Chapitre13-Fluctuation intervalle et estimation

1 Fiche d'exercices 13 : intervalle de fluctuation et estimation intervalle de fluctuation et estimation Exercice 1 Exercice 3. Dans une classe de premi re S, il y a 9 gar ons et 28 filles. Dans cet exercice, on donne une proportion p d'un caract re donn dans une population On se demande toutefois si lorsque l'on choisit 37 l ves au hasard dans une population et la taille n d'un chantillon extrait de cette population. Dire dans chaque cas si les constitu e d'une moiti de gar ons et d'une moiti de filles, cette distribution est rare. conditions de validit d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont 1. Quelle est la fr quence des gar ons dans la classe de premi re S ?

2 Remplies ; lorsque cela est possible, d terminer un intervalle de fluctuation 2. R aliser une simulation du choix de 37 l ves avec la fonction random de la calculatrice et asymptotique : calculer la fr quence des gar ons. 1. n = 30 et p = 0,2 au seuil de 68%. 3. D terminer l' intervalle de fluctuation asymptotique de proportion de gar ons au seuil de 2. n = 200 et p =0,01 au seuil de 95%. 95%. Conclure. 3. n = 50 et p = 0,95 au seuil de 99%. En r alit l'administration du lyc e on peut obtenir l'information suivante : 4. n = 10000 et p = 10-3 au seuil de 99%. il y a 524 l ves en premi re S, dont 195 gar ons et 329 filles . 4. D terminer le nouvel intervalle de fluctuation asymptotique de 95% concernant la Exercice 4.

3 Proportion des gar ons pour un chantillon de 37 l ves. Conclure. Dans le monde, la proportion de gauchers est de 12%. Dans un club de tennis, il y a 42 gauchers parmi les 206 licenci s. Exercice 2 1. D terminer la fr quence de gauchers dans ce club. Monsieur Z, chef d'un gouvernement, affirme que 52% des lecteurs lui font confiance. On 2. D terminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. interroge 100 lecteurs au hasard (la population est suffisamment grande pour consid rer 3. Peut-on dire que ce club est repr sentatif de la proportion de gauchers dans le qu'il s'agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir partir de quelles fr quences, au monde ? seuil de 95%, on peut mettre en doute le pourcentage annonc par Monsieur Z.

4 1. On fait l'hypoth se que Monsieur Z dit vrai et que la k P(X k) Exercice 5. proportion des lecteurs qui lui font confiance dans 40 0,0106 1. Compl ter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche l' intervalle de fluctuation la population est 0,52. Montrer que la variable asymptotique au seuil de 99,7%. 41 0,0177. al atoire X correspondant au nombre d' lecteurs lui Variables : p, A et B sont des nombres r els 42 0,0286 n est un nombre entier faisant confiance sur un chantillon de 100 lecteurs, 43 0,0444 Initialisation : Lire p, Lire n suit la loi binomiale de param tres n=100 et p =0,52. 2. On donne ci-contre un extrait de la table des Traitement : Si n 0 et np 5 et n(1-p) 5. 61 0,9719 Alors probabilit s cumul es P(X k) o X suit la loi binomiale de param tres n=100 et p=0,52.

5 62 0,9827 p 1 p . Affecter A la valeur p .. (a) D terminer a et b tels que : 63 0,9897 n - a est le plus petit entier tel que P(X a) > 0,025 64 0,9941. - b est le plus petit entier tel que P(X b) > 0,975 p 1 p . Affecter B la valeur p .. a b n (b) D terminer l' intervalle de fluctuation n ; n et comparer avec l' intervalle Afficher l' intervalle [A ; B]. Sinon 1 1 Afficher On ne peut pas calculer p ; p . l' intervalle de fluctuation . n n . 2. Que va afficher cet algorithme si l'utilisateur utilise les valeurs n=40 et p=0,898 ? (c) En utilisant le th or me de Moivre-Laplace, construire un intervalle au seuil asymptotique de 95%. Conclure. 1/3. Fiche d'exercices 13 : intervalle de fluctuation et estimation Math matiques terminale S obligatoire - Ann e scolaire 2015/2016.

6 PHYSIQUE ET MATHS Soutien scolaire et universitaire - - - 06-01-98-97-87. (a) L'institut de sondage d clare que le candidat A sera lu avec un niveau de confiance de 95% En utilisant un intervalle de confiance au niveau , expliquer 3. Une usine fabrique des ampoules et on teste la dur e de vie de ces ampoules. pour l'institut se trompe. (a) Quelle doit tre la taille minimale de l' chantillon pour que l'on puisse utiliser (b) D terminer la taille minimale de l' chantillon pour que l'institut de sondage ait l' intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95% ? raison. (b) D terminer l' intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 68%. pour un chantillon de 1000 ampoules en arrondissant les bornes 10-4 pr s.

7 Exercice 7 (devoir surveill ). (c) Dans la population de cette entreprise, on a relev 870 ampoules en tat de marche On interroge un chantillon de 1000 personnes choisies de fa on al atoire dans la apr s 900 heures sur les 1000 ampoules test es. Le fabricant affirme que sa population fran aise. Sur ces 1000 personnes, 490 sont des femmes, 312 ont moins de 25. production est dans la norme habituelle constat e dans le commerce. A-t-il ans. raison ? 1. (a) D'apr s l'INSEE, la proportion de femmes dans la population fran aise est de (d) Cette entreprise modernise sa cha ne de production et sur un lot de 10 000 51,6%. En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, ampoules, on a 9 200 ampoules avec une dur e de vie sup rieure 900 heures.

8 D terminer si l' chantillon est conforme la r partition hommes - femmes dans la Le fabricant peut-il, au seuil de 95%, faire la publicit affirmant que la proportion population fran aise. d'ampoules dont la dur e de vie est sup rieure 900 heures est sup rieure la (b) D'apr s l'INSEE, la proportion de jeunes de moins de 25 ans dans la population moyenne constat e dans le commerce ? fran aise est de 30,8%. En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, d terminer si l' chantillon est conforme la proportion de jeunes Exercice 6 (devoir surveill ) de moins de 25 ans dans la population fran aise. Un institut de sondage d sire choisir un chantillon repr sentatif pour interroger les 2.

9 On interroge les personnes de cet chantillon au sujet d'une mission de t l vision. fran ais sur leur intention de vote au second tour d'une lection pr sidentielle. 258 personnes se disent int ress es par cette mission. L' chantillon est choisi parmi la population active, l'institut choisit comme crit res de (a) D terminer un intervalle de confiance de niveau 95% pour la proportion des repr sentativit le secteur d'activit des personnes interrog es. personnes int ress es par cette mission dans la population. On sait que parmi la population active, 10,5% des fran ais sont des demandeurs d'emploi, (b) Comment doit-on augmenter la taille de l' chantillon, pour que l'amplitude de 20,9% travaillent dans le secteur public et 21,6% travaillent dans l'agriculture, l'industrie l' intervalle de confiance soit divis par 2 ?

10 (justifier). ou la construction. 1. L'institut tabli un premier chantillon constitu de 1000 personnes, parmi celles-ci 90 Exercice 8. sont des demandeurs d'emploi, 220 travaillent dans le secteur public et 170 dans 1. Question de cours l'agriculture, l'industrie ou la construction. Pr -requis : (a) D terminer l' intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable - th or me de Moivre - Laplace al atoire proportion de demandeurs d'emploi dans un chantillon al atoire de - si Z suit la loi normale centr e r duite, alors p 1,96 Z 1,96 0,95. taille 1000 s lectionn au sein de la population active. (a) Soit Xn une variable al atoire suivant la loi binomiale de param tres n et p.