Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre

1 Cours d analyse 1 Licence 1er semestreGuy LaffailleChristian Paulyjanvier 20062 Table des mati`eres1 Les nombres r eels et Nombres rationnels .. Nombres r eels .. Densit e des rationnels et irrationnels .. Nombres complexes .. Exercices ..132 Logique et langage des Propositions et op erateurs logiques .. Quantificateurs .. Techniques de d emonstration .. R ecurrence .. Contrapos ee .. D emonstration par l absurde .. Langage des ensembles .. Exercices ..193 Suites r eelles et Limite d une suite r eelle .. Propri et es de la limite .. Suites adjacentes .. Comparaison de suites .. Suites complexes .. Exercices ..344 Fonctions d une variable r Limite et continuit e .. Propri et es de la limite d une fonction.

2 Propri et es des fonctions continues .. Fonctions d erivables .. Propri et es des fonctions d erivables .. Application aux suites r eelles .. Exercices ..505 D eveloppements limit Comparaison de fonctions .. Formules de Taylor .. Calcul de d eveloppements limit es .. Exercices ..6134 TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions Fonctions bijectives .. Logarithme et exponentielle .. D eveloppements limit es .. Fonctions trigonom etriques ..667 Corrig e des `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maertenpour les exercices de `a Michele Bolognesi pour la r edaction de quelques corrig es d `a Ivan Babenko pour la preuve de l irrationnalit e du nombre d 1 Les nombres r eels et Nombres rationnelsOn d esigne parNl ensemble des entiers naturelsN={0,1,2,3.}

3 }.Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNestun ensemble infini. On noteN l ensembleN\{0}, c est-`a-dire l ensemble des entiers naturels nonnuls. Etant donn e deux entiers naturelsxetyon sait d efinir les nombresx+y, x y, x yetxy,siy6= remarque que l addition et la multiplication sont des op erations qui ont leur r esultat contre le r esultat d une soustraction ou d une division n est pas toujours un entier cr ee ainsi de nouveaux nombresZ={.. , 3, 2, 1,0,1,2,3, ..},l ensemble des entiers relatifs on noteraZ =Z\{0} etQ={ab|a Zetb Z },l ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fractionabaveca nb npour touta Zetb, n Z .On a bien entendu les inclusions suivantesN Z Qet les quatre op erations el ementaires +, , et/peuvent s etendre `a l ensembleQdes Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit es s exprimaient par des nombresrationnels.

4 Ils se sont aper cu que ce n est pas toujours le cas. En effet on peut construire desnombres qui ne sont pas rationnels. Consid erons par exemple un triangleABCrectangle enA56 CHAPITRE 1. LES NOMBRES R EELS ET COMPLEXESABCbcaSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th eor`eme dePythagore dit qu on a la relationa2=b2+ on obtient que la longueur de la diagonale d un carr e de c ot eb=c= 1 est egale `aa= nombre 2n est pas un nombre allons faire une d emonstration par l que 2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa, btels que 2 =a/b. Siaetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible,on arrive au cas o`u au moins un des deux elevant au carr e l egalit e 2 =a/bet en chassant le d enominateur, on arrive `a2b2= pair.

5 Siaest impair, on peut ecrirea= 2a + 1, alorsa2= 4a 2+ 4a + 1 qui estimpair. On en d eduit donc queaestpair, donc on peut ecrirea= 2a , ce qui donne 2b2= 4a 2eten simplifiant par 2, on obtientb2= 2a est la m eme equation que ci-dessus aveca `a la place debetb`a la place dea. Le m emeraisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et 2 ne peut pas etre d autres exemples de nombres nombre = 3,1415..d efini comme la circonf erence d un cercle de diam`etre nombre d Eulere= 2,718.., la base de l exponentielle, d efini comme somme infinie2e= 1 +11!+12!+13!+ +1k!+ racines carr es nsinest un entier qui n est pas un carr e, c est-`a-dire qui n est pas dela formen=k2aveck nombre d Euleren est pas un nombre section d efinitionn!

6 = 1 2 3 NOMBRES R EELS7D pour 2 nous allons faire une d emonstration par l absurde. Supposonsdonc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa, b N tels quee=ab= 1 +11!+12!+13!+ +1n!+ Multiplions parb!. Alors on obtient l egalit eabb! (b! +b! +b!2!+b!3!+ +b!b!)=1b+ 1+1(b+ 1)(b+ 2)+1(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)+ +1(b+ 1)(b+ 2) (b+n)+ Il est clair que tous les termes de la somme `a gauche sont des nombres entiers, donc la somme,qu on noteras, est aussi un entier. En utilisant la minoration(b+ 1)(b+ 2) (b+n)>(b+ 1)non obtient un l encadrement suivant des0< s <1b+ 1+1(b+ 1)2+1(b+ 1)3+ +1(b+ 1)n+ .Cette derni`ere somme infinie vaut1b+1 11 1b+1=1bd apr`es la formule donnant la somme d une s erieg eom etrique (voir ( )). Ainsi on obtient l encadrement0< s <1b 1,ce qui preuve de l irrationalit e de et d epasse largement le cadre de ce Cours .

7 Nous renvoyons parexemple au livre Autour du nombre de Pierre Eymard et Jean-Pierre contre l irrationalit e de nse montre de la m eme fa con que celle de 2 (exercice). Nombres r eelsLa proposition dit que 2 n est pas rationnel, c est-`a-dire ne peut pas s ecrire commequotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre 2 peut s ecrire sous forme d und eveloppement d ecimalinfini 2 = 1,41421356..Dans ce Cours nous prenons cette repr esentation d ecimale comme d efinition d un nombre r efinition (nombre r eel)Un nombre r eel est une collection de chiffres{c0, .. , cm}et{d1, d2, ..}compris entre0et9. Les chiffrescisont en nombre fini et les chiffresdjpeuvent etreen nombre infini. On fait correspondre `a cette collection le nombre donn e par le d eveloppementd ecimalx=cmcm 1.

8 C1c0, d1d2d3.. dn.. 1. LES NOMBRES R EELS ET d ecimales du nombre sontc0= 3, d1= 1, d2= 4, d3= 1, .. il n y a qu un nombre fini de d ecimalesdjnon nulles, alors le r eelxest un rationnel etx=cm10m+cm 110m 1+ +c110 +c0+d110 1+ +dn10 n(xest rationnel, car c est une somme de rationnels). nombre rationnel admet un d eveloppement d ecimal, donc est r eel. On a13= 0,3333..(que des 3)Th eor`eme nombre r eel est rationnel si et seulement si son d eveloppement d ecimal estp eriodique `a partir d un certain admettons ce r esultat. On peut se convaincre que c est vrai en effectuant une division dedeux entiers (3/7 par exemple) et en constatant qu il n y a qu un nombre fini de possibilit es pourles restes, donc c`a d efinition nous suffira pour ce Cours mais elle n est pas tr`es satisfaisante.

9 D abord unnombre r eel peut avoir deux d eveloppements d ecimaux distincts. Par exemple 1 = 0,9999..(toujours des 9). On peut pour s en convaincre ecrire0,9999 =910(1 +110+ +110n )On voit qu on a affaire `a un progression g eom etrique et on peut utiliser la formule donnantla somme d une s erie g eom etrique11 a= 1 +a+a2+ +an+ ( )vraie pour tout r eelatel que|a|<1 (ici on prenda=110.) d efinition fait r ef erence au nombre 10. On peut prendre une autre base de num eration,ce qui donnerait une d efinition equivalente d un nombre r op erations addition, multiplication,.. ne sont pas si faciles que l on pourrait le penser`a cause du probl`eme des existe des constructions plus intrins`eques de l ensemble des r eels. Ces constructions d epassentle cadre de ce est impossible de d efinir rigoureusement le nombre par son d eveloppement d ecimal.

10 Ilfaudrait un temps et un espace infini pour calculer TOUTES les d ecimales de ! Donner unevaleur approch ee (utilis ee dans le calcul num erique) d un nombre r eel, aussi bonne qu ellesoit, n est pas une d efinition au sens math ensemble des r eels sera not eRet l on a les inclusionsN Z Q notera tr`es souventR l ensemble des r eels non ensemble des r eelsRadmet une relation d ordre not ee . C est la relation habituelle sur lesr NOMBRES R EELS9D efinition (majorant, minorant, partie born ee)SoitAune partie r eelMest unmajorantdeAsi pour touta Aon aa M. On dit queAestmajor eesiAa un r eelmest unminorantdeAsi pour touta A, on am a. On dit queAestminor eesiAa un la partieAest major ee et minor ee, on dit queAestborn efinition (intervalle, segment)Soienta, bdeux r eels tels quea note[a, b]l ensemble des r eelsxtels quea x b.