Chapitre7-Integrales et primitives - Physique et Maths

1 primitives et int grales - ExercicesInt grales et propri t sExercice 1On consid re les fonctions et g(x)=1 utilisant la d finition d une int grale, calculer :(a) 12f(x)dx(c) 41f(x)dx(b) 03g(x)dx(d) 55g(x)dxExercice 2 Soit f la fonction d finie sur [-1 ; 1 ] par f(x)= 1 x2. On note C la courbe repr sentative de V rifier que la courbe C est un demi-cercle de centre O et de rayon En d duire la valeur de 01 1 3 Soit f la fonction affine par morceaux d finie sur [-4 ; 4 ] par sa courbe repr sentation Calculer 44f(x) D terminer la valeur moyenne de f(x) sur [-4 ; 4].Exercice 4 Soit f la fonction affine par morceaux d finie sur [-2 ; 4 ] par sa courbe repr sentation Justifier que 1 01f(x)dx D terminer un encadrement de 2 1f(x)dx, 10f(x)dx et 14f(x) En d duire un encadrement de 24f(x) 5 Soit la fonction f d finie sur par : f(x)=e 3xOn d signe par C sa courbe repr sentative dans le plan muni d un rep re orthonormal d unit graphique Tracer Pour r el non nul, on pose I= 0+ f(x)dx.

2 (a) Justifier l existence de I.(b) Donner le signe et une interpr tation graphique de I.(c) Repr senter graphiquement On d finit sur * la suite (un) par : un= 01f(x)exndx(a)Donner pour tout n de *, le signe de un.(b)Montrer que pour tout n de * : I1 un e1nI1 avec I1= 01f(x)dx1/10 primitives et int grales - ExercicesMath matiques terminale S obligatoire - Ann e scolaire 2019/2020h Exercice 6 Pour tout entier n de *, on consid re l int grale :In= nn+1(1x)dx 1.(a) Etudier pour tout x ]0,+ [, les variation de (In).(b) D montrer que, pour tout n *, In 0. Conclure sur la nature de la montrer que l on a : 1n+1<In< d duire la limite de 7 Pour n *, soit In= 0 4xnsin(2x)dx. On ne cherchera pas calculer D montrer que pour tout n * : 0 In ( 4)n+12.

3 Quelle est la limite de In ?Exercice 8On consid re la fonction f d finie sur [0 ; 1] par :f(x)=(x+2)e xOn note D le domaine compris entre l axe des abscisses, la courbe C et les droites d quation x = 0 et x = 1. On approche l aire du domaine D en calculant la somme d aires de (a)Dans cette question, on d coupe l intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de m me longueur. sur l intervalle [0;14], on construit un rectangle de hauteur f(0) sur l intervalle [14;12], on construit un rectangle de hauteur f(14) sur l intervalle [12;34], on construit un rectangle de hauteur f(12) sur l intervalle [34;1], on construit un rectangle de hauteur f(34)Cette construction est illustr e ci-apr algorithme ci-dessous permet d obtenir une valeur approch e de l aire du domaine D en ajoutant les aires des quatre rectangles pr c dents :Variables :k est un nombre entierS est un nombre r elInitialisation :Affecter S la valeur 0 Traitement :Pour k allant de 0 3 Affecter S la valeurS+14f(k4)Fin pourSortie :Afficher SDonner une valeur approch e 10-3 pr s du r sultat affich par cet algorithme.

4 (b)Dans cette question, N est un nombre entier strictement sup rieur 1. On d coupe l intervalle [0 ; 1] en N intervalles de m me longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en proc dant de la m me mani re qu la question 1. (a).Modifier l algorithme pr c dent afin qu il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles appelle I= 01(x+2)e xdx2.(a) D terminer le signe de I.(b)Etudier les variations de f(x) puis donner un encadrement de I sur [0 ; 1].3. Soit g la fonction d finie sur par g(x)=( x 3)e x(a)D montrer que g est une primitive de la fonction f sur .(b)Calculer l aire A du domaine D, exprim e en unit s d et int grales - ExercicesMath matiques terminale S obligatoire - Ann e scolaire 2019/2020h Exercice 9On consid re la fonction f d finie sur [0 ; 1] par :f(x)=(x+2)e12x1.

5 On pose I= 01f(x)dx(a)Interpr ter g om triquement le r el I.(b)Soient u et v les fonctions d finies sur [0 ; 1] par u(x)=x et v(x)= rifier que f=2(u'v+uv')(c)En d duire la valeur exacte de l int grale On donne l algorithme :k et n sont des entiers naturelsS est un nombre r elEntr e : Demander l utilisateur la valeur de nInitialisation :Affecter S la valeur 0 Traitement :Pour k allant de 0 n-1 Affecter S la valeur S+1nf(kn)Fin pourSortie :Afficher SOn note sn le nombre affich par cet algorithme lorsque l utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n.(a)Justifier que s3 repr sente l aire, exprim e en unit s d aire, du domaine hachur sur le graphique ci-dessous o les trois rectangles ont la m me largeur.

6 (b)Que dire de sn fournie par l algorithme propos lorsque n devient grand ?PrimitivesExercice 10On consid re deux fonctions f et F d finies sur chaque cas, montrer que F est une primitive de f sur F(x)=(x 1)( x+4) f(x)= 2x+5I = 2. F(x)=(4x+1)e x2 f(x)=( 8x2 2x+4)e x2I = 3. F(x)=3x+1x 5 f(x)= 16(x 5)2I = \ {5}4. F(x)=52 5x+2f(x)= 5x+2I=] 25;+ [Exercice 11 Donner une primitive sur l intervalle I de chacune des fonctions suivantes :1. I = 2. f(x)=3x+3 x2+2xI=]13;+ [3. f(x)=(2x+1)(x2+x 7)I = 4. f(x)=(3x 1)6I = 5. f(x)=4(2x 1)4I=]12;+ [6. f(x)=6xex2+1I = Exercice 12 Donner une primitive sur l intervalle I de chacune des fonctions suivantes :1. f(x)=sin(x)cos2(x)I = 2. f(x)=4cos(2x+1)I = 3. f(x)=sinxcos2xI=] 2; 2[4.

7 F(x)=cosxsin4xI = 5. f(x)=sin2xI = 3/10 primitives et int grales - ExercicesMath matiques terminale S obligatoire - Ann e scolaire 2019/2020h Exercice 13 Donner une primitive sur l intervalle I de chacune des fonctions suivantes :1. I=]4;+ [2. I=]0;+ [3. I=] ; [ 4. I=] 2; 2[5. Exercice 14 Soit la fonction f d finie sur par : g d finie sur par : 1. Calculer .2. Soit . Calculer et en d duire la valeur de .Exercice 15On consid re la fonction f d finie par :D terminer les nombres r els a et b tels que, pour tout x l ment de l ensemble de f :En d duire une primitive F de la fonction f sur l intervalle ]3 ;+ [. Exercice 16 Soit 1. Montrer que pour tout x on a .2. En d duire la primitive F telle que.

8 Calcul d int gralesExercice 17 Calculer les int grales suivantes :(a)(b)(c)Exercice 18 Calculer les int grales suivantes :(a)(b)(c)Exercice 1 9 Calculer les int grales suivantes :1. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 8. Exercice 20On consid re la fonction f d finie sur par f(x)=11+ V rifier que pour tout x, f(x)=1 ex1+ d duire la valeur de l int grale J= 01f(x) et int grales - ExercicesMath matiques terminale S obligatoire - Ann e scolaire 2019/2020h Exercice 211. D terminer a, b et c tel que pour tout x -2 :2. En d duire Exercice 22 Calculer les int grales suivantes :(a)(b)(c)Exercice 231. R soudre l in quation .2.(a)Soit f d finie sur ]0 ; + [ par .Calculer pour tout x >0.(b)En d duire . que l on a Probl mes de synth seExercice 2 4 (devoir surveill )On se propose de d terminer une valeur approch e 10-2 pr s de l int grale o f est la fonction d finie sur [0 ; 1] par 1.

9 D montrer que pour tout x [0 ; 1] :2. Soient J et K les int grales d finies par : ; (a) Calculer J et montrer que . (aide : une primitive de est de la forme ).(b)Utiliser l encadrement de la question 1. pour d montrer que :(c)D montrer que J + K = 4L.(d)En d duire un encadrement de L, puis donner une valeur approch e de L 10-2 pr 2 5 (devoir surveill )On consid re la suite (xn) d finie pour tout entier naturel n non nul par :1.(a)Montrer que la suite (xn) est terme positifs.(b)Montrer que tout n et pour t [0 ; 1] on .(c)En d duire les variations de la suite (xn).(d)Que peut-on en d duire quant la convergence de la suite (xn) ?2.(a)D montrer que pour tout entier naturel n non nul, .(b)En d duire la limite de la suite (xn).

10 Exercice 2 6 (devoir surveill )On consid re la suite (un) d finie pour tout entier naturel n non nul par :1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, .2.(a)D montrer que pour tout r el t de l intervalle [0 ; 1 ] et pour tout entier naturel non nul n :(b)En d duire que pour tout n , .3. D terminer la limite de la suite (un).5/10 primitives et int grales - ExercicesMath matiques terminale S obligatoire - Ann e scolaire 2019/2020h Exercice 2 7 (Baccalaur at Nouvelle Cal donie Mars 2014)Soit f la fonction d finie sur l intervalle par :Soit C la courbe repr sentative de la fonction f dans un rep re A l aire, exprim e en unit s d aires, de la partie du plan comprise entre l axe des abscisses, la courbe C et les droites d quations respectives x=1 et x= utilise l algorithme suivant pour calculer, par la m thode des rectangles, une valeur approch e de l aire A (voir figure ci-apr s).