CHAPITRE II : CRISTALLOGRAPHIE (TD)

1 CHAPITRE II : CRISTALLOGRAPHIE (TD) L. NAZ En l'absence de cours de CRISTALLOGRAPHIE dans le tronc commun du Cycle Ing nieur Civil, il a t d cid d'int grer au cours Mat riaux pour l'ing nieur de deuxi me ann e une introduction la CRISTALLOGRAPHIE sous la forme d'un TD. Le texte de ce TD comprend une partie importante de cours de CRISTALLOGRAPHIE tr s simplifi destin introduire les concepts essentiels et les placer correctement dans l'architecture globale de la CRISTALLOGRAPHIE . En particulier les parties concernant les diverses chelles de sym tries sont essentielles pour saisir l'impact r el de l'organisation cristalline sur les propri t s des solides cristallins.

2 1 SYMETRIE D ORIENTATION, GROUPE PONCTUEL Une esp ce cristalline qui cristallise dans un milieu parfaitement homog ne et isotrope, cro t sous une forme macroscopique poly drique qui pr sente des relations de sym trie entre ses faces. Par exemple le carbone diamant cro t naturellement sous la forme simple d'un octa dre r gulier (Figure 1). Il est facile d'identifier des l ments de sym trie qui laissent une telle forme invariante : par exemple une rotation de /2 autour d'un axe passant par deux sommets oppos s de l'octa dre laisse celui-ci invariant.

3 Cet l ment de sym trie est appel axe de sym trie directe d'ordre 4 (parce que /2 = 2 /4) et est not 4. Un octa dre r gulier pr sente six sommets (soit trois paires de sommets oppos s) et il admet trois axes de sym trie directe d'ordre 4. Figure 1 : Forme de croissance du carbone diamant en octa dre r gulier LEMENTS DE SYMETRIE D'ORIENTATION DU DIAMANT Identifier les autres l ments de sym trie (axes de sym trie directe, plan de sym trie, centre de sym trie) qui laissent la forme octa drique du diamant invariante. On notera que les axes et plans de sym trie d'une forme passent n cessairement par un point qui est le centre de la forme, celui-ci correspondant ventuellement un centre de sym trie.

4 On parle ainsi d' l ments de sym trie ponctuelle, qui sont galement nomm s l ments de sym trie d'orientation. L MENTS DE SYM TRIE D'ORIENTATION DE LA CHALCOPYRITE En plus des axes de rotations directes autour d'un axe, des plans de sym trie et du centre de sym trie, il existe un autre type d' l ments de sym trie appel s axes de sym trie inverse d'indicatif q (q N). L'op ration de sym trie attach e cet axe correspond la composition d'une rotation de 2 /q autour de cet axe, et d'une sym trie par rapport un point de l'axe (sym trie centrale). La Figure 2 pr sente une forme de croissance de la chalcopyrite qualifi e par les min ralogistes de prisme section carr e terminaisons en fa te de toiture.

5 CRISTALLOGRAPHIE (TD) 15 Figure 2 : Forme de croissance de la chalcopyrite Cette forme est invariante par la compos e d'une rotation de 2 /q suivie par une sym trie centrale. Est-elle invariante par chacune de ces deux op rations de sym trie prise isol ment ? L'identification de tous les l ments de sym trie d'une forme permettrait de v rifier que ces l ments forment un groupe fini appel le groupe ponctuel de la forme. LE PRINCIPE DE CURIE Ind pendamment de l'int r t min ralogique que pr sentent les caract ristiques g om triques des formes de croissance des cristaux, celles-ci sont l'expression la plus facilement observable de l'anisotropie de l' tat cristallin.

6 Cette anisotropie se traduit en effet dans nombre de propri t s macroscopiques. Par exemple, l'aimantation spontan e en tout point d'un cristal ferromagn tique est une propri t macroscopique intrins que ce cristal qui se repr sente par un vecteur dont la direction se singularise par rapport toute autre direction de ce cristal. D'autres propri t s physiques telles que la conductivit lectrique, l'indice optique, la pyro lectricit , la pi zo lectricit , etc., peuvent tre anisotropes dans les cristaux. La caract risation de cette anisotropie se traduit par l'existence de directions particuli res du cristal autour desquelles la propri t tudi e pr sente des relations de sym trie de rotation d'ordre discret ou infini.

7 Le Principe de Curie nonce les relations entre les sym tries des propri t s macroscopiques des cristaux et l'organisation atomique des cristaux. Sa formulation exacte est : Lorsque certaines causes produisent certains effets, les l ments de sym trie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. De m me, lorsque certains effets r v lent une certaine dissym trie, cette dissym trie doit se retrouver dans les causes qui leur ont donn naissance On r sume ce principe sous les formes : Les sym tries des causes sont incluses dans celles des effets Les effets peuvent tre plus sym triques que les causes Il n'y a pas de g n ration spontan e de dissym trie La forme de croissance d'un cristal tant l'effet dont la cause est l'empilement des atomes selon l'organisation sp cifique l'esp ce consid r e, on doit pouvoir corr ler les observations effectu es sur la forme de croissance de la chalcopyrite avec la description de la structure atomique du cristal de chalcopyrite.

8 Afin de clarifier la signification de l'expression plus sym trique , nous allons comparer les l ments de sym trie de la forme de la chalcopyrite ceux d'un prisme droit base carr e. Repr senter une projection de ce prisme sur le plan de sa base carr e ainsi qu'une projection sur le plan d'un de ses c t s. Sur ces deux figures, indiquer les l ments de sym trie de ce prisme, en particulier les plans de sym trie qui sont repr sent s par la trace de leur intersection avec le plan de projection. Rep rer quels sont les l ments de sym trie du prisme droit qui ne sont pas des l ments de sym trie de la forme de la chalcopyrite.

9 L'axe de sym trie inverse d'ordre q identifi comme l ment de sym trie de la forme de la chalcopyrite appara t-il dans les l ments de sym trie du prisme droit ? Ce prisme droit est-il invariant par l'axe de 16 Mat riaux pour l'ing nieur sym trie inverse en question ? Comparer qualitativement l'orbite du groupe ponctuel de la forme de la chalcopyrite celle du groupe ponctuel du prisme droit. Dessiner une nouvelle forme qui soit sym trique par l'axe principal de sym trie directe du prisme droit et qui ne soit pas sym trique par l'axe de sym trie inverse de la chalcopyrite.

10 Quelle est la forme la plus sym trique ? 2 STUCTURE CRISTALLINE, RESEAU, SYMETRIE DE POSITION RESEAU, MOTIF La Figure 3 pr sente la structure atomique de la chalcopyrite l'aide d'une part, de la vue en perspective d'une maille, d'autre part, de la projection cot e de cette maille orthogonalement z. Figure 3: Structure de la chalcopyrite, perspective et projection cot e; Cu en noir, Fe en gris, S en blanc ; a = b = 5,25 , c = 10,32 La p riodicit de l' tat cristallin se traduit par la mise en vidence dans la structure atomique d'un cristal du r seau cristallin.