Chapitre 7. Diagonalisation - univ-angers.fr

1 Chapitre 7. DiagonalisationObjectifs : 1) Comprendre la simplicit des matrices diagonales2) Appendre rendre une matrice non diagonale en une diagonale3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc. 1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples ?Addition, multiplication, puissance, polyn terminant, inversion (si possible), images et noyau, li ou libre,rang, r solution d un syst me droite par une matrice diagonale :(~v1, ,~vn) 1 n = 1~v1, , n~vn Exemple. 1 0 0 1 2 13 1 0 3 0 00 1 00 0 = Chapitre 7. DiagonalisationObjectifs : 1) Comprendre la simplicit des matrices diagonales2) Appendre rendre une matrice non diagonale en une diagonale3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

2 1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples ?Addition, multiplication, puissance, polyn terminant, inversion (si possible), images et noyau, li ou libre,rang, r solution d un syst me droite par une matrice diagonale :(~v1, ,~vn) 1 n = 1~v1, , n~vn Exemple. 1 0 0 1 2 13 1 0 3 0 00 1 00 0 = 3 0 0 3 2 9 1 0 . 2 Une matriceAsemblable une matrice diagonaleMOn dit queAestsemblable MsiAs critA=PMP 1,ou bienP 1AP=M,avecPune matrice 3a 2b 2a+2b3a 3b 2a+3b =P a00b P 1avecP= 1 21 3 .Une fois avoir exprim Asous cette forme, il est beaucoup plusfacile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplaceraparanetbparbn!Preuve. 2 Une matriceAsemblable une matrice diagonaleMOn dit queAestsemblable MsiAs critA=PMP 1,ou bienP 1AP=M,avecPune matrice 3a 2b 2a+2b3a 3b 2a+3b =P a00b P 1avecP= 1 21 3.

3 Une fois avoir exprim Asous cette forme, il est beaucoup plusfacile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplaceraparanetbparbn! (PMP 1)2= (PMP 1)(PMP 1) =PM(P 1P)MP 1=PM2P 1=P a200b2 P 1= 3a2 2b2 2a2+2b23a2 3b2 2a2+3b2 . 3 DiagonalisationDiagonaliserune matriceA, c est de trouver une matrice inversibleP= (~v1, ,~vn)et une matrice diagonaleM= 1 n telles queA=PMP 1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons quePM= (~v1, ,~vn) 1 n = 1~v1, , n~vn etAP= (A~v1, ,A~vn). 3 DiagonalisationDiagonaliserune matriceA, c est de trouver une matrice inversibleP= (~v1, ,~vn)et une matrice diagonaleM= 1 n telles queA=PMP 1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons quePM= (~v1, ,~vn) 1 n = 1~v1, , n~vn etAP= (A~v1, ,A~vn).

4 DoncAP=PM A~v1= 1~v1, ,A~vn= n~vn 3 DiagonalisationDiagonaliserune matriceA, c est de trouver une matrice inversibleP= (~v1, ,~vn)et une matrice diagonaleM= 1 n telles queA=PMP 1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons quePM= (~v1, ,~vn) 1 n = 1~v1, , n~vn etAP= (A~v1, ,A~vn).DoncAP=PM A~v1= 1~v1, ,A~vn= n~vn (A 1Id)~v1=~0,(A 2Id)~v2=~0, 3 DiagonalisationDiagonaliserune matriceA, c est de trouver une matrice inversibleP= (~v1, ,~vn)et une matrice diagonaleM= 1 n telles queA=PMP 1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons quePM= (~v1, ,~vn) 1 n = 1~v1, , n~vn etAP= (A~v1, ,A~vn).DoncAP=PM A~v1= 1~v1, ,A~vn= n~vn (A 1Id)~v1=~0,(A 2Id)~v2=~0, ~v1 Ker(A 1Id),~v2 Ker(A 2Id).

5 3 DiagonalisationDiagonaliserune matriceA, c est de trouver une matrice inversibleP= (~v1, ,~vn)et une matrice diagonaleM= 1 n telles queA=PMP 1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPetM? Rappelons quePM= (~v1, ,~vn) 1 n = 1~v1, , n~vn etAP= (A~v1, ,A~vn).DoncAP=PM A~v1= 1~v1, ,A~vn= n~vn (A 1Id)~v1=~0,(A 2Id)~v2=~0, ~v1 Ker(A 1Id),~v2 Ker(A 2Id), .D terminerdes noyaux on sait faire !Exo. Pour diagonaliserA= 5 36 4 , on fabrique d abord deuxnouvelles matricesA 2 IdetA ( 1)Idet on d termine pourchacune d elles une base du noyau (ces deux valeurs2, 1sont lesracines de l quationdet(A Id) =0) :diagonaliserA 5 36 4 det(A Id) =0 =2 1A Id 3 36 6 6 36 3 base du noyau 11 12 assemblerP= 1 11 2 etM= 200 1 v rifier queAP=PMConclure queA=PMP diagonalis de m me la matrice 2 11 2.

6 Valeurs propres et vecteurs propresD dit qu un vecteur~vnon nul est unvecteur propredeAsiA~vest proportionnel ~v, c est- -dire qu il existe une valeur telle queA~v= ~v. On dit que est lavaleur propredeAassoci e ~ notre exemple :A= 3a 2b 2a+2b3a 3b 2a+3b =P a00b P 1avecP= 1 21 3 .DoncAP=P a00b , etA 11 =a 11 ,A 23 =b 23 . 11 est un vecteur propre, de valeur propre associ eValeurs propres et vecteurs propresD dit qu un vecteur~vnon nul est unvecteur propredeAsiA~vest proportionnel ~v, c est- -dire qu il existe une valeur telle queA~v= ~v. On dit que est lavaleur propredeAassoci e ~ notre exemple :A= 3a 2b 2a+2b3a 3b 2a+3b =P a00b P 1avecP= 1 21 3 .DoncAP=P a00b , etA 11 =a 11 ,A 23 =b 23 . 11 est un vecteur propre, de valeur propre associ ea; 23 Valeurs propres et vecteurs propresD dit qu un vecteur~vnon nul est unvecteur propredeAsiA~vest proportionnel ~v, c est- -dire qu il existe une valeur telle queA~v= ~v.

7 On dit que est lavaleur propredeAassoci e ~ notre exemple :A= 3a 2b 2a+2b3a 3b 2a+3b =P a00b P 1avecP= 1 21 3 .DoncAP=P a00b , etA 11 =a 11 ,A 23 =b 23 . 11 est un vecteur propre, de valeur propre associ ea; 23 est un vecteur propre, de valeur propre associ propres et vecteurs propresD dit qu un vecteur~vnon nul est unvecteur propredeAsiA~vest proportionnel ~v, c est- -dire qu il existe une valeur telle queA~v= ~v. On dit que est lavaleur propredeAassoci e ~ notre exemple :A= 3a 2b 2a+2b3a 3b 2a+3b =P a00b P 1avecP= 1 21 3 .DoncAP=P a00b , etA 11 =a 11 ,A 23 =b 23 . 11 est un vecteur propre, de valeur propre associ ea; 23 est un vecteur propre, de valeur propre associ venons de d montrer :Valeurs propres et vecteurs propresD dit qu un vecteur~vnon nul est unvecteur propredeAsiA~vest proportionnel ~v, c est- -dire qu il existe une valeur telle queA~v= ~v.

8 On dit que est lavaleur propredeAassoci e ~ notre exemple :A= 3a 2b 2a+2b3a 3b 2a+3b =P a00b P 1avecP= 1 21 3 .DoncAP=P a00b , etA 11 =a 11 ,A 23 =b 23 . 11 est un vecteur propre, de valeur propre associ ea; 23 est un vecteur propre, de valeur propre associ venons de d montrer :Th or me de Diagonalisation . Une matrice carr en nestdiagonalisable ssi elle poss denvecteurs propres formant une autre exemple :Aest une matrice 2 2 telle queA 11 = 22 etA 1 1 = 1 1 . AlorsAest diagonalisable :A 1 11 1 = 2 11 ,1 1 1 = 1 11 1 2001 ,avecP=??,M=??etA=??.Un autre exemple :Aest une matrice 2 2 telle queA 11 = 22 etA 1 1 = 1 1 . AlorsAest diagonalisable :A 1 11 1 = 2 11 ,1 1 1 = 1 11 1 2001 ,avecP=??,M=??etA=??. R ponse :A=12 3 11 3 .Comment trouver les valeurs propres ?

9 On cherche d abord les i(valeurs propres).Th or me des valeurs propres. Les valeurs propres id unematriceAsont les solutions de l quationdet(A Id) = trouver les valeurs propres ?On cherche d abord les i(valeurs propres).Th or me des valeurs propres. Les valeurs propres id unematriceAsont les solutions de l quationdet(A Id) = Trouver les valeurs propres de 1 20 3 et 5 36 4 .Polyn me caract ristiqueD finitionPour toute matrice carr eA, on appelledet(A Id)lepolyn me caract ristiquedeA. Ainsi les valeurs propres deAsont pr cis ment les racines du polyn me caract D terminer le polyn me caract ristique de 1 2 30 1 20 0 1/2 , 5 3 06 4 00 1 1 , 1 0 0 00 1 0 00 01400 0 0 Puis d terminer les valeurs propres pour chacune de ces matrices.

10 4. Crit res de diagonalisabilit Th or me 0 (d j vu)Une matriceAest diagonalisable ssi elleposs de une famille de vecteurs propres formant une or me 1 (facile)Sitoutes les racinesdu polyn mecaract ristique deAsont simples, alorsAest diagonalisable. (sinon,Apeut tre ou ne pas tre diagonalisable).Th or me 2 (difficile)SiAest une matricer elle et sym trique,alors toutes les valeurs propres deAsont r elles Pour chacune des trois matrices suivantes, d terminersi elleest diagonalisable, et la diagonaliser si possible : 1 11 1 , 1 10 1 , 5 11 3 5 0 00 5 00 0 0 polyn me caract ristiqued une matrice carr eAestdet(A Id)(c est un polyn me en ).Exemple : Le polyn me caract ristique de a bc d est a bcd = (a )(d ) cd= 2 (a+d) +ad bc. 5 Trace, d terminant et valeurs propresRappel.