Analisi Matematica 2

1 Analisi Matematica 2 Curve e integrali curvilineiCurve e integrali curvilinei1 / 29 Curve inR2eR3 Intuitivamente: una curva e un insieme di punti nello spazio in cui unaparticella pu o muoversi con un grado di libert e integrali curvilinei2 / 29 Sia un sottoinsieme diR3er:I R R3una funzione continua dove =r(I).r(t) e una parametrizzazione di .DefinizioneSi definisce curva inR3un insieme R3con una sua parametrizzazioner(t),t equazioni x=x(t),y=y(t),z=z(t),sono dette equazioni parametriche della curvardi parametrot. =r(I) sichiama sostegno della e il tempo, allorar(t) rappresenta il vettore posizione di una particellaal tempot. Al variare dit,r(t) descrive detto sostegno della curva, e sipu o interpretare come la traiettoria descritta dalla e integrali curvilinei3 / 29 Quindi una curva e una coppia ( ,r) con R3er:I R3 e unafunzione , impropriamente, si usa dire curva di equazioner=r(t).

2 Analogamente si definsce una curva inR2: e la coppia ( ,r(t)) dove (sostegno della curva) e un sottoinsieme diR2er:I R R2una funzione continua. =r(I).r(t) = (x(t),y(t)) euna parametrizzazione di .Le equazioni parametriche della curva inR2sono del tipo{x=x(t),y=y(t).Curve e integrali curvilinei4 / 29 Esempio: x(t) =R cos t,y(t) =R sin t,z(t) =kt,t>0,rappresenta un elica e integrali curvilinei5 / 29 x(t) =a cos t,y(t) =a sin t,z(t) = 2,0 t 2 ,rappresenta una circonferenza di raggioae centro (0,0,2) nel pianoz= 2. x(t) =a cos t,y(t) =b sin t,z(t) = 2,0 t 2 ,rappresenta l ellisse di semiassiaebe centro (0,0,2) nel pianoz= e integrali curvilinei6 / 29 Una curva si definisce- piana, se e contenuto in un piano. In particolare si pu o assegnare unacurva piana con la funzione continuar:I R2,- semplice ser(t) e iniettiva, cio e se comunque si prendano due puntidistintit1,t2di cui almeno uno interno all intervalloI, allora si har(t1)6=r(t2).}

3 - chiusa seI= [a,b] si har(a) =r(b)- regolare ser(t) C1(I) conI= [a,b], er (t) = (x (t),y (t),z (t))6= (0,0,0) t (a,b)oppure(x (t))2+ (y (t))2+ (z (t))2>0), t (a,b)- regolare a tratti seIsi pu o suddividere nell unione di un numero finito diintervalli su ciascuno dei quali la curva e e integrali curvilinei7 / 29 Figure: curva semplice, curva non semplice, curva pianaCurve e integrali curvilinei8 / 29 Figure: curva orientataUna curva e orientata nel versopositivo se segue l orientamentodei numeri reali dell e integrali curvilinei9 / 29Se la curva e regolare allora e ben definito il vettore tangente (incinematica vettore velocit a):r (t) =x (t)i+y (t)j+z (t)k,il suo modulo e r (t) = x (t)2+y (t)2+z (t)2,velocit`a scalare,eT(t) =r (t) r (t) ,versore tangente,r (t) =x (t)i+y (t)j+z (t)k,vettore accelerazione.

4 R (t) accelerazione e integrali curvilinei10 / 29 Anche per una curva inR2si definisce in modo analogo il versore tangente:T(t) =r r =(x (t) (x (t))2+(y (t))2,y (t) (x (t))2+(y (t))2)Il versore normale e dato daN(t) =(y (t) (x (t))2+(y (t))2, x (t) (x (t))2+(y (t))2)Se le equazioni parametriche della curva sono (t,f(t)) (cio e il sostegnodella curva e il grafico della funzionef: [a,b] R), allora il versorenormale alla curva e:N(t) =(f (t) 1+(f (t))2, 1 1+(f (t))2),e quindi e sempre rivolto verso il basso (la seconda componente enegativa).Curve e integrali curvilinei11 / 29 Curve rettificabiliSiar(t) :I R3(oppurer(t) :I R2se si tratta di una curva del piano)una curva di classeC1. SeL(P) e la lunghezza della poligonaleP(inscritta nella curva) relativa alla decomposizioneDdiI= [a,b]a=t0<t1< tn=balloraDefinizionela curva si definisce rettificabile seL(r) =supDL(P) =L<+.

5 Dove il sup e preso al variare della chiamalunghezza della e integrali curvilinei12 / 29 Lunghezza di una curvaTutte le curve regolari sono rettificabili eL(r) = ba r dt= ba [x (t)]2+ [y (t)]2+ [z (t)]2dtOsservazione. Le curve regolari a tratti sono rettificabili e la loro lunghezza e data dalla somma delle lunghezze dei tratti e integrali curvilinei13 / 29 Curve la curva e data in forma parametrica, (x(t),y(t)), [a,b]L(r) = ba [x (t)]2+ [y (t)] in forma cartesiana:y=f(x),x [a,b],L= ba 1 + [f (x)] in forma polare: = ( )L= 2 1 2( ) + [ ( )]2d .Curve e integrali curvilinei14 / 29calcolare la lunghezza della curva :r(t) = (e2t,2et,t),t [0,1]Curve e integrali curvilinei15 / 29 Calcolare la lunghezza della curva : = 2cos , [0, 2]Curve e integrali curvilinei16 / 29 Data la curva = (etsent,etcost),t [0,1],calcolare la sua e integrali curvilinei17 / 29 Calcolare la lunghezza del tratto di elica circolare di equazionex=a cos t,y=a sint,z=t,t [0,2 ]Curve e integrali curvilinei18 / 29 Curve equivalentiCambiamento di parametroData la curva di parametrizzazioner, se I Re esiste un applicazionebiunivocag:I I e di classeC1tale cheg (t)6= 0 t Ier(t) = r(g(t)),Allora anche r e una parametrizzazione di e la funzioneg e dettacambiamento ammissibile di e invertibile e la sua inversag 1.

6 I I e di classeC1con(g 1) (s)6= 0, s e integrali curvilinei19 / 29 osservazione : Seg (t)>0 (gcrescente) il verso di percorrenza sulsostegno e lo stesso,g (t)<0 (gdecrescente) il verso e l primo caso le curve si dicono :siar(t) = (cost,sint),t [0,2 ] e r(s) = (cos 2s,sin 2s)s [0, ] duecurve che hanno lo stesso sostegno cio e la circonferenza di centrol origine e raggio punto che si muove con legge orariardescrive una sola volta lacirconferenza in senso antiorario cos come il punto che si muove conlegge oraria rma con velocit a scalare diversa (| r | e doppia rispetto a|r |).Il cambiamento ammissibile di parametrog: [0,2 ] [0, ] che permettedi passare da rar e dato das=g(t) = (t) =12>0 allora la curva e percorsa nello stesso verso (inquesto caso il verso antiorario) sia nella parametrizazzionerche nellaparametrizzazione e integrali curvilinei20 / 29Se invece consideriamo la curva di parametrizzazione = (sin 2w,cos 2w),w [ 4,5 4], il sostegno e sempre la circonferenzaunitaria di centro l origine ma percorsa in senso opposto (senso orario).

7 In questo caso il cambiamento ammissibile di parametro e g: [0,2 ] [ 4,5 4],w= g(t) = 5 4 t2con g = 12<0 Curve e integrali curvilinei21 / 29 Curve equivalentiDue curve ( ,r) e ( , r) si dicono equivalenti se possono essere ottenuteuna dall altra con un cambio di parametro che non muti l :r(t) = (et,t),t [0,1]. Sia =g(t) =et, con : [0,1] [1,e],si ha r( ) = ( ,log ), [1,e]cong (t) =et>0 Curve e integrali curvilinei22 / 29 Ascissa curvilineaConsideriamo una curva regolare :r=r(t) C1[a,b]di la funzione integrales(t) = ta [x ( )]2+ [y ( )]2d , t [a,b],(inR3si avr as(t) = ta [x ( )]2+ [y ( )]2+ [z ( )]2d ,)che cinematicamente rappresenta lo spazio percorso al tempot, partendodar(a).Curve e integrali curvilinei23 / 29 Ascissa curvilineaPer il teorema fondamentale del calcolo integrale, essendo|r (t)|= [x (t)]2+ [y (t)]2continua, allora anches(t) e continuae derivabile es (t) = [x (t)]2+ [y (t)] , essendo [x (t)]2+ [y (t)]26= 0, alloras e una funzionestrettamente implica ches(t) e una corrispondenza biunivoca da [a,b]in[0,L]Anche la funzione inversat=t(s) e strettamente crescente e derivabilecondtds=1 [x (t)]2+ [y (t)]2> la curva di equazione parametrica r=r(t(s)) e equivalente allacurva di equazione parametricar(t).

8 Il parametrossi chiama ascissa curvilinea o lunghezza d e integrali curvilinei24 / 29Si scrivera ds= [x (t)]2+ [y (t)]2dt.(inR3:ds= [x (t)]2+ [y (t)]2+ [z (t)]2dt.)Riscriviamo la formula della lunghezza di una curvaL= ds= ba [x (t)]2+ [y (t)]2dt.(inR3:L= ds= ba [x (t)]2+ [y (t)]2+ [z (t)]2dt.)Curve e integrali curvilinei25 / 29 Integrale curvilineo di prima specieConsideriamo una curva regolare (o regolare atratti) con parametrizzazioner(t) : [a,b] R2. Sef e una funzione reale di due variabili reali definitanel sostegno della curvar([a,b]) ed e continua, alloraDefinizione inR2si definisce integrale curvilineo dif(x,y) esteso all arco di curva ,l integrale fds= baf(x(t),y(t)) [x (t)]2+ [y (t)]2dtDefinizione inR3Si definisce integrale curvilineo dig(x,y,z) esteso all arco di curva l integrale gds= bag(x(t),y(t),z(t)) [x (t)]2+ [y (t)]2+ [z (t)] e integrali curvilinei26 / 29 Significato geometrico di f ds f ds e l areadel pezzo di superficie esempio,f(x,y) = ye e la curva di equazione parametricar(t) = (cost,sint),t [ ,2 ].

9 Curve e integrali curvilinei27 / 29 Propriet a dell integrale curvilineoSiano , 1, 2curve regolari contenute in un domnioE R2,f,gfunzioni continue definite inE, , Rsi ha ( f+ g)ds= f ds+ g ds,Linearit`a rispetto all integranda, 1 2f ds= 1f ds+ 2f ds,additivit`a rispetto al cammino di 1 e equivalente o opposta a 2: 1f ds= 2f ds,indipendenza dalla parametrizzazione o dall orientazioneCurve e integrali curvilinei28 / ) Calcolare (x+y3)dsdove e il segmento diR2che congiunge ipunti (0,0) e (1,1).2) Calcolare 2y2+z2ds,dove e la circonferenza intersezione dellasuperficie sfericax2+y2+z2= 4 e il pianoy= ) Calcolare x2+y2dsdove e la curva piana di equazione(etcost,etsint),t [0,2 ].4) Calcolare z ds,dove R3di (t) = (3 cost,3 sint,4t),t [0, ].

10 Curve e integrali curvilinei29 / 29