Conceptos básicos de Geometría - Hosting Miarroba

1 Conceptos b sicos de Geometr a Dise o por Computadora P gina 1 Conceptos b sicos de geometr a La geometr a trata de la medici n y de las propiedades de puntos, l neas, ngulos, planos y s lidos, as como de las relaciones que guardan entre s . A continuaci n veremos algunos Conceptos relacionados con la geometr a. Segmento: es aquella parte de una l nea recta que queda entre dos puntos se alados sobre ella. Rayo o media l nea: es aquella parte de una l nea recta que queda a alg n lado de un punto (el extremo) se alado sobre ella. ngulo: cuando dos rayos se intersectan en sus extremos. El punto de intersecci n se conoce con el nombre de v rtice del ngulo. Unidades de medici n de los las unidades de uso com n para medir los ngulos son el radi n y el grado. La medida de un ngulo es la cantidad de unidades de medici n que contiene.

2 El grado: es una unidad de medida cuyo s mbolo es . Por consiguiente hay 360 en una revoluci n completa. En el sistema internacional de medidas, la unidad de medida angular es el radi n. Los ngulos se pueden dividir en diferentes tipolog as tomando como base los grados que tienen. As , podemos distinguir entre cuatro tipos de ngulos. Clases de ngulos ngulo recto: est formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revoluci n, es decir, 90 . Conceptos b sicos de Geometr a Dise o por Computadora P gina 2 ngulo obtuso: un ngulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ngulo recto, concretamente 180 . ngulo agudo: un ngulo agudo tiene una abertura menor a la del ngulo recto. ngulo plano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, adem s el ngulo es la mitad de una revoluci n, o sea, 180.

3 Los pol gonos Un pol gono es una figura plana y cerrada formada por tres o m s segmentos de l nea unidos en sus extremos. Estas figuras pueden dividirse en dos variantes: Pol gonos regulares: son aquellos que tienen todos sus lados y ngulos congruentes. Adem s, todo pol gono regular est inscrito en una circunferencia. Pol gono irregular: son aquellos que no tienen todos sus lados y ngulos iguales. Clases de pol gonos Los tri ngulos: son unos pol gonos que tienen tres lados, que se unen en los v rtices, y tres ngulos. Los tri ngulos se pueden clasificar por dos aspectos: Por sus lados: Escaleno: sus lados y sus ngulos no son congruentes. Is sceles: es un tipo de tri ngulo que tiene dos lados iguales. Los ngulos opuestos a estos lados iguales ser n iguales. Conceptos b sicos de Geometr a Dise o por Computadora P gina 3 Equil tero: es un tri ngulo que tiene sus tres lados iguales y sus ngulos tambi n son iguales.

4 Por sus ngulos: Acut ngulo: un tri ngulo acut ngulo tiene sus tres ngulos agudos. Obtus ngulo: este tipo de tri ngulo tiene un ngulo obtuso y dos agudos. El lado opuesto al ngulo obtuso ser de mayor longitud. Rect ngulo: es aquel tri ngulo que tiene un ngulo recto y dos agudos. El lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Para calcular cu nto mide la hipotenusa se aplica el Teorema de Pit goras que consiste en que la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos). F rmula: a2 + b2 = c2 Ejemplo: un tri ngulo rect ngulo tiene catetos de 5 y 4 unidades de longitud. H2 = 52 + 42 = 25 + 16 = 41 H = 41 = c2 + c2. Conceptos b sicos de Geometr a Dise o por Computadora P gina 4 Cuadril teros: Un cuadril tero es un pol gono que tiene cuatro lados y cuatro ngulos.

5 Los lados de un cuadril tero pueden ser consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados podemos clasificarlos en: Seg n paralelismo: Trapecio: El trapecio es un pol gono de cuatro lados, pero sus cuatro ngulos son distintos de 90 . Paralelogramo: El paralelogramo es un pol gono de cuatro lados paralelos dos a dos. Rect ngulo: El rect ngulo es un pol gono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ngulos son de 90 grados cada uno. Seg n la igualdad: Romboide: tiene dos pares de lados consecutivos iguales. Rombo: El rombo es un pol gono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ngulos son distintos de 90 . Conceptos b sicos de Geometr a Dise o por Computadora P gina 5La suma de todos los ngulos interiores de todo cuadril tero es de 360 . El cuadrado puede situarse en ambas categor as. Conceptos b sicos de Geometr a Dise o por Computadora P gina 6 C mo calcular el per metro de las figuras planas Se denomina per metro de una figura plana a la suma de las longitudes de sus lados.

6 De este modo, el per metro de un tri ngulo cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 10 cm es de 5+6+10=21 cm. Para calcular el per metro es necesario conocer la longitud de todos los lados de la figura. Se acostumbra a representar la mitad del per metro de una figura con la letra p. Per metro = 2 p rea del rect ngulo: como en un rect ngulo los lados son iguales dos a dos, obtenemos la siguiente f rmula: Per metro = 2 . p = b+b+h+h= 2 b + 2 h Per metro de los pol gonos regulares: como en los pol gonos regulares todos los lados son iguales obtendremos las siguientes f rmulas: Tri ngulo equil tero per metro = c + c + c = 3 c Cuadrado per metro = c + c + c + c = 4 c Pent gono per metro = c + c + c + c + c = 5 c El rea de las figuras planas El rea de una figura es la porci n del plano que cubre.

7 Para medir las superficies se utiliza como unidad de medida el cuadrado cuyo lado es de longitud 1. rea del rect ngulo: es el rea m s sencilla para calcular. Es el resultado de multiplicar la longitud de sus lados o tambi n, como se dice habitualmente, se obtiene multiplicando la base (b) por la altura (h). F rmula: rea del rect ngulo = base * altura = b * h rea del paralelogramo: Si consideramos el paralelogramo ABCD. La base AB desde C y D se hacen perpendiculares sobre la base AB. Los tri ngulos ADM y BCN son iguales. Por tanto, el rea del paralelogramo ABCD es la misma que la del rect ngulo MNCD. Observamos que las dos figuras tienen la misma base y la misma Conceptos b sicos de Geometr a Dise o por Computadora P gina 7altura. Este proceso nos permite afirmar que el rea de un paralelogramo es, tambi n, el producto de su base por su altura.

8 F rmula: rea del paralelogramo = base * altura = b * h rea del cuadrado: en un cuadrado la base y la altura son iguales a su lado y por tanto: F rmula: rea del cuadrado de lado c = lado2 = c2 rea del tri ngulo: consideremos un tri ngulo cualquiera ABC, de base AB. Dibujemos una paralela a AB que pase por C y una paralela a AC que pase por B. stas se encuentran en un punto D. Los tri ngulos ABC y BCD ser n iguales. Por tanto, la superficie del paralelogramo ABCD ser el doble del rea del tri ngulo ABC. F rmula: rea del paralelogramo ABCD = 2 rea del tri ngulo ABC O bien, rea del tri ngulo ABC = rea del paralelogramo : 2 Como la base y la altura del paralelogramo son la base y la altura del tri ngulo obtendremos: F rmula: rea del tri ngulo = base por altura dividido por 2 = b * h / 2 El rea de las figuras planas Continuamos viendo c mo se calcula el rea de las figuras planas.

9 Veamos: Para calcular el rea de otros pol gonos se dibujan las diagonales necesarias con el fin de que queden descompuestos en tri ngulos; despu s se calcula el rea de estos tri ngulos y se suman los valores obtenidos. rea = AT 1 + AT 2 + AT 3 + AT 4 + AT 5. rea del rombo: en el rombo, las dos diagonales, d y D, lo descomponen en cuatro tri ngulos iguales que tienen como base la mitad de una diagonal (base = b = d : 2 y como altura la mitad de la otra diagonal (altura = h = D : 2). La superficie de cada uno de los tri ngulos ser : Conceptos b sicos de Geometr a Dise o por Computadora P gina 8A = (base . altura) / 2 = (d/2)*(D/2) / 2 = d * D / 8 Y, en consecuencia, el rea del rombo ser el rea de uno de estos tri ngulos multiplicada por 4: rea del rombo = 4 * rea del tri ngulo = 4 * (d * D) / 8 = (d * D) / 2 rea del trapecio: considera un trapecio ABCD de base AB.)

10 Se acostumbra a denominar bases a los lados paralelos del trapecio. El lado m s grande de los dos ser la base mayor, que representaremos por B, y el otro la base menor, que representaremos con b. La diagonal divide el trapecio en dos tri ngulos: ABC, de base AB, y ACD, de base DC. Ambos tri ngulos tienen la misma altura que el trapecio. El rea del trapecio ser la suma de las reas de los dos tri ngulos. El tri ngulo ABC tiene como base la mayor del trapecio y su altura es la del trapecio; el tri ngulo ACD tiene como base la menor del trapecio y su altura es la del trapecio. rea del trapecio = (B h) : 2 + (b h) : 2 = (B h + b h) 2 = (B + b) h : 2 = (B + b : 2) h F rmula que se suele enunciar as : el rea del trapecio es igual al resultado de multiplicar la semisuma de las bases por la altura.