Exercices corrigés Fonctions - maths …

1 1 . Exercices corrig s Fonctions Exercices corrig s Fonctions 1. G n ralit s 1-1 : Comme une 1-2 : Lecture graphique et interpr tation 1-3 : Construction g om trique parabole 1-4 : Vrai/Faux sur les Fonctions 1-5 : Vrai/Faux sur les d riv es 1-6 : D riv es et variations 1-7 : Lecture graphique 1-8 : Tangente 2. Polyn mes 2-9 : Second degr 1 (c) 2-10 : Second degr 2 (c) 2-11 : Second degr 3 (c) 2-12 : 3 me degr 3 (c) 2-13 : Ficelle (c) 3. Fonctions rationnelles 3-14 : Hyperbole 1 (c) 3-15 : Tangente (c) 3-16 : Rationnelle 1 (c) 3-17 : Rationnelle 2 (c) 3-18 : Rationnelle 3 (c) 3-19 : Rationnelle 4 (c) 3-20 : Rationnelle 5 (c) 3-21 : Rationnelle 6 (c) 3-22 : Rationnelle 7 (c) 3-23 : Rationnelles 8 3-24 : Asymptotes 3-25 : Factorisons (c) 3-26 : Approximations (c) 3-27 : Eclairement (c) 4.

2 Trigonom trie 4-28 : Sinus cardinal 4-29 : Arctangente 4-30 : Trap ze d aire maximale 5. Optimisation et mod lisation 5-31 : Boite 5-32 : Co ts de production (c) 5-33 : Th orie de la relativit (c) 5-34 : Courbe+optimisation (c) 5-35 : Triangles (c) 5-36 : Polyn mes de Legendre 5-37 : Point de Torricelli, Point de Fermat 5-38 : Un conejo 1. G n ralit s 1-1 : Comme une 1. La courbe repr sentative d une fonction f est donn e ci-apr s. En chacun des points indiqu s, la courbe admet une tangente qui est trac e.

3 En vous servant du quadrillage, compl ter les galit s suivantes : 021' 0'2' 1ffffff 2. Soit la fonction f d finie sur 0; par f xx x . En revenant la d finition du nombre d riv , montrer que f est d rivable en 0. Pr ciser '0f. O 1 1 -2 2 . Exercices corrig s Fonctions A l aide des formules de d rivation, v rifier que f est d rivable sur 0; et exprimer 'fx pour 0x . Pr ciser alors l ensemble des r els x pour lesquels f est d rivable. 3. f est la fonction 3xx . Montrer que l approximation affine locale de 32h au voisinage de 0 est gale 8 12h.

4 En d duire des approximations des nombres suivants : 31, 997 et 32, 001. 4. Soit f la fonction trin me telle que 2f xaxbx c . D terminer les r els ,,a b c tels que sa courbe Cf admette au point 1 ; 3A une tangente de coefficient directeur gal 1 ainsi qu une tangente horizontale au point d abscisse 12. 5. D terminer les Fonctions d riv es des Fonctions suivantes et d terminer leur sens de variation. 2323f xxx , 22f xxxx , 231fxx , 32131xfxx , cos 3f xx , 645f xx.

5 6. Etudier les variations de la fonction 243:2332xf xxx sur (calcul de la d riv e, tude de son signe, variations de f). On donnera l quation de la tangente Cf au point d abscisse 1. Correction 1. Il faut lire les coefficients directeurs sur la figure pour f (0), f ( 2) et f (1) : 30121121' 0'20' 122ffffff 2. On calcule 000( )(0)limlimlim0'(0)0xxxf xfxxxfxx . On peut calculer avec la formule du produit, mais c est plus l gant de passer par 1 1/ 23 / 2()f xx xx xx d o 31122333'( )222f xxxx.

6 La d riv e n existe que lorsque 0x . 3. L approximation locale de f est 2000()( )'( )( )f xhf xhf xhh , avec ici 200'( ) 3f xx . On applique avec 02x : 3222(2) ( ) 8 12( )fhhhhh hh . 331, 997(2 0, 003)8 , 003 7, 964 et 332, 001(2 0, 001)8 , 001 8, 012 . 4. On doit avoir 1(1) 3, '(1) 1, '02fff d o le syst me 2333 1 1 3211( )301a b cca ba bbf xxxa bab . 5. 2323'2 32f xxxfxx , 12 32 03xx.

7 22241 22(103)12'( )412222xxxxxxf xxxxf xxxxxxxx , le d nominateur est positif, (103)xx est positif l ext rieur des racines 310 et 0 (pour 0 f n existe pas). 3 . Exercices corrig s Fonctions 22232'31(1)xf xfxxx , est positif lorsque x < 0 (attention, f et f pas d finies en 1 et1). 223333322222223 (31) (1)(6 )132232'3331(31)(31)(31)xxxxxxxxxxf xfxxxxxxx , on ne peut pas donner le sens de variation directement car on ne sait pas r soudre 332 0xx.

8 Cos 3'( )3sin(3 )f xxf xx ; pla ons nous sur 0 ; 2 , alors sin 3x s annule pour 2450,,, ,,, 23333x et change de signe chaque fois. 6545'( ) 6 445f xxf xx . f est du signe de 4x + 5, soit positive lorsque 45x . 6. 243322( ) 233'( ) 89(891)(1)(81)2xf xxxf xxxx x xxx xx . Un tableau de signes donne f positive sur 10 ;1 ;8 . Tangente Cf au point d abscisse 1 : 1753'( 1)(1)( 1) 18(1)1822y fxfxx.

9 1-2 : Lecture graphique et interpr tation La courbe (C) ci-dessous est celle d une fonction f d finie sur I = ]1 ; + [ 1. a. Lire les valeurs de f(2), f(3) et f(9). b. Par lecture graphique, donner une valeur approch e des solutions de l quation f(x) = 0. c. D terminer le signe de f sur I. 2. a. Que vaut f (5) ? (Justifier) b. Donner une quation de la droite (T). Quel nombre d riv peut-on en d duire ? c. Dresser le tableau de variations de f sur I. 3. f est de la forme ()1cf xax bx.

10 A. Calculer f (x) en fonction de a et de c. b. Exprimer que A et B sont des points de C et qu en S la tangente est horizontale. c. En d duire un syst me d inconnues a, b et c puis le r soudre pour trouver l expression de f(x). 4. On admet que 16( )101f xxx . a. Montrer que la droite (D) d quation y = x 10 est asymptote la courbe (C) en . b. Etudier la position de (D) par rapport (C). -1,5-1-0,500,511, 4 . Exercices corrig s Fonctions c. D terminer l quation de la tangente (C) au point d abscisse 2.