応用解析 第14回 ローラン展開 - Nanzan U

1 14 .. 1 f (z) A : R1 < z < R2 A .. f (z) = ck (z )k = c k (z ) k + ck (z )k (1) . k= !##"##$ k=0. k=1 !##"## $ . ( ) ( ).. A C .. 1 f (z). ck = dz ( < k < ) (2). 2 i C (z )k+1. f (z) //. R1 = 0 ( 2 = 0 ) R2 = ( 4 = 0 ) .. 2 ( ) A (1) (2) . f (z) //.. 1. 1 ( ) f (z) = $ z (0 < z < 1) . 2 1. = z + z + k z 2 (1 z) ! #"#. ! k=0.. 1. z < 1 f (z) = 2. z (1 z). = z 2. z k = z k 2. = z 2. + z 1. + z k //. k=0 k=0 k=0. 2 1 3 2 4 3. 0 0 1 3 0. 1. 1. 2. 1 1 k 1.. 2 ( ) f (z) = = ( 1)k+1 ( z 1) 2 k 1 (z 1)k (1 < z 1 < 2) . z(z 3) 3 3 k=0. !k=1. ###"###$ !## #"### $.. 1 1 1 . f (z) = . 3 z 3 z . 1 1. = 1 < z 1 < 2 z 1 < 2 . z 3 (z 1) 2. 1 z 1 . k 1 1 1 1. =. z 3 (z 1) 2. =. 2 z 1. =. 2. 2 = 2 k 1(z 1)k . ( ). ! ! ! 1 k=0 k=0. 2. 1 1. = 1 < z 1 < 2 z 1 > 1 . z (z 1) ( 1). k 1 1 1 1 1 1 . =. z (z 1) ( 1). =. z 1 1 1. = .. z 1 k=0 z 1.. = ( 1)k+1 ( z 1).

2 ( ). k ! ! ! k=1. (z 1).. ( 1)k+1 k 1 + . 3 ( ) f (z) = ze 1/z = z! z ( z > 0) . !#. (k + 1)! k=1 #"## $.. wk 1. ew = k! w = 1 / z e 1/z = k! ( z 1 )k . k=0 k=0.. 1 ( 1)k k+1 ( 1)k+1 k f (z) = ze 1/z = z ( z 1 )k = z 1+ z = z 1+ z . k=0. k! k=2. k! k=1. (k + 1)! w < z > 0 z > 0 //.. ( f (z) = 1 / z z = 0 ) ( f (z) = sin z / z z = 0 ) . z = . z = f (z) r > 0 0 < z < r f (z) //. 0 < z < r f (z) r > 0 1 OK . (1) . = 0 ( f ( ) = c0 ) . n ( n ) = c k (z ) k c n 0 n 1 1 . k=1.. = c k (z ) k 0 c k 3 . k=0. sin z 4 ( ) z = 0 f (z) = . z sin z 1 ( 1)k z 2k+1 ( 1)k z 2k f (z) = = = =0 f (z) . z z k=0 (2k + 1)! k=0. (2k + 1)! 14 . 1. f (z) = 2 . (z + 1)(z + 2). 14 . 1. f (z) = 2 . (z + 1)(z + 2).. z = 1, 2 2 . 1 1 1. f (z) = = . (z + 1)(z + 2) z + 1 z + 2. A H1L B H2L C H3L. -2 -1 0 -2 -1 -2 -1. 1 1. 2 1. (1) 1 < z < 2 ( A) 0 . z = 1 ( ) z = 2 ( ).

3 K 1 1 1 1 1 1 . z > 1 = = = = ( 1)k 1 z k ( ). z + 1 z! ( 1) . ! !z 1 ( 1 / z) z k=0 z k=1.. k 1 1 1 1 1 z . z < 2 = = = = ( 2) k 1 z k . z + 2 2! ( z) . ! 2! 1 ( z / 2) 2 k=0 2 k=0.. 1 1. f (z) = = ( 1)k 1 z k + ( 2) k 1 z k (1 < z < 2) . z + 1 z + 2 k=1. !# #"## $ k=0 !##"## $.. (2) 0 < z + 1 < 1 ( B) 1 . z = 1 ( ) z = 2 ( ) . 1 1. z + 1 > 0 . z +1 z +1.. 1 1. z + 1 < 1 = ( (z + 1)) = ( 1)k (z + 1)k . k =. z + 2 1 ( (z + 1)) k=0 k=0.. 1 1 1. f (z) = = ( 1)k (z + 1)k (0 < z < 1) . z +1 z + 2 !z + 1 k=0. !##"##$.. (3) z + 2 > 1 ( C) 2 . z = 1 ( ) z = 2 ( ) . k 1 1 1 1 1 1 . z + 2 > 1 =. z + 1 (z + 2) 1. =. z + 2.. 1 (1 / (z + 2)). =. z + 2.. z + 2. = (z + 2) . k !"# ! ! k=0 k=1.. 1 1. z + 2 > 1 . z+2 z+2.. 1 1. f (z) = = (z + 2) k (z + 2) 1 = (z + 2) k . z + 1 z + 2 k=1. !#"#$. k=2.. 1 A z A 2 C1 : = r1, C2 : = r2 ( ) .. 1 f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ).

4 F (z) = d = d + d (z A) (3). 2 i C2 C1 z 2 i C1 z 2 i C2 z !##"##$ !##"##$. S1 S2. S1 (1) S2 (1) . ( ) S1 C1, z A z > .. 1 1 1 1 ( )k = = = . z ( ) (z ) z 1 k=0 (z ). k+1. z . (3) S1 ( )k 1 f ( ) A C1 C . 1 . ( )k 1 f ( ) . S1 = (z )k d . 2 i C1 k=1.. 1 . = C1 ( ) f ( )d (z ). k 1 k . 2 i k=1 . (2) . 1 . = ( )k 1 f ( )d (z ) k = c k (z ) k .. k=1. 2 i C k=1. ( ) S2 C2 , z A z < .. 1 1 1 1 (z )k = = = . z ( ) (z ) 1 z k=0 ( )k+1.. (3) S1 f ( ) / ( )k+1 A C1 C .. 1 (z )k f ( ) 1 f ( ). S2 = . 2 i C2 k=0 ( ) k+1. d = . 2 i C2 ( ) k+1. d (z )k . k=1 . 1 f ( ) (2) . = C ( )k+1 . d (z ) k = ck (z )k . / /. k=1 2 i k=0.. 2 A : R1 < z < R2 f (z) = bk (z )k . k= .. z A f (z) = kbk (z )k 1 f (z) 1 f (z) . k= .. f (z) = ck (z )k C : z = r, R1 < r < R2 . k= . 1 . 1 f (z) 1 . ck = . 2 i (z ). C k+1. dz = . 2 i k= . C. bl (z )l k 1. dz = bl . 2 i C.

5 (z )l k 1 dz .. k= . C : z = + reit (t : 0 2 ) . 1 1 2 (l k 1)it t 1 2 (l k)it 1 (l = k), 2 i C. (z )l k 1 dz =. 2 i 0. e ie dt =. 2 0 e dt = kl = . 0 (l k).. ck = bl kl = bk . k= . //.