ÁLGEBRA LINEAR - UFSC

1 LGEBRA LINEARC ombina o LINEAR , Subespa os Gerados, Depend ncia e Independ ncia LinearProf. Susie C. KellerCombina o LINEAR Sejam os vetores v1, v2, .., vndo espa o vetorial V e os escalares a1, a2, .., an. Qualquer vetor v V da forma:v = a1v1+ a2v2+ .. + anvn uma combina o LINEAR dos vetores v1, v2, .., o LINEAR Exemplos: No espa o vetorial P2dos polin mios de grau 2, o polin mio v = 7x2+ 11x 26 uma combina o LINEAR dos polin mios:v1= 5x2 3x + 2 e v2= -2x2+ 5x -8De fato:v = 3v1+ 4v2pois:Combina o LINEAR Exemplos: No espa o vetorial P2 dos polin mios de grau 2, o polin mio v = 7x2+ 11x 26 uma combina o LINEAR dos polin mios:v1= 5x2 3x + 2 e v2= -2x2+ 5x -8De fato:v = 3v1+ 4v2pois:Combina o LINEAR Exemplos: No espa o vetorial P2 dos polin mios de grau 2, o polin mio v = 7x2+ 11x 26 uma combina o LINEAR dos polin mios:v1= 5x2 3x + 2 e v2= -2x2+ 5x -8De fato:v = 3v1+ 4v2pois:Combina o Linear2) Escrever v = (-4, -18, 7) como combina o LINEAR de v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1).

2 Pretende-se que:v = a1v1+ a2v2(-4, -18, 7) = a1(1, -3, 2) + a2(2, 4, -1)(-4, -18, 7) = (1a1, -3a1, 2a1) + (2a2, 4a2, -1a2)Combina o LinearSubespa os Gerados Seja V um espa o vetorial. Consideremos um subconjunto A={v1, v2, .., vn} V, A . O conjunto S de todos os vetores de V que s o combina es lineares dos vetores de A um subespa o vetorial de os Gerados De fato, se:u = a1v1+ a2v2+ .. + anvnev = b1v1+ b2v2+ .. + bnvns o dois vetores quaisquer de S, pode-se escrever:I) u + v = (a1+ b1)v1+ (a2 + b2)v2+ .. + (an+ bn)vnII) u = ( a1)v1+ ( a2)v2+ .. + ( an)vnTendo em vista que u + v Se que u S, por serem combina es lineares de v1, v2, .., vn, conclui-se que S um subespa o vetorial de os Gerados Simbolicamente, o subespa o S :S = {v V/ v = a1v1+ a2v2+.}

3 + anvn IR}Observa es: Diz-se que o subespa o S geradopelos vetores v1, v2, .., vn, ou geradopelo conjunto A, e representa-se por: S = [v1, v2, .., vn] ou S = G(A)Logo, v1, v2, .., vns o chamados geradores do subespa o S, enquanto A o conjunto geradorde os Gerados Para o caso particular de A = , define-se [ ] = {0}. A G(A), ou seja, {v1, v2, .., vn} [v1, v2, .., vn]. Se G(A) = V, A um conjunto gerador de os Gerados Exemplos:1) Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1)geram o IR2, pois qualquer (x, y) IR2 combina o LINEAR de ie j:(x, y) = xi+ yj= x(1, 0)+ y(0, 1)= (x, 0) + (0, y) = (x,y)Ent o:[i, j] = IR22) Os vetores i = (1, 0, 0) e j = (0, 1, 0)do IR3geram o subespa o S = {(x, y, 0) IR3/x, y IR}pois(x, y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) Ent o:[i, j] = S um subespa o do IR3 e representa, geometricamente, o plano os GeradosSubespa os Gerados Observa es: Dados n vetores v1.

4 , vnde um espa o vetorial V, se w V, tal que:w = a1v1+ .. + anvnEnt o[v1, .., vn, w] = [v1, .., vn] Pois todo vetor v que combina o LINEAR de v1,..,vn,w tamb m combina o LINEAR de v1, .., os Gerados Supondo que v [v1, .., vn, w] ent o existem n meros reais b1, .., bn, b tais quev = b1v1+ .. + bnvn+ bwMasw = a1v1+ .. + anvnlogov = b1v1+ .. + bnvn+ b(a1v1+ .. + anvn)ouv = (b1+ ba1) v1 + .. + (bn+ ban)vnSubespa os Gerados Portanto v combina o LINEAR de v1, .., vn:v [v1, .., vn] A rec proca, se v [v1, .., vn] , ent o v [v1, .., vn, w] trivial, pois se:v = b1v1+ .. + bnvn,ent ov = b1v1+ .. + bnvn+ 0wAssim,sendoSumsubespa ogeradoporumconjuntoA,aoacrescentarmosve toresdeSaesseconjuntoA,osnovosconjuntosc ontinuar ogerandoomesmosubespa ,umsubespa oSpodesergeradoporumainfinidadedevetores ,por mexisteumn merom nimodevetoresparager os Vetoriais Finitamente Gerados Umespa ovetorialV finitamentegeradoseexisteumconjuntofinit oA,A V,talqueV=G(A).

5 Osexemplosvistosat agoras odeespa osvetoriaisfinitamentegerados. Ex.:IR3 geradopeloconjuntofinitodetr svetores:A={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},poi s (x,y,z) IR3,tem-se:(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0 ,0,1)Espa os Vetoriais Finitamente Gerados Trataremos,emgeral,deespa osvetoriaisfinitamentegerados. Umexemplodeespa ovetorialquen o finitamentegerado oespa oPdetodosospolin miosreais. Ex.:DadoA={p1,..,pn} Pondepn umpolin miodegraun,qualquercombina olineara1p1+a2p2+..+anpntemgrau os Vetoriais Finitamente Gerados Assim,osubespa o[p1,..,pn]cont msomentepolin miosdegraumenorouigualaograudepn. ComoP formadoportodosospolin mios,existemnelepolin miosdegraumaiorqueodepn. Logo,G(A) PparatodoconjuntofinitoA ncia e Independ ncia LINEAR Oespa ovetorialIR3podesergeradoportr svetoresou,tamb m,porquatroouporcincovetores.

6 Tr svetoresconstituemon merom nimonecess rioparageraroIR3. Nocasodautiliza odemaisdetr svetoresparageraroIR3,sobramvetoresnocon juntogerador. Onossointeresse semprequeoconjuntogeradorsejaomenorposs vele,paraisso,precisamosterno odosconceitosdedepend nciaeindepend ncia e Independ ncia LINEAR Defini oSejaVumespa ovetorialeA={v1,..,vn} o:a1v1+a2v2+..+anvn=0(1)Sabemosqueessaeq ua oadmitepelomenosumasolu o(solu otrivial):a1=a2=..=an=0 Depend ncia e Independ ncia LINEAR OconjuntoA ditolinearmenteindependente(LI),ouosveto ress oditoslinearmenteindependentescasoaequa o(1)admitaapenasasolu otrivial. Seexistiremsolu esai 0,diz-sequeoconjunto linearmentedependente(LD),ouqueosvetores v1,..,vns ncia e Independ ncia LINEAR Exemplos:1)Noespa ovetorialV=IR3,osvetoresv1=(2,-1,3),v2=( -1,0,-2)ev3=(2,-3,1)formamumconjuntoline armentedependente,pois:3v1+4v2 v3=0ouseja3(2,-1,3)+4(-1,0,-2)-(2,-3,1)= (0,0,0)Depend ncia e Independ ncia Linear2)Noespa ovetorialV=IR4,osvetoresv1=(2,2,3,4),v2= (0,5,-3,1)ev3=(0,0,4,-2) :a(2,2,3,4)+b(0,5,-3,1)+c(0,0,4,-2)=(0,0 ,0,0)(2a,2a,3a,4a)+(0,5b,-3b,b)+(0,0,4c, -2c)=(0,0,0,0)(2a+0+0,2a+5b+0,3a-3b+4c,4 a+b-2c)=(0,0,0,0)Depend ncia e Independ ncia LinearDepend ncia e Independ ncia LINEAR Teorema UmconjuntoA={v1.}

7 ,vi,..,vn} LDse,esomentese,pelomenosumdessesvetores combina olineardosoutros. Ademonstra o constitu dadeduaspartes:1 )Seja A linearmente o, por defini o, um dos coeficientes de:a1v1+ .. +ai-1vi-1+ aivi+ ai+1vi+1+.. + anvn= 0deve ser diferente de ncia e Independ ncia LINEAR Supondoqueai 0,vem:aivi= +1vi+ Portanto,vi umacombina Depend ncia e Independ ncia Linear2 )Seja viuma combina o LINEAR dos outros que:vi= b1v1+ .. + bi-1vi-1+ bi+1vi+1+ .. + bnvnou, ainda:b1v1+ .. + bi-1vi-1 1vi+ bi+1vi+1+ .. + bnvn= 0e, portanto, a equa ob1v1+ .. + ( 1)vi+ .. + bnvn= 0 Se verifica para bi 0 (bi= -1). Logo, A ncia e Independ ncia LINEAR Observa es:1) O ltimo teorema pode ser enunciado de forma equivalente: Um conjunto A = {v1.

8 , vi, .., vn} LI se, e somente se, nenhum desses vetores for combina o LINEAR dos outros. 2) Para o caso particular de dois vetores, temos: Dois vetores v1e v2s o LD se, e somente se, um vetor m ltiplo escalar do outro. Depend ncia e Independ ncia LINEAR Exemplo:Osvetoresv1=(1,-2,3)ev2=(2,-4,6) s oLD,poisouv2= ,osvetoresv1=(1,-2,3)ev2=(2,1,5)s oLI,poisv1 kv2 k Depend ncia e Independ ncia LINEAR Nosgr ficosabaixo apresentadaainterpreta ogeom tricadadepend nciaeindepend ncialinearDepend ncia e Independ ncia LinearDepend ncia e Independ ncia LINEAR PropriedadesSejaVumespa )SeA={v} Vev 0,ent oA :Comov 0,aigualdadeav=0s severificasea= :Considera-se,pordefini o,oconjunto ncia e Independ ncia LinearII)SeumconjuntoA Vcont movetornulo,ent oA :SejaoconjuntoA={v1.

9 ,0,..,vn}.Ent o,aequa +..+ +..+ ,A ncia e Independ ncia LinearIII)SeumapartedeumconjuntoA V LD,ent oA tamb :SejamA={v1,..,vr,..,vn}esuaparteA1={v1, ..,vr} A,A1 LD,existemai 0queverificamaigualdade:a1v1+..+arvr=0ee ssesmesmosai 0verificamtamb maigualdade:Depend ncia e Independ ncia Lineara1v1+..+arvr+ +1+..+ ,A={v1,..,vr,..,vn} )SeumconjuntoA V LI,qualquerparteA1deA tamb :Pelapropriedadeanterior,seA1fosseLD,Ata mb mseriaLD,oquecontradizahip ncia e Independ ncia LINEAR Observa o:Setodosossubconjuntospr priosdeumconjuntofinitodevetoress oLI,n :Seconsiderarmososvetorese1=(1,0),e2=(0, 1)ev=(4,5),verificamosquecadaumdossubcon juntos:A1={e1,e2},A2={e1,v}eA3={e2,v}s moconjuntoA={e1,e2,v} ncia e Independ ncia LinearV)SeumconjuntoA={v1.

10 ,vn} V LIeB={v1,..,vn,w} LD,ent ow combina olineardev1,.., :ComoB LD,existemescalaresa1,..,an,b,nemtodosnu los,taisque:a1v1+..+anvn+ ,ent oalgumdosain o zeronaigualdade:a1v1+..+anvn=0 Depend ncia e Independ ncia LinearPor mestefatocontradizahip tesequeA ,tem-seb 0,e, :isto ,w combina olineardev1.