Transcription of COURS DE CRISTALLOGRAPHIE
1 COURS DE CRISTALLOGRAPHIE 1 re partie : Calcul dans les R seaux et Groupes Ponctuels Claude LECOMTE 2 1 PREMIERE PARTIE CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE Cette premi re partie se divise en cinq chapitres : Le chapitre 1 donne quelques g n ralit s sur l' tat cristallin. Le chapitre 2 est consacr aux calculs dans les r seaux : m trique d'un r seau, produit scalaire, produit vectoriel, volume de maille, plan r ticulaire, r seau r ciproque et changement de rep re. Le chapitre 3 traite de la sym trie d'orientation associ e ces diff rents r seaux. Nous d montrerons l'existence de 32 groupes de sym trie ponctuels (sym trie macroscopique). Le chapitre 4 d montre l'existence des 14 modes de r seau de Bravais.
2 Le cinqui me chapitre d crit le cristal microscopique en tenant compte des propri t s, des op rations, translations et rotations compatibles avec le r seau : la sym trie de position. Les groupes d'atomes (unit asym trique) du cristal se r p tent identiques eux-m mes par le jeu de nouveaux op rateurs de sym trie, dite de position, produits d'op ration rotation et translation. Le sixi me chapitre est une introduction l' tude des cristaux imparfaits, cristaux incommensurables et quasi-cristaux. chapitre 1 : GENERALITES SUR L'ETAT CRISTALLIN I- FACES NATURELLES D'UN CRISTAL, ELEMENTS DE SYMETRIE ET FORMES CRISTALLINES La figure repr sente un cristal d'olivine id alis : celui-ci poss de un certain nombre de faces naturelles que l'on peut grouper en familles ou formes cristallines : ainsi, certaines faces telles que la facette (1) se retrouvent, huit fois identiques elles-m mes sur le cristal ; ces faces se d duisent les unes des autres par des op rations de sym trie, appel es op rations de sym trie ponctuelles.
3 Ainsi, (1') se d duit de (1) par une op ration dite miroir (m1), (1") de (1) par le miroir , (1"') par une op ration de sym trie binaire, rotation de 180 autour de l'axe Si nous d nombrions le nombre d'op rations de sym trie existant pour d crire la morphologie du cristal, nous en trouverions huit, dont l'op rateur identit , permettant la face (1) de se retrouver 8 fois identique elle-m me. Remarquons que certaines faces dont les normales, issues du centre du cristal, sont confondues avec un axe binaire ou appartiennent un miroir, ne sont pas r p t es par ces op rateurs : ainsi, (2) ayant sa normale dans le miroir, n'est reproduite que quatre fois pour donner une forme appel e prisme, tandis que (3) ou (4) dont les normales sont confondues avec des axes binaires, qui comme nous pouvons le remarquer sont l'intersection de deux miroirs, ne se reproduisent que deux fois : cette forme est appel e pinaco de.
4 L'existence et la multiplicit des formes cristallines est li e la sym trie du cristal. La morphologie est la premi re propri t physique du cristal li e la sym trie. 2 22m22mm Figure : Habitus d'un cristal d'olivine ; les l ments de sym trie miroir m1, m2, m3 et axes binaires ( ) sont repr sent s sur la figure. Par ailleurs, un autre cristal d'olivine, cristallis dans des conditions presque identiques, peut avoir un d veloppement de faces diff rent. Cependant, on retrouvera toujours les m mes angles entre normales aux faces ; ces angles se mesurent l'aide d'un goniom tre optique (voir Annexe 1). Il en r sulte que si on trace partir du centre du cristal l'ensemble des normales aux faces, les directions de ce faisceau de droites forment un invariant (Rom de l'Isle, 1722).
5 Cette observation d montre le caract re anisotrope du cristal, les directions des normales tant des directions privil gi es. II- REPRESENTATION GEOMETRIQUE D'UN CRISTAL : PROJECTION STEREOGRAPHIQUE 1. Projection sph rique On repr sente le cristal par un faisceau de normales aux faces naturelles dont l'origine commune est le centre du cristal (figure (a)). (a) 3 (b) Figure (a) : Faisceau de normales aux faces d'un cristal (b) Projection sph rique d'un cristal Pla ons alors le cristal au centre d'une sph re de rayon r quelconque et appelons A, B, les intersections des normales aux faces du cristal avec la sph re. Ces points sont appel s projections sph riques des normales. 2. D finition de la projection st r ographique La projection sph rique du cristal est une repr sentation tridimentionnelle donc compliqu e mettre en oeuvre ; il est pr f rable d'utiliser une repr sentation deux dimensions conservant les relations angulaires existant entre les normales ; c'est la projection st r ographique, repr sentation d j connue par les grecs au deuxi me si cle avant et utilis e en CRISTALLOGRAPHIE au XIXe si cle par Neumann et Miller.
6 La figure donne le principe de cette projection : le cristal est centr en O, centre de la sph re. Appelons N et S respectivement les p les nord et sud et consid rons une normale P issue du centre O et interceptant la sph re en P dans l'hemisph re nord : le point P est la projection sph rique de P . Relions P appartenant l'hemisph re nord au p le sud S. La droite PS coupe le plan quatorial en p, projection st r ographique de P. Ainsi, comme l'indique la figure I4, un faisceau de normales interceptant l'hemisph re nord en A, B, aura pour projection st r ographique les points a, b, 4 Figure : D finition de la projection st r ographique Figure : D finition de la projection st r ographique Figure : Projection st r ographique d'un faisceau de normales (fig.)
7 Il faut remarquer que les points a, b, sont aussi les projections st r ographiques de A', B', C'..F' images de A, B, par rapport au plan . Pour diff rencier ces points, nous utilisons la convention suivante (figure (a)). 5 Figure : Convention Tout point repr sent par une croix (X) provient d'un p le appartenant l'hemisph re nord (A sur la figure). Tout point repr sent par un rond (o) est la projection st r ographique d'un point de l'hemisph re sud (B sur la figure). La projection st r ographique de ISa est repr sent e sur la figure o le cercle en pointill repr sente le cercle quatorial : la croix est la projection de A et le rond (O) celle de B ; une normale C appartenant au plan p de projection coupe la sph re dans le plan quatorial et sa projection c appartient au p rim tre du cercle de projection.
8 Nous pouvons donc la repr senter indiff remment par une croix ou un rond. 3. Propri t s de la projection st r ographique La figure est une coupe de la sph re perpendiculairement au plan quatorial et passant par une normale P dont les projections sph riques et st r ographiques sont respectivement P et p. Si est l'angle form par la normale P avec la droite ON, alors : Op = r tg /2 L'angle sera donc mesur par la longueur Op et les coordonn es sph riques (r, , ) du point P sont donc parfaitement d termin es d s l'instant o nous choisirons sur le plan de projection un axe d'origine des (voir exercice ). La projection st r ographique conserve donc les angles. Figure : Relations angulaires 6 De plus, on a : Sp = OScos ( /2) = rcos( /2) SP = SNcos( /2) = 2rcos( /2) ==> Sp x SP = 2r2 = constante La transformation est donc une inversion de centre S et de puissance 2R2.
9 III- CLIVAGE DES CRISTAUX, PREMIERE DEFINITION DE L'UNITE DE REPETITION ELEMENTAIRE Certains cristaux comme la calcite (CaCO3) ont la propri t de se s parer en plusieurs autres par glissement facile de plans cristallins les uns par rapport aux autres ; ce ph nom ne est appel clivage. Ainsi, la calcite poss de trois directions de clivage parall les aux faces d'un rhombo dre (poly dre obtenu par tirement ou compression suivant la diagonale d'espace d'un cube). Cette op ration de clivage peut se reproduire de nombreuses fois pour aboutir des cristaux tr s petits mais poss dant toujours les m mes formes. Hauy, en 1784, propose que tout cristal peut tre construit par translation p riodique dans les trois directions d'espace d'une unit l mentaire (parall l pip dique) appel e unit de r p tition ou maille l mentaire.
10 Ce caract re de r p tition p riodique par translation est une des propri t s les plus importantes des cristaux ; un exemple de construction est donn figure Figure : Construction d'un cristal par r p tition p riodique d'une maille l mentaire IV- DEFINITION DU CRISTAL Les translations de maille dans les trois directions de l'espace vont donc d finir un r seau triplement p riodique et le cristal est donc la convolution de cette fonction r seau par une fonction motif l mentaire : CRISTAL = RESEAU MOTIF A titre d'exemple, la figure (a) repr sente la structure du quartz en projection sur un plan d fini par les vecteurs a et b ; on reconnait le t tra dre SiO4 se r p tant analogue lui-m me, suivant les deux p riodes a et b . Cet ensemble a et b forme une base l mentaire au sens math matique du terme permettant de g n rer un r seau bidimensionnel (figure (b)).
