ECHANTILLONNAGE - maths et tiques

1 1 sur 7. ECHANTILLONNAGE . Le principe : On consid re par exemple l'exp rience suivante consistant lancer plusieurs fois un d . et noter si la face sup rieure affich e est un 4 ou un autre nombre. 1. La valeur suppos e et th orique de la probabilit d'obtenir un 4 est . 6. La mise en d faut ou non de cette exp rience, nous permettra d'affirmer s'il est raisonnable de penser que le d est pip ou ne l'est pas. En r alisant l'exp rience un certain nombre de fois ( chantillon), on mesure la fr quence d'apparition du 4. Si la fr quence et la valeur th orique sont trop " loign es" (d passent un seuil fix ) alors on peut rejeter la valeur th orique et consid rer que le d est pip . Dans le cas inverse, on consid re qu'il ne l'est pas. I. Notion d' chantillon Exemple : Si, sur l'ensemble des cartes puce produites par une entreprise en une semaine, on en pr l ve 200, on dit que cet ensemble de 200 cartes puce constitue un chantillon de taille 200 de la population de toutes les cartes puce produites en une semaine.

2 D finition : Un chantillon de taille n est constitu des r sultats de n r p titions ind pendantes de la m me exp rience sur l'ensemble des personnes ou objets sur lesquels porte l' tude statistique (la population). Un chantillon issu d'une population est donc l'ensemble de quelques l ments de cette population. II. Intervalle de fluctuation On suppose que 22% des cartes puce produites par l'entreprise sont d fectueuses. La proportion th orique p est donc gale 22%. On pr l ve un chantillon de taille 200 parmi cette production et on compte le nombre de cartes puce d fectueuses parmi cet chantillon. Ce nombre est gal 41. 41. Dans ce cas, la fr quence observ e f est gale = 0,205 . 200. Pour un chantillon de taille 200, l'intervalle de fluctuation de la fr quence p des cartes puce d fectueuses au seuil de 95 %, est un intervalle de centre 0,22 tel que les Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 2 sur 7. fr quences observ es se trouvent dans cet intervalle pour 95 % des chantillons de taille 200.

3 D finition : L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% d'une fr quence d'un chantillon de taille n est l'intervalle centr autour de la proportion th orique p tel que la fr quence observ e f se trouve dans l'intervalle avec une probabilit gale 0,95. Propri t : Pour 0,2 < p < 0,8 et n > 25, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de f est l'intervalle 1 1 . p ;p+ . n n . Cela signifie qu'on a une probabilit de 0,95 pour que la fr quence observ e se trouve 1 1 . dans l'intervalle p ;p+ . n n . Remarque : 2. L'amplitude de cet intervalle est gale . n Dans l'exemple pr c dent, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de p = 0,22 est 1 1 . 0,22 ;0,22 + soit de fa on approch e [0,15 ; 0,29]. 200 200 . M thode : Prendre une d cision partir d'un chantillon Vid o Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin d'emploi o il y a autant de femmes que d'hommes, avec la contrainte du respect de la parit . Dans l'entreprise A, il y a 100 employ s dont 43 femmes (soit 43 %).

4 Dans l'entreprise B, il y a 2500 employ s dont 1150 femmes (soit 46 %). Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 3 sur 7. Or, 46 % est plus proche de 50 % que 43 % : les chiffres parlent d'eux-m mes ! Si on admet que la parit , c'est exactement 50 % de femmes, il est vrai que B est plus proche que A. Peut-on alors affirmer que l'entreprise B respecte mieux la parit que l'entreprise A ? (D'apr s document ressource Prob-stat - Juin 2009). La proportion th orique p est gale 0,5 (50% de femmes). Pour l'entreprise A : La taille de l' chantillon n est gale 100. La fr quence observ e f est gale 0,43. Pour l'entreprise B : La taille de l' chantillon n est gale 2500. La fr quence observ e f est gale 0,46. Pour chaque entreprise, peut-on affirmer que la fr quence de femmes respecte la parit ? Pour y r pondre, on va v rifier dans chaque cas si la fr quence observ e f se situe dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Pour l'entreprise A : L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de p = 0,5 est : 1 1.

5 I f = 0,5 ;0,5 + = [ 0, 4 ; 0,6 ] f = 0, 43 I f 100 100 donc Pour l'entreprise B : L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de p = 0,5 est : 1 1 . I f = 0,5 ;0,5 + = [ 0, 48 ; 0,52 ]. 2500 2500 donc f = 0, 46 I f . La valeur 43% est donc dans l'intervalle de fluctuation de l'entreprise A alors que la valeur 46% n'est pas dans l'intervalle de fluctuation de l'entreprise B. La proportion de 46% s'observe donc dans moins de 5% des chantillons de taille 2500. On peut alors rejeter l'hypoth se que l'entreprise B respecte la parit . Par contre, pour l'entreprise A, on peut accepter cette hypoth se. Exercices conseill s En devoir Exercices conseill s En devoir Ex 1 6, 8, 9 Ex 7 (page 6) Ex 1 6, 8, 9 Ex 7 (page 6). (page 6) (page 6). p282 n 30 p285 n 21. p283 n 34 p292 n 57. p284 n 45 p285 n 22, 23. p292 n 54. ODYSS E 2de HATIER Edition 2010 ODYSS E 2de HATIER Edition 2014. Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 4 sur 7. III. Intervalle de confiance Exemple : Un jeu consiste tirer 100 billes d'un sac contenant 300 billes noires et 300 billes blanches.

6 L'exp rience peut tre simul e avec un tableur afin d'effectuer rapidement un grand nombre de tirage. Pour cet chantillon de taille 100, on compte le nombre de billes noires et on calcule la fr quence observ e f. On pourrait ainsi v rifier que, dans 95 % des cas, la fr quence des billes noires dans l' chantillon appartient l'intervalle : 1 1 . 0,5 ;0,5 + soit : [0,4 ; 0,6] o p = 0,5 et n = 100. 100 100 . NUAGE DE POINTS DES FREQUENCES OBSERVEES. DES BILLES NOIRES POUR 50 TIRAGES EFFECTUES. D finition : Soit p la proportion th orique tel que 0,2 < p < 0,8. On consid re la fr quence observ e f pour un chantillon donn de taille n > 25. 1 1 . L'intervalle I C = f ;f + est appel un intervalle de confiance (ou fourchette n n . de sondage) de p au niveau 0,95. Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 5 sur 7. Propri t : 95 % des intervalles de confiance associ s aux chantillons de taille n possibles ayant comme fr quence observ e f contiennent la proportion th orique p.

7 M thode : Estimer une proportion inconnue Vid o 1) Avant les lections, le candidat A commande un sondage effectu sur 250 personnes. 138 personnes interrog es d clarent avoir l'intention de voter pour le candidat A. Le candidat A peut-il esp rer tre lu ? 2) Le candidat A commande un second sondage effectu sur 1000 personnes pour lequel 538 personnes d clarent avoir l'intention de voter pour lui. Le candidat A peut-il esp rer tre lu ? 1) Soit p la proportion th orique d' lecteurs pour le candidat A. 138. La fr quence observ e est gale f = = 0,552. 250. L'intervalle de confiance de p au seuil de 0,95 est : 1 1 . I C = 0,552 ;0,552 +. 250 250 soit de fa on approch e [0,49 ; 0,62]. On a donc : 0,49 < p < 0,62. Il est donc possible que le candidat A ne soit pas lu. 538. 2) La fr quence observ e est gale f = = 0,538. 1000. L'intervalle de confiance de p au seuil de 0,95 est : 1 1 . I C = 0,538 ;0,538 +. 1000 1000 soit de fa on approch e [0,51 ; 0,57]. On a donc : 0,51 < p < 0,57.

8 La proportion th orique valu e est sup rieure 50%. Le candidat A peut donc esp rer tre lu puisque 95% des chantillons possibles de taille 1000 seraient compris dans cet intervalle. Exercices conseill s En devoir Exercices conseill s En devoir Ex 10, 11, 12, Ex 13 (page 7) Ex 10, 11, 12, Ex 13 (page 7). 14* (page 7) 14* (page 7). p292 n 58. ODYSS E 2de HATIER Edition 2010 ODYSS E 2de HATIER Edition 2014. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, m me partielle, autres que celles pr vues l'article L 122-5 du code de la propri t intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. Yvan Monka Acad mie de Strasbourg 6 sur 7. Exercice 1. Une urne contient des boules de diff rentes couleurs dont 75% de boules rouges. Cyril tire une boule au hasard, note la couleur et la remet dans l'urne. Il pr tend avoir effectu cette exp rience 60 fois et avoir obtenu 35 boules rouges. Son fr re Paulo affirme qu'il n'a pas fait l'exp rience s rieusement.

9 On se propose de v rifier s'il a de bonnes raisons de l'affirmer. 1) D terminer la proportion th orique p et la taille n de l' chantillon. 2) Calculer la fr quence observ e f. 3) Calculer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% If. 4) V rifier si la fr quence observ e f appartient l'intervalle de fluctuation If et conclure. Exercice 2. La proportion de personnes aux cheveux ch tains en France est d'environ 50%. On a observ un chantillon de 150 personnes dont 89 ont les cheveux ch tains. Cet chantillon est-il repr sentatif de la population ? Exercice 3. Dans une classe de 37 l ves, un d l gu de classe a t lu avec 60% des voix. Parmi les 17 filles, 11 d'entre elles ont vot pour ce d l gu . Les filles sont-elles repr sentatives des r sultats des lections de d l gu s ? Exercice 4. En 1976, dans un comt du Texas, Rodrigo Partida tait condamn huit ans de prison. Il attaqua ce jugement au motif que la d signation des jur s de ce comt tait discriminante l' gard des Hispano-am ricains.

10 En effet, 79,1% de la population de ce comt tait d'origine hispanique. Alors que, sur les 870 personnes convoqu es pour tre jur , il n'y eut que 339 personnes d'origine hispanique. Qu'en pensez-vous ? (D'apr s IREM de Paris Nord). Exercice 5. Une maladie gu rit naturellement dans 70% des cas. Un laboratoire souhaite tester l'efficacit d'un nouveau m dicament. Pour cela, on administre ce m dicament 500 personnes. Pour 77% d'entre elles, la gu rison a eu lieu. Que penser de l'efficacit de ce m dicament ? Exercice 6. Un centre commercial n'attire que 22% de clients hors de la communaut urbaine. Souhaitant largir sa client le, le centre commercial s'agrandit (nouveaux magasins, cin ma, restaurants, ). Apr s les travaux, voulant conna tre l'impact de ses investissements, 300 clients sont interrog s : 72. d'entre eux habitent hors de la communaut urbaine. Peut-on affirmer que l'agrandissement a eu un impact sur la fr quentation des clients hors communaut.