Circuits triphasés déséquilibrés

1 R seaux triphas sTable des mati res1 Circuits triphas s avec conducteur thode vectorielle .. num rique .. termination graphique de IN .. de IN .. op rateur a .. ma quivalent .. des tensions en fonction deaet deV1.. num rique:R1=5 R2=10 R3=20 V=230V42 Circuits triphas s sans conducteur .. num rique .. en est-il des courants I ? .. en est-il des tensions V aux borne des charges ? .. en est-il des puissances consomm es ? ..7 Circuits triphas s d s quilibr sPour mettre en vidence l impact d unr seau triphas sur une charge triphas e d s quilibr e,nous allons consid rer un m me circuit aliment dans 2 configurations possibles: Avec conducteur Neutre: conditions normales de fonctionnement.

2 Sans conducteur Neutre: rupture du conducteur donc conditions anormales applications suivantes n cessitent la connaissance des r seaux triphas s ainsi que desnombres complexes. L tude est r alis e sur un circuit r sistif afin d viter les difficult s li esaux d phasages qui sont introduites par les r actances inductives et/ou anmoins,les notions abord es ci-dessous donnent les cl s pour traiter tous types deprobl mes. L objectif vis par cette application n est pas de se lancer dans des calculscompliqu s mais de saisir la nature des ph nom nes fois les principes acquis, ilest pr f rable de simuler le fonctionnement des Circuits que l on veut tudier l aide demodeleur math L application tudi e ci-dessus est mod lis e l adresse suivante: La mod lisation des composantes sym triques est visibleici: Sanchezpage 1 seaux triphas s1 Circuits triphas s avec conducteur M thode vectorielleFigure 1.

3 Tensions simples et courantsLes tensions simples (entre phases et Neutre) qui composent le r seau triphas sont d phas esde 120 ou2 r cepteur est soumis la tensionVet est travers par le courantItelque:I1=V1R1(1)I2=V2R2(2)I3=V3 R3(3)Le courantINdans le conducteur Neutre est donn parla loi des n uds:IN1=V1R1+V2R2+V3R3(4) Application num riqueR1=5 R2=10 R3=20 V=230VI1=V1R1=46AI2=V2R2=23AI3=V3R3=11, D termination graphique de INLe courant dans le conducteur neutre se d duit de l expression (4). Le mod le effectu l aidedu logicielGeogebradonne le r sultat suivant:IN=30,4 AFigure 2: Construction vectorielle des courantsMarc Sanchezpage 2 seaux triphas de INLe calcul de IN n cessite l emploi d outils math matiques qui permettent d effectuer descalculs entre grandeurs lectriques qui pr sentent des d phasages diff rents:ce sont lesnombres lectriciens utilisent un op rateur quig rede mani re simpleles rotations de 120 omnipr sentes dans les r seaux triphas s: l op L op rateur aL op rateuraest tel que.

4 A=ej2 3=cos2 3+jsin2 3= 12+J 32a= 12+J 32(5)Rappel:jest leides math maticiens, il identifie la partie imaginaire d un nombre complexeen imprimant une rotation de 90 la partie imaginairepar rapport la partier elle, il et est tel que:i2=j2= 1 Figure 3: L op rateur a dans le cercle trigonom triqueV1 Axe des r elsAxe des imaginairesCercle trigonom trique r =1V3V2aa 23 2321 120 L int r t de l op rateuraest de pouvoir exprimer toutes les grandeurs lectriques partir de latension d est d phas e de 240 ou4 3par rapport V1est obtenue en effectuant l op rationsuivante:V2=a2V1aveca2=ej4 3= 12+J 12 J 32(6)La tensionV3d phas e de 120 ou2 3est calcul e en utilisant la m me m thode.

5 V3= aV1V2=a2V1(7)V3=aV1(8)Marc Sanchezpage 3 seaux triphas Sch ma quivalentLe sch ma quivalent du circuit exprim en fonction dea et de V1est comme ci-dessous:Figure 4: Mod le du circuit exprim en fonction de a et de V1R1R2R3L1L2L3NI1a I1aI1V1V1 INa Expression des tensions en fonction deaet deV1L expression(4) peut d sormais s crire:IN=V1R1+a2V1R2+aV1R3(9)IN=V1R1+V1R 2( 12 J 32)+V1R3( 12+J 32)=V1R1+V12R2( 1 J 3)+V12R3( 1+J 3)IN=V1R1 V12R2 jV1 32R2 V12R3+jV1 32R3 Note: On observe que lorsque les r sistances sont de valeurs gales le courant dans leconducteur neutre est nul:IN = 0etI1= I2= Application num rique:R1=5 R2=10 R3=20 V=230 VIN=2305 23020 j230 320 23040+j230 340=184040 46040 j460 340 23040+j230 340=115040 j230 340=140(1150 j230 3)Nous connaissonsla composante r elleetla composante imaginairedu courant (c t adjacent et oppos du triangle: voir figure 4).

6 La valeur du courant IN est donn e par le calculde l hypot nuse:IN=140 11502+(230 3)2=30,4 AFigure 5: Mod le du circuit exprim en fonction de a et de V1IN=30,4 AAxe des r elsAxe des imaginaires401150403230 Marc Sanchezpage 4 seaux triphas s2 Circuits triphas s sans conducteur NeutreLorsque le neutre du r seau n est plus raccord la charge (figure 5), la tension pr sente auxbornes de chaque l ments prend une valeurV qui varie en fonction du d s quilibre fix parla valeur des r 6: Neutre non raccord la chargeR1R2R3N L1L2L3NI1I2I3V1V 1V RelationsLa figure(5)permet d crire les relations suivantes:V1 V 1=V N(10)V2 V 2=V N(11)V3 V 3=V N(12)I1+I2+I3=0(13)I1=V 1R1=V1 V NR1(14)I2=V 2R2=V2 V NR2(15)I3=V 3R3=V3 V NR1(16)(9) devient:V1 V NR1+V2 V NR2+V3 V NR3=0V1R1+V2R2+V3R3=V NR1+V NR2+V NR3V1R1+V2R2+V3R3=V N(1R1+1R2+1R3)V1R1+V2R2+V3R3=V N(1R1+1R2+1R3)(17)On consid re que valeur des tensions compos es n est pas affect e par la pr sence oul absence du neutre au niveau de la charge.

7 Le r seau tant identique au cas tudi pr c demment les relations (7) et (8) sont toujours valables et (17) devient:V1R1+a2V1R2+aV1R3=V N(1R1+1R2+1R3)(18)V1R1+V1R2( 12 J 32)+V1R3( 12+J 32)=V N(1R1+1R2+1R3)etV1R1+V12R2( 1 J 3)+V12R3( 1+J 3)=V N(1R1+1R2+1R3)Marc Sanchezpage 5 seaux triphas Si R1=R2=R3La relation (18) devient:V1R V12R jV1 32R V12R+jV1 32R=3V NRdoncV1R V1R=3V NRetV N= circuit est quilibr (four triphas par exemple):V=V etI1=I2=I3,un point neutreartificiel s est cr . Si R16=R26=R3La relation (18) devient:V1R1 V12R2 jV1 32R2 V12R3+jV1 32R3=V N(1R1+1R2+1R3) Application num riqueR1=5 R2=10 R3=20 V=230V2305 23020 j230 320 23040+j230 340=V N(15+110+120)il vient140(1150 j230 3)=7V N20V N=114(1150 j230 3)il vientV N=86,9A Qu en est-il des courants I ?

8 Les relations (14), (15) et (16) permettent maintenant de calculer les courants:Courant I1I1=V1 V NR1=1R1(V1 114(1150 j230 3))=15(230 1414 115014+j230 314)=170(2070+j230 3)=30,1A10,9degCourant I2I2=a2V1 V NR2=1R2(a2V1 114(1150 j230 3))=1R2(( 12 J 32)V1 114(1150 j230 3))=110( 2302 j230 32 114(1150 j230 3)}=110( 230 714 j230 7 314 115014+j230 314)=1140( 2760 j1380 3)=26A40,9degCourant I3I3=aV1 V NR3=1R3(aV1 114(1150 j230 3))=1R3(( 12+J 32)V1 114(1150+j230 3))=120( 2302+j230 32 114(1150 j230 3))=120( 230 714+j230 7 314 115014+j230 314)=1280( 2760+j1840 3))

9 =15A 49,1degMarc Sanchezpage 6 seaux triphas Qu en est-il des tensions V aux borne des charges ?Les tensions sont donn es par la loi d ohm2:V 1=R1I1=5 30,1=150,5V10,9deg(19)V 2=R2I2=10 26=260V40,9deg(20)V 3=R3I3=20 15=300V 49,1deg(21) Qu en est-il des puissances consomm es ?Avec Neutre raccord P1=R1I12=5 462=10580W(22)P2=R2I22=10 232=5290W(23)P3=R3I32=20 11,52=2645W(24)Avec Neutre coup P1=R1I12=5 30,12=4530W(25)P2=R2I22=10 262=6760W(26)P3=R3I32=20 152=4500W(27)P=V2 Rdonne un r sultat identique chiffres parlent: La coupure du neutre provoque la suralimentation ou lasous alimentation des r cepteurs.

10 La protection des Circuits d s quilibr s dont l alimentationest triphas e + Neutre doit tre r alis e par des protection t trapolaires dont les 4 p le sont li s(NF C 15-100) coupure unipolaire rupture de neutre peut surveniraccidentellement sur les lignes a riennes:chute de les charges sont quilibr es3, le conducteur neutre est inutile car unpoint neutreartificielse forme au point commun du couplage toile, qui quilibre naturellement lesgrandeurs lectriques. Les calculs s appliquent videmment aux r cepteurs inductifs et/oucapacitifs: dans ce cas les parties imaginairesjL et/ou1C sont int gr es les 7: Protection t trapolaireR1R2R3L1L2L3N2 Les charges sont constitu es de r sistances par cons quent, les courants I et les tensions V correspondantesrestent en l on parle de charge quil