una cuadr cula que tenga de lado eldoble.

10 El original tiene 4 cm de largo, por tanto, elsemejante debe medir 8 cm, y en cada casilla hayque hacer la misma n:Se mide la altura de cada una de las pajaritas y sebusca la raz es una ampliaci = = 1,2 = 120%2,5C es una reducci ,2r = = 0,48 = 48%2,5 ABC24 TEMA 11. SEMEJANZA. Teorema DE Thales Y PIT GORAS291 Grupo Editorial Bru o, el segmento aen partes proporcionales alos segmentos by cSabiendo que AB = 1,5 cm, AC = 3 cm yAB = 2,25 cm, halla la longitud del lado AC . C mo est n los tri ngulos ABC y AB C ?Un ngulo de un tri ngulo mide 47 , y los lados quelo forman, a = 5 cm y b = 7 cm. En otro tri ngulosemejante, se sabe que un ngulo mide 47 y queuno de los lados que lo forman mide a = 12 cm. Cu nto mide el otro lado del ngulo de 47 ?Un rbol de 1,5 m proyecta una sombra de 1 m.