COMPOSITION DE FONCTIONS - maths et tiques

1 Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 1 COMPOSITION DE FONCTIONS Partie 1 : Compos e de deux FONCTIONS Exemple : On consid re la fonction f d finie par ( )= 3 La fonction f est la compos e de deux FONCTIONS et telles que : 3 3 Les FONCTIONS et sont d finies par : ( )= 3 et ( )= On dit que la fonction f est la compos e de par et on note : ( )= ( )= / ( )0= 3 D finition : On appelle fonction compos e de par la fonction not e d finie par : ( )= / ( )0. M thode : Identifier la compos e de deux FONCTIONS Vid o On consid re la fonction d finie par ( )= !

2 "!. Identifier la compos e de deux FONCTIONS dans la fonction . Correction Dans , on reconnait la fonction inverse et la fonction carr . Si on pose : ( )= ! et ( )= !" On a alors : ( )= !"! = !#(")= ! ( )$= ( ). La fonction est la compos e de la fonction carr par la fonction inverse. M thode : Composer deux FONCTIONS Vid o On consid re les FONCTIONS et d finies par : ( )= !+ et ( )= ""#!. Exprimer les FONCTIONS et en fonction de x. Correction On a : ( )= !+ et ( )= ""#! ( )= / ( )0= !+ !+ +1 Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 2 ( )= / ( )0= 3 +14!

3 + +1 Partie 2 : Formules de d rivation d une fonction compos e 1) Cas particuliers de FONCTIONS compos es Fonction D riv e " avec "$% & & ln cos 'sin sin 'cos M thode : D terminer la d riv e de FONCTIONS compos es Vid o Vid o D terminer les d riv es des FONCTIONS d finies par : a) ( )=(2 !+3 3)( b) ( )=2 !" c) ( )=ln (2 !) Correction a) On pose : ( )=( ( ))( avec ( )=2 !+3 3 ( )=4 +3 Donc : ( )=4 ( )( ( ))) =4(4 +3)(2 !+3 3)) b) On pose : ( )=2 &(+) avec ( )= !" '( )= !"! Donc : ( )=2 ( ) &(+) =2 E 1 !

4 F !" = 2 ! !" c) On pose : ( )=ln ( ( )) avec ( )=2 ! '( )=2 2 Donc : ( )= ( ) ( ) =2 2 2 ! Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 3 2) Cas g n ral Propri t : ( ( ( )))'= ( ) / ( )0 ou encore ( )'= ( ) M thode : D terminer la d riv e d une fonction compos e (cas g n ral) Vid o D terminer la d riv e de la fonction d finie sur par ( )= !+1. Correction On consid re les FONCTIONS et d finies par : ( )= !+1 et ( )= Alors : ( )= !+1= / ( )0 On a : ( )=2 et ( )= !) " Donc : ( )= ( ) '/ ( )0 =2 12 !+1 = !+1 Partie 3 : Formules de primitives des FONCTIONS compos es Fonction Une primitive ( + ) 1 ( + ) o est une primitive de " { 1} 1 +1 "-% & & ln 'cos sin 'sin cos M thode : Recherche de primitives Vid o Vid o Dans chaque cas, d terminer une primitive de la fonction.

5 Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 4 a) ( )=(2 5)( ! 5 +4)! b) ( )= +# c) ( )=cos(2 ) 3sin(3 1) Correction a) ( )=(2 5)( ! 5 +4)! du type " avec ( )= ! 5 +4 '( )=2 5 Une primitive de " est de la forme %"-% "-%, avec =2. Soit : ( )=13( ! 5 +4)) b) ( )= +#=122 +# du type & avec ( )= ! '( )=2 Une primitive de & est de la forme &. Soit : ( )=12 +# c) ( )=cos(2 ) 3sin(3 1)=12 2cos(2 ) 3sin(3 1) Donc ( )=12sin(2 )+cos(3 1) M thode : Calculer une int grale partir d'une primitive Vid o Vid o Vid o Calculer : Q $!

6 +%$% Correction On note : ( )= $!+=1 2( 2) $!+ Une primitive de est tel que : ( )=1 2 $!+ Donc : Q $!+%$% =S1 2 $!+T$%%= (1) ( 1) =1 2 $! % 1 2 $! ($%) = 12 $!+12 ! =12E ! 1 !F Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, m me partielle, autres que celles pr vues l'article L 122-5 du code de la propri t intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.