3. Logaritmos - UFSC

1 3. Logaritmos Inicialmente vamos tratar dos Logaritmos , uma ferramenta criada para auxiliar no desenvolvimento de c lculos e que ao longo do tempo mostrou-se um modelo adequado para v rios fen menos nas ci ncias em geral. Os Logaritmos aparecem na resolu o de equa es exponenciais com pot ncias de bases diferentes, como a equa o 3 5x=. Para resolver equa es deste tipo os m todos j estudados n o s o adequados: precisamos do aux lio dos o Sejam a e b n meros reais positivos, com 1a . Chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar base a para que o resultado obtido seja igual a , para *,a b+ e 1a tem-selogxab x a b= =Observa o 7. Lemos logaritmo de b na base a igual a x se e somente se a elevado a x igual a b . A base a, o logaritmando b e o logaritmo o 8. Decorre diretamente da defini o que logabab=.Exemplos13) 2log 8 3= pois 32 8=14) 31log29= pois 2211339 == 15) 7log 1 0= pois 07 1=Note que quando o logaritmando for 1, o logaritmo ser zero (veja a defini o de pot ncia com expoente zero).

2 Exerc cios resolvidos16) Encontre 0,25log 32 Resolu oChamamos 0,25log32x=. Ent o, por defini o, ()0,2532x=. Como 210,2524 ==, temos()2522x =. Resolvendo a equa o exponencial obtemos 52 52xx = = . Assim, 0,255log322= .17) Calcule 0,04log 125 Resolu oPara calcular 0,04log 125 fazemos 3125 5= e utilizamos a defini o de logaritmo:()()3323230,0413log1250,045555 552 3252xxxxxxx = = = = = = = Assim, 0,043log 1252= . 18) Se 2logm k=, determine o valor de oSeja x o valor de 8logm, isto , 8logm x=.Pela defini o de logaritmo temos 2log2km km= = e 8log8xm xm= =.Logo, ()332 8222 233xkxkkxkx k x= = = = =.Propriedades dos logaritmosPara *, ,a b c+ e 1a valem as seguintes propriedades:L1) O logaritmo da unidade em qualquer base igual a , log 1 0a=.Demonstra o. Decorre diretamente da defini o de logaritmo e de pot ncia com expoente zero: log 1 0a= pois 0*1,, 1aaa+= L2) log1aa=Demonstra o.

3 Log1aa= pois 1*,, 1a a aa+= L3) loglogaabc b c= =Demonstra o. }L3logloglogacaabc ab c b= = =L4) log ( . ) loglogaaabcbc=+ Demonstra o. Fazemos log, logaab xc y== e log ( . )abc z=. Ent ologloglog ( . ).xayazab x a bc y a cbc z a bc= == == =Substituindo, temos ..zx yx ya bc a a a+===. Logo, zx ya a+= e z x y=+, como quer amos ) logloglogaaabbcc= Demonstra o. Deixamos como exerc cio (veja a demonstra o anterior)L6) =Demonstra o. Fazemos log, logaab xb y ==; vamos provar que x y =. De fato, loglogxayab x a bb y a b = == =substituindo, ()yxxa aay x == =.L7) (Mudan a de base) Para 1c tem-se logloglogcacbba=.Demonstra o. Deixamos como exerc cio (veja as demonstra es anteriores).Observa o 9. A propriedade 7 utilizada quando temos Logaritmos em bases diferentes; voc deve ter notado que nas propriedades a base sempre a mesma.

4 Logo, para utilizar as propriedades com Logaritmos em bases diferentes, necess rio convert -los para uma base conveniente. As propriedades L8 e L9 s o uma conseq ncia da mudan a de ) Para a e b n meros reais positivos, diferentes de 1, tem-se 1loglogabba=.Demonstra o conseq ncia da propriedade L7. Deixamos como exerc ) Para a e b n meros reais positivos com 1a e para um n mero real n o nulo, tem-se 1loglogaabb =.Demonstra o Tamb m conseq ncia de L7; deixamos como exerc o 10: Denotamos por lna o logaritmo de a na base e , isto , loglneaa=.Observa o 11: Quando a base do logaritmo 10, o logaritmo chamado decimal e muitos autores denotam simplesmente log , sem escrever a base: 10loglogaa=.Exerc cio resolvido19) Calcule 3425log oInicialmente observe que 3444log 27 log 3 3log 3==; tamb m 122525251log2 log 2log 22== (propriedade L7).

5 Ent o()()()()()()34253425342513log log 5 .3. log 3 . log 2log 5 . log 3. log 222A===Vamos fazer uma mudan a de base, colocando todos os Logaritmos em base 3 (L8):3423333log 3111log 3log 4 log 4 log 22log 2==== e333252333log 2log 2log 2log 2log 25log 52log 5===Assim, ()333333log 2log 53133log 5 ..22log 2 2log 5 8 log 5 8A===4. A fun o logar tmicaVimos na Observa o 6 que a fun o ][:0,, ( )xff x a + = invers vel para todo n mero real positivo 1a , isto , existe uma fun o ][: 0,g+ tal que f g g f Id==oo. Esta fun o g a fun o logar tmica de base a, que a cada n mero real positivo x associa o n mero real o Seja a um n mero real positivo, 1a . A fun o logar tmica de base a a inversa da fun o exponencial de base a, ][: 0,g+ , ( ) logag xx=. Considera es sobre a defini o1) A fun o exponencial e a fun o logar tmica s o a inversa uma da outra, desde que tomemos o conjunto ][0,+ como contradom nio da fun o exponencial e como dom nio da fun o logar tmica.

6 Tamb m deve estar estabelecido um n mero real positivo 1a como base. Assim, chamando f a fun o exponencial (de base a) ( )xf x a= e g a fun o logar tmica (tamb m de base a) ( ) logag xx=, temos:][0,fg + :g f o , ()( ) ( ( )) log( ) f x g f xf xa xa x x====== fo a fun o identidade no conjunto .Por outro lado, tamb m temos:][][0,0,gf+ + ][: 0,f g+ o , log( )()( )( ( ))axg xf g x f g x aax==== go a fun o identidade no conjunto ][0,+ .2) A fun o logar tmica bijetora, uma vez que admite inversa. De fato, ][: 0,g+ , ( ) logag xx= (i) injetora pois: se ][12,0,x x + e 12( ) ( )g x g x=, temos2log12112loglogaxaaxx x ax x= = = (lembre-se da Observa o 8).(ii) sobrejetora pois: se y , existe x , yx a=, tal que( ) ( ) x g aa ya y====. 3) A que expoente deve-se elevar 10 para obter 1000?

7 A resposta a esta pergunta 3, uma vez que 310 1000=. Mas qual deve ser o expoente de 10 para obtermos 25? Neste caso a resposta log25 (base 10), j que pela considera o anterior temos log251025=. Uma calculadora cient fica (que calcula os Logaritmos decimais) nos d uma aproxima o deste n mero, que um n mero irracional: log25 1,39794000867. Voc pode usar a calculadora para encontrar as aproxima es dos Logaritmos em outras bases, utilizando a propriedade da mudan a de base. Por exemplo: 2log5log 52,32192809489log 2= . Lembre-se que este n mero uma aproxima o!4) Note que o dom nio da fun o logar tmica o conjunto ][0,+ . Isto significa que s podemos encontrar ( ) logag xx= para valores positivos de x, e tamb m para valores positivos de 1a . Propriedades da fun o logar tmicaConsideramos ][*: 0,,, 1, ( ) logagaag xx++ = em todas as propriedades que seguem.

8 As tr s primeiras propriedades j foram demonstradas como propriedades dos Logaritmos , e constitu ram-se na motiva o principal e original para o desenvolvimento dos Logaritmos como um instrumento de c lculo no s culo XVII. Como voc pode ver, os Logaritmos transformam produtos em somas e pot ncias em produtos, facilitando o c lculo com grandes n meros (na Astronomia, por exemplo); se fosse preciso multiplicas dois n meros com muitos algarismos ou muitas casas decimais, tomava-se a soma dos Logaritmos destes n meros usando uma tabela (chamadas t buas de Logaritmos ), e este valor seria o logaritmo do produto; com o aux lio da tabela recuperava-se o produto desejado. Com o aparecimento da calculadora no s culo XX, este procedimento se tornou obsoleto. As aten es ent o foram voltadas para a fun o logar tmica, que de extrema import ncia em Matem tica e em suas aplica ) ][(.

9 ( ) ( ) , ,0,g x y g x g y x y=+ + FL2) Se ][, ( ) . ( ) , ,0,g xg x x y = + FL3) ][( ) ( ) , ,0,xgg x g y x yy = + FL4) g crescente se 1a> e decrescente para 01a<<Demonstra oSuponhamos 1a>; sejam ][12,0,x x + tais que 12x x<. Como 1x e 2x est o na imagem da fun o exponencial fde base a, existem 12,y y tais que 11( )f y x= e 22( )f y x=. Conseq entemente, 11ya x= , 22ya x= e 12yya a<. Como a fun o f crescente para 1a>, devemos ter 12y y< (pois se 21y y< ter amos 21x x<, o que n o acontece). Assim, uma vez que 11( )g x y= e 22( )g x y= (a fun o logar tmica a inversa da fun o exponencial), temos 12( ) ( )g x g x< e g a uma demonstra o an loga para o caso 01a<<.FL5) Se 1a>, ent o log0 01log01aax se xx se x<<< >> Se 01a<< ent o log0 01log01aax se xx se x> << <> Demonstra o uma conseq ncia direta da FL5.

10 Fa a como exerc cio. Exerc cios resolvidos20) Determine o dom nio da fun o 2( ) log (1 2 )g xx= Resolu oLembrando a considera o 4, devemos ter 11 202 12xxx > < <Ent o o dom nio da fun o o conjunto 1,2 .Observa o 12. Note que a fun o g a composta das fun es 2( ) logh xx= e ( ) 1 2t xx= . De fato, 22( ) ( )( ) ( ( )) log ( ) log (1 2 )g x h t x h t xt xx==== o. A determina o do dom nio conseq ncia das considera es que fizemos no Cap tulo 4 sobre a exist ncia da fun o composta. Fun es compostas do tipo ( ) log ( )ag xs x= com ( )s x uma fun o real de vari vel real ser o muito utilizadas na disciplina de C ) Se 1( ) lng xx= , calcule o valor de 3(e ) oA fun o logar tmica est na base e; temos311(e ) 3. (e) e( 1). e 3egg ==== = Gr fico da fun o logar tmicaPara fazer o gr fico de ( ) logag xx= podemos usar o conhecido gr fico de sua inversa ( )xf x a=: eles ser o sim tricos em rela o bissetriz do primeiro quadrante.