Approximation lin eaire - math.unice.fr

1 Approximation lin eaireD edouF evrier 2012La tangenteLes braves fonctions ont une tangente en chaque point de leurgraphe (et ca se dessine).Le slogan, c est Au voisinage d un point, on approche la fonction par sa tangenteen ce point .Il vaut donc mieux savoir calculer cette tangente . Cette tangenteest une fonction affine, ou plut ot une droite (son graphe).La m eme sans les abusDans la page pr ec edente,on a m elang e le langage des fonctions et celui des vaudrait mieux dire :Les graphes des braves fonctions ont une tangente en tout pointqueLes braves fonctions ont une tangente en chaque ca conduit `a direAu voisinage d un point, on approche la fonction par la fonctionaffine dont le graphe est tangent `a celui defen ce pointqui est bien plus lourd queAu voisinage d un point, on approche la fonction par sa tangenteen ce et lin earis eePour eviter la confusion entre la fonction affine et son grapheon donne un nom `a la fonction dont la tangente est le erivable ena, on appellelin earis eedefenala fonction dont le graphe est la tangente au graphe defena(plus exactement en (a,f(a))).

2 On veut donc savoir calculerla tangente et la lin earis calcul de la tangenteLa tangente enaau graphe de la fonction d erivablefa pour equationy=f(a) + (x a)f (a).Exemple :la tangente en 3 au graphe de la fonctionx7 x2est la droited equationy= 6x la tangente en 4 au graphe de la fonctionx7 2x3+ calcul de la lin earis eeLa lin earis ee enade la fonction d erivablefest la fonctionx7 f(a) + (x a)f (a).Exemple :la lin earis ee en 3 de la fonctionx7 x2+ 1 est la fonctionx7 6x la lin earis ee en 4 de la fonctionx7 2x3+ font les physiciens ?L Approximation lin eaire des physiciensc est la pseudo-formule :f(a+h) f(a) +f (a) dit que si on ne connait pasf(a+h) et sihest petit, onpeut essayer de mettref(a) +f (a)h`a la , on va dire queLe nombref(a) +f (a)hest une Approximation lin eaire du nombref(a+h).

3 Cette Approximation est d autant moins ill egitime quehest Approximation lin eaire des nombres : exempleFaire une Approximation lin eaire d un nombre, c estchoisir (ou comprendre) qui sontfeta(et du couph),calculerf(a),hetf (a) proposer f(a) +hf (a) comme Approximation def(a+h).ExempleSi on veut une Approximation du nombre sin 3 on peut prendref:= sina:= ( est le nombre le plus proche de 3 dont le sinus est connu)h:= 3 (pour avoira+h= 3).On trouve alorsf(a) = sin = 0 etf (a) = cos = 1ce qui donne 3 comme Approximation lin eaire de sin Approximation lin eaire des nombres : exerciceFaire une Approximation lin eaire d un nombre, c est doncchoisir (ou comprendre) qui sontfeta(et du couph),calculerf(a),hetf (a) proposer f(a) +hf (a) comme Approximation def(a+h).

4 Exo ,aethpour une Approximation lin eaire de cos est l Approximation correspondante ? Approximation lin eaire et tangenteIl faut bien voir que la pseudo-formulef(a+h) f(a) +f (a)hs obtient `a partir def(x) f(a) +f (a)(x a)en y rempla cantxpara+ la deuxi`eme pseudo-formule, on voit la lin earis ca se dessinePour bien comprendre l Approximation lin eaire , il faut faire undessin o`u apparaissent, en plus de la courbe et sa tangente ,aeta+hen abscisse, etf(a),f(a+h) etf(a) +f (a)hen ordonn votre Approximation lin eaire de cos sens de Les math ematiciens attribuent bien un sens `a (qu on d ecouvrirabient ot), mais qui ne couvre pas l utilisation qu en font lesphysiciens dans leur formulef(a+h) f(a) +f (a)h,qui signifie quelque chose comme : Le membre de droite est unebonne Approximation de celui de gauche.

5 Ce qui a eventuellement un sens pr ecis pour les math ematiciens,c estf(a+h) f(a) f (a) diff erence essentielle avec la formule pr ec edente est que, cettefois, les deux membres tendent vers 0 approximations lin eaires standardCe sont les cinq formules :cosh 1,sinh h,ln(1+h) h,eh 1+h,(1+h) 1+ rappelle que ces formules n ont pas de sens pr ecis et qu il vautdonc mieux ne pas en parler en tard, on donnera des variantes l egales de ces lin eaire et combinaisons lin eairesL Approximation lin eaire fait tr`es bon m enage avec l addition et lamultiplication par un nombre, autrement dit avec les combinaisonslin eaires. Par exemple, comme on asinh hln(e+h) 1 +h/esi on multiplie la premi`ere formule par 3 et la seconde pareetqu on les ajoute , on obtient la pseudo-formule3 sinh eln(e+h) 3h e(1 +h/e) = e+ 2hqui est bien celle que donne la formule des lin eaire et produitPour le produit, ca se passe encore pas trop mal, `a condition den egliger les termes enh2:eh 1 +het(1 +h)3 1 + 3hconduisent, par multiplication, `aeh(1 +h)3 (1 +h)(1 + 3h) 1 + comprendra ca mieux plus lin eaire et compositionL Approximation lin eaire fait tr`es bon m enage avec la exemple pour approcheresin 3, on prendf,aethcomme plushaut, et on peut encha ner les calculs comme les physiciens.

6 On aesin 3 e h( puisque sin 3 h)etesin 3 1 h( puisque e h 1 h)autrement dit :esin 3 trouverait le m eme r esultat en calculant la d eriv ee (laquelle ?).