A16 - Instruments de mesures - Systemique et …

1 A16 - Instruments de mesuresErreur et incertitude sur la mesure d'une grandeurCe qui suit d coule des prescriptions du BIPM (Bureau International des Poids et mesures , France), reprises par le NIST (National Institute of Standards and Technology, USA).Erreur syst matique ou de manipulationQuelques consid rations th oriques simples faites propos du mesurage effectuer permettent d'appr cier l'ordre de grandeur du r sultat auquel on peut s'attendre : cela permet souvent d' liminer les r sultats de mesure aberrants, d s des appareils d fectueux ou des manipulations erron es (protocole exp rimental mal con u, erreur de c blage, ). Une mesure correcte, c'est- -dire exempte d'erreur syst matique, est dite "juste".Nombre de chiffres significatifs d'une donn e- En g n ral, un r sultat de mesure donn avec 3 chiffres significatifs suffit pour les mesures ordinaires en lectricit.

2 Ce niveau de pr cision correspond d'une part la pr cision d'un appareil de mesure courant ; d'autre part au niveau du bruit lectronique (en g n ral ) qui se superpose la grandeur mesur Il est conseill d'effectuer les calculs interm diaires avec un nombre de chiffres significatifs plus lev (les calculatrices font cela sans probl me), pour viter les arrondis de calcul. Par contre il faut ensuite arrondir le r sultat final au m me nombre de chiffres significatifs que celui adopt lors de la mesure Un r sultat ne peut pas tre plus pr cis que la moins pr cise des mesures qui a permis son Une incertitude est donn e avec au plus deux chiffres significatifs et n'est jamais crite avec une pr cision plus grande que le r sultat. valuation de l'incertitude de mesure par une m thode statistique ("m thode de type A") Voir cours d'instrumentation valuation de l'incertitude de mesure sur une mesure unique ("m thode de type B")La mesure x d'une grandeur X (ou "mesurande") n'est jamais exacte, mais connue une erreur pr s.

3 On appelle encadrement l'intervalle [xmin, xmax] = [x , x + ].En outre, cette connaissance sur l'erreur possible est elle-m me incertaine, ce qui implique une incertitude sur la pr cision estim e de la mesure. Cette incertitude est d duite d'une loi de probabilit que l'op rateur se donne a priori, partir des informations dont il dispose sur la situation exp rimentale (pr cision des appareils de mesure, protocole de mesurage, nature al atoire ou non du mesurande, capabilit de l'op rateur, etc).Le calcul s'effectue en quatre tapes :- tape 1 : estimation des erreurs de mesurea) cas d'un appareil analogique aiguille : - lecture de x : si l' chelle de graduation comporte N divisions, et si la lecture indique n divisions, alors : x=n calibreN- erreur : elle est fonction de la classe de l'appareil : G.

4 Pinson - Physique Appliqu eMesures - A16 / 1--------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- -ISBN 2-9520781-0-6 =classe calibre100 Exemple : calibre 10V ; 200 divisions ; classe 0,5 ; mesure : U = 5,25 V =0, 5 10100 = 0,05 Vb) cas d'un appareil num rique affichage digital : - lecture de x : pour un appareil k digits (k = 5 par ex.), le digit de poids fort n'est souvent que partiellement utilis (par ex. il ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1). On dit que l'appareil affiche k 1 digits et demi (pour k = 5 par ex. : 4 digits 1/2).- erreur : elle est fonction de la pr cision p de l'appareil (exprim e en %) d pendant du calibre employ , et d'un nombre n fix de digits : = +nExemple : p = 0,5% ; n = 4 ; mesure : U = V = 5,2485 x 0,005 +0,0004 0,027 Vc) autres cas : estimation de l'erreur par encadrement.

5 Pour tout autre type de mesure (par ex. : mesurage au pied coulisse, mesurage l'aide d'un oscillographe, etc), on estime les limites xmin et xmax de la valeur mesur e, dont on d duit : x=xmax+xmin2 =xmax xmin2xminxmaxx2 X = x Exemples : - mesures de la tension, de la p riode, de la phase d'un signal sinuso dal sur l' cran d'un oscilloscope. Dans ce cas, les erreurs sont d'origine param trique (respectivement : pr cision de l'amplification verticale, de la base de temps, de la synchronisation) ou graphiques (notamment : paisseur de la trace, ajustement correct de sa position sur l' cran par rapport au r ticule). Manifestement, les secondes sont pr pond rantes par rapport aux premi res, ce qui impose d'estimer l'erreur par mesure de la fr quence de r sonance d'un syst me lectrique du second ordre l'aide d'un voltm tre et d'un fr quencem tre.

6 Il est clair que cette mesure est plus ou moins pr cise selon que la courbe de r sonance est plus aigu ou au contraire plus "molle" : il peut tre d licat, dans ce dernier cas, de d finir correctement les extr mit s de l'intervalle d'encadrement de la mesure. Solution : changer de m thode de mesure !- on applique aussi ce type de raisonnement aux composants marqu s. Par exemple, une r sistance r = 1000 de cat gorie de pr cision 1% est telle que 990 r 1010 , avec = 10 . - tape 2 : calcul de l'incertitude-type (ou " cart-type")On suppose que la loi de probabilit est uniforme (ou "rectangulaire"), c'est- -dire que la probabilit pour que l'intervalle [xmin, xmax] contienne la "vraie" valeur de la grandeur X est gale 1 (pas de valeur possible en dehors de cet intervalle), et que, r ciproquement, toutes les valeurs entre xmin et xmax sont r put es a priori quiprobables.

7 Dans ce cas, on montre que l'incertitude-type vaut : = 3G. Pinson - Physique Appliqu eMesures - A16 / 2--------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- -ISBN 2-9520781-0-6 "vraie" valeur de x a 100% de chances de se trouver dans cet intervalle, avec une m me probabilit sur tout l'intervallexminxmaxloi rectangulaire :- tape 3 : cas d'une grandeur compos eCette tape ne concerne que les grandeurs d pendant de plusieurs variables (par ex., une r sistance R = U / I mesur e par la m thode volt-amp rem trique). Une m thode simple et suffisamment fiable consiste calculer les bornes de l'intervalle d'encadrement de la grandeur inconnue partir des bornes des intervalles d'encadrement des grandeurs qui la composent.

8 Pour l'exemple cit , connaissant les intervalles [umin, umax] et [imin, imax], il vient : rmin,rmax[]=uminimax,umaximin r=rmax+rmin2 =rmax rmin2R = r Une m thode plus rigoureuse consiste utiliser un calcul que nous ne d taillerons pas ici, qui aboutit notamment aux formules suivantes :somme alg brique :produit ou rapport : g=a1x1 a2x2 .. g2=a12 12+a22 22+..g=x1x2x3 g2g= 12x12+ 22x22+ 32x32- tape 4 : calcul de l'encadrement pour un taux de confiance donn En dehors des impr cisions d es l'appareillage ou la lecture des indications, de nombreux facteurs peuvent affecter une mesure : bruit lectronique, parasites de type CEM, influence de la temp rature, etc. Ces facteurs sont al atoires.

9 On suppose cette fois que la loi de probabilit de la distribution des erreurs qu'ils entra nent est gaussienne. On peut seulement dire que la "vraie" valeur de x a statistiquement plus de chance de se trouver vers le milieu de l'intervalle [ xmin, xmax] que sur ses bords. Mais cette valeur peut aussi se trouver en dehors de cet intervalle avec une probabilit non nulle ! On montre que l'incertitude x vaut : x = avec une probabilit p = 68% x = 2 avec une probabilit p = 95% x = 2,57 avec une probabilit p = 99%o p est le taux de note :X = (x x)p%Cela signifie, avec p = 68% par ex. : il y a environ 2 chances sur 3 (2/3 0,68) pour que la grandeur X ait une valeur comprise dans l'intervalle [x , x + ].

10 Cette derni re tape n'est pas obligatoire : dans une situation de mesurage simple et bien maitris e, comme par ex. la mesure de la fr quence d'un signal p riodique stable l'aide d'un fr quencem tre num rique, il n'y a pas de raison a priori de mettre en doute l'indication fournie par l'appareil de mesure, la pr cision de celui-ci pr s. Dans ce cas, il est recommand de s'arr ter l' tape 1 (ou l' tape 3 si la grandeur est compos e).G. Pinson - Physique Appliqu eMesures - A16 / 3--------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- -ISBN 2-9520781-0-6 2 2 la "vraie" valeur de x a 95% de chances de se trouver dans l'intervalle [-2 ,+2 ]loi gaussienne : ( : cart-type)Mesure des tensions.