Capítulo 4: Derivada - ufjf.br

1 _____Instituto de Ci ncias Exatas - Departamento de Matem ticaC lculo I Prof Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Cap tulo 4: A Reta TangenteSeja )(xfy= uma curva definida no intervalo ()ba, e sejam ()()2211, e ,yxQyxP dois pontos distintos da curva )(xfy=.Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e o tri ngulo ret ngulo PMQ, na figura ao lado,temos que a inclina o da reta s, ou coeficiente angular de s, : xyxxyytg = =1212 .Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre acurva em dire o a P. Diante disto, a inclina o da reta secante s variar . A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclina o da secante varia cada vez menos, tendendo para um valorlimite constante. Esse valor limite chamado inclina o da retatangente curva no ponto P, ou tamb m inclina o da curva em o:Dada uma curva )(xfy=, seja () ,11yxPum ponto sobre inclina o da reta tangente curva no ponto P dada por()12121)()(limlim12xxxfxfxyxmxxPQ = = , quando o limite hxxxxx+= +=1212ou podemos escrever: ()hxfhxfxxfxxfxmhx)()(lim)()(lim1101101 += +=.

2 Equa o da Reta TangenteSe a fun o )(xf cont nua em )(1fDx , ent o a reta tangente curva )(xfy= em ())(,11xfxP :a) A reta que passa por P tendo inclina o ()hxfhxfxxfxxfxmmhx)()(lim)()(lim1101101 += +== , se este limite existe. Neste caso, temos a equa o: )()(11xxmxfy = .b) A reta 1xx=, se hxfhxfh)()(lim110 + for :1. Encontre a inclina o da reta tangente curva 122+ =xxy no ponto ()11,yx. 602. Encontre a equa o da reta tangente curva 322+=xy no ponto cuja abscissa Encontre a equa o da reta tangente curva xy=, que seja paralela reta 0148=+ : Duas retas s o paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares s o Encontre a equa o para a reta normal curva 2xy= no ponto ()4, :a)Reta normal a uma curva no ponto P a reta perpendicular reta tangente curva no ponto P;b)Duas retas de coeficientes angulares m1 e m2 s o perpendiculares se, e somente se, m1 . m2 = 1. Velocidade e Acelera oSuponhamos que um corpo se move em linha reta e que )(tss= represente o espa o percorrido pelo m vel at o instante t.

3 Ent o, no intervalo de tempo entre ttt + e , o corpo sofre um deslocamento )()(tsttss += .1. VelocidadeVelocidade m dia do corpo no intervalo de tempo entre ttt + e o quociente do espa o percorrido pelo tempo gasto em percorr -lo, isto , ttsttstsvm += =)()( .Velocidade instant nea do corpo no instante t ou velocidade no instante t o limite das velocidades m dias quando t se aproxima de zero, isto , ttsttststvtt += = )()(limlim)( Acelera oAcelera o m dia do corpo no intervalo de tempo entre ttt + e dada por ttvttvtvam += =)()( .Acelera o instant nea do corpo no instante t o limite das acelera es m dias quando t se aproxima de zero, isto , ttvttvtat += )()(lim)( :1. No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posi o no instante t dado por 216)(ttts =. Determine:a) a velocidade m dia do corpo no intervalo de tempo []4,2;b) a velocidade do corpo no instante t = 2;c) a acelera o m dia no intervalo []4,0;d) a acelera o no instante t = A equa o do movimento de um corpo em queda livre 221gts=, onde 2/8,9smg a acelera o da gravidade.

4 Determine a velocidade e a acelera o do corpo em um instante qualquer A Derivada de uma Fun o num PontoA Derivada de uma fun o )(xf no ponto 1x, denotada por )(' 1xf, definida pelo limite xxfxxfxfx += )()(lim)(' 1101 , quando este limite existe. Neste caso, dizemos que a fun o )(xf deriv vel (ou diferenci vel) no ponto 1x. Tamb m podemos escrever: 12121101)()(lim)()(lim)(' 12xxxfxfhxfhxfxfxxh = += .Observa o: Como vimos, este limite nos d a inclina o da reta tangente curva )(xfy= no ponto ))(,(11xfx. Portanto, geometricamente, a Derivada da fun o )(xfy= no ponto 1x representa a inclina o da curva neste A Derivada de uma Fun oA Derivada de uma fun o )(xfy= a fun o denotada por)(' xf tal que seu valor em qualquer )(fDx dado por xxfxxfxfx += )()(lim)(' 0, se este limite que uma fun o deriv vel (ou diferenci vel) quando existe Derivada em todos os pontos de seu dom nota es podem ser usadas no lugar de )(' ' xfy=:a) )(xfDx (l -se Derivada de f(x) em rela o a x);b) yDx (l -se Derivada de y em rela o a x);c) dxdy (l -se Derivada de y em rela o a x).

5 63 Exemplos:1. Dada a fun o 165)(2 +=xxxf, encontre )2(' Dada a fun o 32)(+ =xxxf, encontre )(' Dada xxf=)(, encontre )4(' Dada 31)(xxf=, encontre )(' Continuidade de Fun es Deriv veisTeoremaToda fun o )(xfy= deriv vel num ponto )(1fDx cont nua nesse o:Sendo f deriv vel em 1x ent o 111)()(lim)(' 1xxxfxfxfxx = temos:[]()()00).(' lim.)()(lim.)()(lim)()(lim111111111111== = = , [][])()(0)(lim)()(lim)()()(lim)(lim11111 11111xfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxxxx=+=+ =+ = .Portanto, f cont nua em Exerc ciosP ginas 127 e 128 do livro Derivadas LateraisDefini es:Seja )(xfy= uma fun o definida no intervalo ()ba, e ()bax,1 .a) A Derivada direita de 1 em xf, denotada por )('xf+, definida por 111101)()(lim)()(lim)('1xxxfxfhxfhxfxfxx h = +=++ +, caso este limite ) A Derivada esquerda de 1 em xf, denotada por )('xf , definida por 111101)()(lim)()(lim)('1xxxfxfhxfhxfxfxx h = += , caso este limite ) Uma fun o deriv vel em um ponto1x se, e somente se, as derivadas direita e esquerda nesse ponto existem e s o ) Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e s o diferentes em um ponto 1x, dizemos que o ponto ())(,11xfx um ponto anguloso do gr fico de ) Uma fun o f definida no intervalo []ba, deriv vel em []ba, se deriv vel no intervalo aberto ()ba, e se existem a Derivada direita e a Derivada esquerda da fun o f em a e b, o.

6 Para fazer uma an lise gr fica da exist ncia da Derivada em um ponto, podemos tra ar retas secantes que passam pelo ponto dado e por outro na sua vizinhan a e observar a sua posi o limite (posi o de tang ncia). Quando as secantes n o t m uma nica posi o limite ou se tornam verticais, a Derivada n o existe. No primeiro caso, estamos diante da situa o em que as derivadas laterais existem, mas s o diferentes (ponto anguloso) e n o h reta tangente curva neste ponto; no segundo caso, as retas 65secantes convergem para a posi o vertical e, se =+ = + )(' lim e )(' lim11xfxfxxxx ou + = = + )(' lim e )(' lim11xfxfxxxx, dizemos que estamos diante de um ponto cuspidal do gr fico de f , sendo 1xx= a reta tangente neste caso. Exemplos:1. Seja f a fun o definida por < =2 se , 72 se , 13)( ) Esboce o gr fico de ) Mostre que f cont nua em ) Encontre )2('+f e )2(' ) A fun o f deriv vel em 2?

7 Justifique sua Seja a fun o ()xxxf . 2)( =.a) Encontre )0('+f e )0(' ) A fun o f deriv vel em x = 0? Justifique sua Exerc ciosP ginas 132 e 133 do livro Regras de Deriva o As regras de deriva o permitem determinar as derivadas das fun es sem o uso da defini Derivada de uma ConstanteSe c uma constante e cxf=)(, para todo Rx , ent o 0)(' = o:00limlim)()(lim)(' 000== = += Regra da Pot ncia (expoente positivo)Se n um n mero inteiro positivo e nxxf=)(, ent o 1 )(' = o:()= + ++ + += += += )()(lim)(' = + ++ + = + ++ + = )!1( 1)!1( )!1( !1!1 = = = = :a) Se 5)(xxf=ent o 45)(' xxf=.b) Se xxg=)(ent o 1)(' = ) Se 10)(xxh=ent o 910)(' xxh=.R3 Derivada do produto de uma constante por uma fun oSejam f uma fun o, c uma constante e g a fun o definida por )()(xcfxg=.Se)(' xf existe, ent o )(' )(' xcfxg=.Demonstra o:)(' )()(lim)()(lim)()(lim)()(lim)(' 0000xcfhxfhxfchxfhxfchxcfhxcfhxghxgxghhh h= += += += += Exemplos:a) Se 28)(xxf=ent o xxxf16)2(8)(' ==.

8 B) Se 72)(ttg =ent o 6614)7(2)(' tttg = =.67R4 Derivada de uma somaSejam f e g duas fun es e s a fun o definida por )()())(()(xgxfxgfxs+=+=.Se)(' xf e )(' xg existem, ent o )(' )(' )(' xgxfxs+=.Demonstra o:[][]=+ +++= += hxgxfhxghxfhxshxsxshh)()()()(lim)()(lim) (' 00[][])(' )(' )()(lim)()(lim)()()()(lim000xgxfhxghxghx fhxfhxghxgxfhxfhhh+= ++ += ++ += .Exemplos:a) Se 583)(4++=xxxfent o )4(3)(' 33+=++= ) Se 7249)(25++ =ttttgent o 2845)(' 4+ = Derivada de um produtoSejam f e g duas fun es e p a fun o definida por )().())(.()(xgxfxgfxp==.Se)(' xf e )(' xg existem, ent o )().(' )(').()(' xgxfxgxfxp+=.Demonstra o:[][]= ++= += hxgxfhxghxfhxphxpxphh)().()().(lim)()(li m)(' 00[][]).(' ).()(' ).()()().(lim)()().(lim)()().()()().(lim )().()().()().()().(lim0000xfxgxgxfhxfhx fxghxghxghxfhxfhxfxgxghxghxfhxgxfxghxfxg hxfhxghxfhhhh+== ++ ++= ++ ++== +++ ++= Exemplos:a) Se )).(12()(243xxxxf+ =ent o )).(6()24).(12()(' 24233xxxxxxxf+++ =.b) Se )4).(5(21)(62ttttg++=ent o )4).

9 (2(21)46).(5(21)(' 652ttttttg++++=.R6 Derivada de um quocienteSejam f e g duas fun es e q a fun o definida por )()()()(xgxfxgfxq= =, onde 0)( )(' xf e )(' xg existem, ent o []2)()(' ).()(' ).()(' xgxgxfxfxgxq =.Demonstra o:=++ += ++= += )().()().()().(.1lim)()()()(lim)()(lim)( ' 000xghxghxgxfxghxfhhxgxfhxghxfhxqhxqxqhh h68[].)()(' ).()().(' )(lim).(lim)()(lim).(lim)(lim.)()(lim)() .()()()()(.)()(lim)().()().()().()().()( ).(.1lim200000000xgxgxfxgxfxghxghxghxgxf xghxfhxfxghxghxghxgxfxghxfhxfxghxghxgxfx gxfxgxfxghxfhhhhhhhhh =+ + +==+ + +=++ + += Exemplos:a) Se 3532)(24+ =xxxxfent o 22432)35()52).(32()8).(35()(' + + = ) Se xxg1)(=ent o )(' xxxxg = =.R7 Regra da Pot ncia (expoente negativo)Se nxxf =)(, onde n um n mero inteiro positivo e 0 x, ent o 1 )(' = o:Como nnxxxf1)(== ent o 12121 )( .10.)(' = = = Exerc ciosP ginas 138 e 139 do livro Derivada da Fun o Composta (Regra da Cadeia)TeoremaSejam )( e )(xfuugy== fun es deriv veis, com Im(f) D(g).

10 Ent o a composta ))((xfgy= deriv vel e vale a regra da cadeia: dxdududydxdyxfxfgxfugxy. seja,ou ),(' )).((' )(' ).(' )(' ===.Exemplos:1. Dada a fun o 72)25(++=xxy, determinar Dada a fun o 51223 ++=xxy, encontrar ' Dada a fun o 2232).()13(xxxy +=, determinar ' o (Regra da Pot ncia para Fun es Quaisquer)Se )(xgu= uma fun o deriv vel e n um n mero inteiro n o nulo, ent o [][] )(' .)()(1xgxgnxgdxdnn =.Demonstra o:Fazendo )( onde ,xguuyn==, e aplicando a Regra da Cadeia, temos:[][])(' .)( )(' .. )(11xgxgnxgundxdududydxdyxgdxdnnn ====.Observa o: A Regra da Pot ncia pode ser generalizada como segue e ser demonstrada mais adiante:Se )(xgu= uma fun o deriv vel e r um n mero racional n o nulo qualquer, ent o [][]()' . ' seja,ou , )(' .)()(11uuruxgxgrxgdxdrrrr ==.Exemplos:1- Dada a fun o 55)(2+=xxf, determinar )(' Dada a fun o 3321)(+=tttg, determinar )(' Determinar a Derivada das seguintes fun es:a) ()xxxy+++=3842b) 312 +=xxyc) 32276++= Derivada da Fun o InversaTeoremaSeja )(xfy= uma fun o definida em um intervalo aberto ()ba.