3. Fonction de Dirac

1 313. Fonction de Dirac1. Fonctions fortement piqu ees. La Fonction delta de Exemple en electrostatiqueO1/2-1/2n = 8 n = 4n = 2 n(x)xFigure 1n = 1 Consid erons, sur une droite, une suite de densit es de charges n(x) repr esent eespar (Fig. 1) n(x) =n (nx),( )o`u (x) est la Fonction porte , d efinie par : (x) ={0,|x| 1/21,|x|<1/2.( )32 chapitre 3 : Fonction de DiracL int egrale de la Fonction n(x), qui repr esente la charge totale en electrostatique,est ind ependante den: n(x)dx= 1.( )Lorsquentend vers l infini, la charge totale, qui est rest ee egale `a l unit e, est cepen-dant enti`erement concentr ee `a l origine. On a obtenu une charge unit e ponctuelle`a l Dirac , on peut songer `a repr esenter cette charge par une Fonction (x) qui vaudrait (x) ={0,x6= 0+ , x= 0,( )et telle que : (x)dx= 1.}}

2 ( )Une telle Fonction est cependant math ematiquement mal d efinie, car l int egraled une Fonction presque partout nulle est La Fonction deltaL op eration fondamentale `a laquelle Dirac voulait soumettre (x) est l evalua-tion de l int egrale (x)f(x)dx,( )o`ufest une Fonction continue quelconque. Cette int egrale peut etre evalu ee parl argument suivant : puisque (x) est nulle pourx6= 0, les bornes d int egrationpeuvent etre remplac ees par et + , o`u est un nombre positif petit. De plus,puisquefest continue enx= 0, ses valeurs dans l intervalle ( ,+ ) ne diff`erentpas beaucoup def(0). On ecrit donc approximativement : (x)f(x)dx= (x)f(x)dx'f(0) (x)dx.

3 ( )L approximation s am eliore au fur et `a mesure que s approche de 0.`A la limite 0, compte tenu de l equation ( ), on a exactement l egalit e : (x)f(x)dx=f(0).( )La Fonction delta agit en quelque sorte comme un filtre ou un tamis s election-nant, parmi toutes les valeurs possibles def(x), sa valeur enx= de fonctions poss edant `a la limite la propri et e de filtrage332. Suites de fonctions poss edant `a la limite la propri et e de filtrageLa formule ( ) ne permet pas de d efinir (x) comme une v eritable Fonction . Ilexiste cependant des suites de fonctions{ n(x)}fortement piqu ees qui approchent`a la limite la propri et e de filtrage, c est-`a-dire telles que :limn n(x)f(x)dx=f(0).

4 ( ) Suite de fonctions porteC est par exemple le cas de la suite de fonctions porte consid er ee au para-graphe 1. On a en effet, en prenant n(x) = n(x) : n(x)f(x)dx= 1/2n 1/2nnf(x)dx.( )En utilisant le th eor`eme de la moyenne pour les int egrales, on en d eduit :n 1/2n 1/2nf(x)dx=f( ), 12n 12n.( )Lorsquen , alors 0. De la continuit e def(x), il s ensuit quef( ) f(0).On a donc le r esultat ( ). Autres exemplesOn souhaite construire d autres suites de fonctions poss edant `a la limite lapropri et e de filtrage, notamment des suites de fonctions qui soient continues etdiff erentiables (ce qui n est pas le cas des fonctions porte). Les exemples les pluscouramment utilis es sont les suivants : suite de lorentziennesOn pose : n(x) =n 11 +n2x2.

5 ( ) suite de gaussiennesOn pose : n(x) =n e n2x2.( )Toutes ces fonctions sont normalis ees `a l unit e : n(x)dx= 1.( )Par des raisonnements analogues `a ceux effectu es au paragraphe pour les suitesde Fonction porte, on peut d emontrer que les suites de lorentziennes et les suitesde gaussiennes d efinies respectivement par les formules ( ) et ( ) poss`edent `ala limiten la propri et e de filtrage (formule ( )).34 chapitre 3 : Fonction de Dirac3. Calculs faisant intervenir la Fonction deltaLe traitement de (x) en tant que Fonction au sens ordinaire (ce qu elle n estpas) est un raccourci commode permettant d obtenir des r esultats qui d ependentde certains processus de passage `a la limite.

6 On peut d evelopper les r`egles de cecalcul par des op erations formelles, en partant des propri et es suivantes : (x)f(x)dx=f(0),( ) (x) ={0,x6= 0+ , x= 0,( ) (x)dx= 1,( )et en ignorant, pour le moment, leur justification math la variablexrepr esente une grandeur physique , c est en g en eral une quantit edimensionn ee. Il en est alors de m eme de (x), dont les dimensions sont inversesde celles de la Signification de (x a). Peigne de DiracOn consid`ere l int egrale (x a)f(x)dx. On posex a= et on ecritf( +a) =g( ). On a : (x a)f(x)dx= ( )g( )d =g(0) =f(a).( )La fonctionP(x) = n= (x na)( )a des propri et es int eressantes. Elle porte le nom depeigne de Dirac .}

7 On a : P(x)f(x)dx= n= f(na).( ) Changement d echelleOn cherche `a d emontrer la relation : (ax) =1|a| (x),a6= 0.( )1 Elle peut etre effectu ee de fa con rigoureuse dans le cadre de la th eorie des esentations de Fourier de la Fonction delta35On poseax= . On a, sia >0 : (ax)f(x)dx= ( )f( a)1ad =1af(0).( )Sia <0, un calcul analogue conduit `a : (ax)f(x)dx= ( )f( a)1ad = 1af(0).( )Ceci d emontre la formule ( ).4. Repr esentations de Fourier de la Fonction deltaIl est essentiel, en vue des applications dans de nombreux domaines de laphysique, de disposer pour la Fonction delta d une repr esentation de Fourier, no-tamment d une repr esentation en int egrale de Fourier.

8 L ecriture de cette repr esen-tation int egrale n ecessite certains passages `a la limite. C est pourquoi nous com-men cons par ecrire une repr esentation en s erie de Repr esentation en s erie de FourierOn part de la Fonction porte (ou impulsion) a(x) repr esent ee sur la Figure Fonction est normalis ee `a l unit e. Elle a pour largeur 2a. L intervalle ded efinition est choisi comme etant L x 2x a(x)L1/(2a)a-a On r ep`ete cette Fonction p eriodiquement, la p eriode choisie etant 2L > coefficients de Fourier de la Fonction ainsi p eriodis ee sontbn= 0 (la Fonction n(x) est paire),a0= 1/Letan= (1/n a) sin(n a/L) pourn 1. On a donc : a(x) =12L+ n=11n asinn aLcosn xL, L x L.

9 ( )36 chapitre 3 : Fonction de DiracApr`es passage `a la limitea 0, on obtient une s erie de Fourier pour (x) : (x) =12L+1L n=1cosn xL, L x L.( )La s erie au second membre de l equation ( ) est divergente, ce qui n est pas etonnant, car, si elle etait convergente, alors (x) serait une vraie Fonction , ce quin est pas le Passage `a une repr esentation en int egrale de FourierOn r e ecrit tout d abord la formule ( ) sous la forme equivalente suivante : (x) =12L n= exp(in xL), L x L.( )LorsqueL , la s erie au second membre de l equation ( ) se transforme enint egrale (divergente) : (x) =12 eikxdk.( )La repr esentation int egrale ( ) de la Fonction delta est largement utilis ee peut ecrire aussi (x x ) =12 eik(x x )dk,( )ou : eik(x x )dk= 2 (x x ).

10 ( )5. Fonction delta et D efinition du produit de convolution de deux fonctionsRappelons que l on appelle, lorsqu il existe, produit de convolution de deuxfonctionsf(x) etg(x) la fonctionh(x) d efinie par la formuleh(x) = f(u)g(x u)du,( )2 Elle peut etre etablie de fa con rigoureuse dans le cadre de la th eorie des delta et convolution37et que l on ecrit symboliquement :h=f g.( )Lorsquefetgsont deux fonctions deL1,f g=g fa toujours un sens et estaussi une Fonction fonctionh(x) repr esente une moyenne def(u) pond er ee au voisinage dechaque pointxparg(x u). Il s ensuit que, sig(x) est suffisamment r eguli`ere,h(x) pr esente des fluctuations moins rapides quef(x).