FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES …

1 Page 1/29 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. 1) Exprimer en FONCTION de ln 2 les nombres suivants : ln 8A= 1ln16B= 1ln162C= 11ln24D= 2) Exprimez en FONCTION de ln 2 et ln 3 les r els suivants : ln 24a= ln144b= 8ln9c= 3) Ecrire les nombres A et B l'aide d'un seul LOGARITHME : 12 ln 3 ln 2 ln2A=++ 1ln 9 2 ln 32B= Exercice n 2. Compl ter le tableau suivant, partir de certaines valeurs (arrondies 0,1) pr s de la FONCTION LOGARITHME n p rien a 2 3 4 6 9 8 27 72 216 ()1ln6 ()1ln16 ln( )a 0,7 1,1 Exercice n 3. Comparez les r els x et y : 3ln 2x= et 2 ln 3y= ln 5 ln 2x= et ln12 ln 5y= Exercice n 4. Simplifier au maximum : ()2lnae= ()3lnbe= 21lnce = ()lnde= ()lnee e= Exercice n 5. Le son se manifeste par des variations de pression de l air.

2 L unit de mesure de la pression de l air est le Pascal. La pression de l air s exerce sur le tympan de l oreille humaine. Pour une pression sup rieure ou gale 620 10 Pascals s exer ant sur son tympan, l oreille humaine per oit un son dont le niveau se mesure en d cibels. On note 6020 10p = . Pour une pression de p Pascals s exer ant sur le tympan, avec 0pp , le niveau sonore per u est gale ()20( )ln 50000ln(10)f pp= 1) Quel est le niveau sonore per u pour une pression de 2 Pascals? 0,2 Pascals? 0,02 Pascals? Calculer f (p0). 2) A partir d un niveau sonore de 120 d cibels, on ressent une douleur. D terminer la pression p correspondant ce niveau sonore. 3) Montrer que pour tout r el 0xp : f(10x) = 20 + f(x). On en d duit "le niveau sonore augmente de 20 d cibels quand la pression s exer ant sur le tympan est multipli e par 10".

3 4) Exprimer, pour tout r el 0xp , f(100x) en FONCTION de f(x) et noncer la propri t du niveau sonore correspondante. Exercice n 6. Pr cisez l'ensemble de d finition puis r soudre les quations suivantes : 1) ln(2 5 ) ln(6)xx+=+ 2) ()()ln1ln3ln 3xx + = 3) ln2x= 4) ()2 1 ln0xx+= 5) ()2lnln6 0xx+ = 6) ln(25) 1x = 7) 1ln021xx = 8) 1ln021xx = 9) ()()ln1ln 21xx = 10) ()()ln1ln 21xx = 11) ()()ln1ln 21xx = Exercice n 7. 1) D velopper l expression : ()()()()112A xxxx= + 2) R soudre les quations suivantes : (a) ()()32ln2ln 2xxx+=+. (b) ()()32ln2ln 2xxx+=+ (c) ()()322ln33ln21xxxxx += +. (d) ()()32ln332 ln 1xxxx += . Exercice n 8. R soudre le syst me d' quations suivant : 1) 32lnln0xyxy = += 2) 5 ln2 ln262 ln3ln1xyxy+= = 3) ln4(ln )(ln )12xyxy= = Page 2/29 Exercice n 9.

4 Pr cisez l'ensemble de d finition puis r soudre les in quations suivantes : 1) ln(2 5 ) ln(6)xx+ + 2) ()()ln1ln3ln 3xx + < 3) ln2x 4) ()02 1 lnxx+> 5) ()2lnln6 0xx+ 6) ln(25) 1x 7) ()1, 24n ,n 8) ()0,80,1n ,n Exercice n 10. Un capital de 5000 euros est plac int r ts compos s au taux annuel de 6%. D terminer le nombre d ann es n partir duquel le capital acquis sera sup rieur 12000 euros Exercice n 11. Etudier le signe des expressions suivantes : ( ) ln (ln1)A xxx=+ ( ) 2 ln(1)B xxx= 2( )ln(1)C xxx= + Exercice n 12. D terminer l ensemble de d finition des fonctions suivantes : 1) 2( ) ln(34)f xxx=+ 2) 24:lnxf xx 3) ()2:ln 4lnf xxx 4) ()2:ln4ln()f xxx Exercice n 13. D terminer les limites suivantes : 1) ()2limlnxxx + + 2) ()lim 1lnxxx + 3) ()lim ln 2 3lnxx + 4) ()0lim4 lnxxx + 5) 2lim lnxx 6) 0lnlimxxx 7) limlnxxx + 8) 1lim ln 1xxx + + (Poser 1)Xx= 9) 0ln(1 2 )limxxx + (Poser 2 )Xx= Exercice n 14.

5 D terminer les ensembles de d finition et de d rivabilit puis calculer les d riv es des fonctions ci-dessous 1) ( )1 2 ln2xf xx= + + 2) 2 ln( )ln 3xf x= 3) ( ) ln(4) lnf xxx= + 4) ( )lnf xxx x= 5) 2( )lnf xxx= 6) ( ) ln(25)f xx= 7) ( ) ln( 31)f xx= + 8) 2( ) ln(1)f xxx=+ + 9) 1( ) ln1xf xx = + 10) ( ) ln(ln )f xx= 11) ( )ln(23)f xxx= 12) ( )2 (1 ln )f xxx= 13) ln( )xf xx= 14) 2ln( )xxf xx = 15) ()2( )ln2 ln4f xxx= 16) 2( ) lnf xx= 17) ()2( )lnf xx= 18) 2( ) ln 1f xx= Exercice n 15. On consid re la FONCTION f d finie par ( ) ln()f xax b=+, et C sa courbe repr sentative. 1) D terminer les nombres a et b tels que (2) 0f= et 3(3)4f = Quel est alors l ensemble de d finition de f ?

6 Quel est le sens de variation de f ? 2) D terminer les nombres a et b tels que la courbe C passe par le point A(2 ;0) et la tangente en A ait pour coefficient directeur 2. Exercice n 16. Partie I On consid re la FONCTION num rique g d finie sur ][0;+ par ()22 lng xxx= 1) Etudier le sens de variation de g 2) En d duire le signe de g(x) sur ][0;+ Partie II On consid re la FONCTION num rique f d finie sur ][0;+ par ( )1 ln2xxf xx+=+. On appelle (C) la courbe repr sentative de f dans un rep re orthonormal (); ;O i j (unit graphique : 2 cm) 1) D terminer la limite de f en 0. Interpr ter graphiquement ce r sultat. 2) D terminer la limite de f en + . Montrer que la droite () d quation 2xy= est asymptote la courbe (C). D terminer la position de (C) par rapport () sur ][0;+ . Montrer que () coupe (C) en un point A que l on pr cisera 3) Etudier le sens de variation de f.

7 Dresser le tableau de variation de f Page 3/29 4) Montrer qu il existe un unique point B de la courbe (C) o la tangente (T) est parall le () . Pr ciser les coordonn es du point B 5) Montrer que l quation f(x)=0 a une unique solution . Exprimer ()ln en FONCTION de . Montrer que le coefficient directeur de la tangente (C) au point d abscisse est sup rieur 1. On admettra que 0,31< <0,35 6) Repr senter succinctement la courbe (C) et les droites () et (T). Exercice n 17. Partie I La FONCTION f est d finie sur ][0;+ par ( )12ln2f xxx= + 1) Etudier le sens de variations de f . Calculer le slimites de f aux bords de l ensemble de d finition et dresser le tableau de variations de f. 2) Montrer que l quation ()0f x= admet une unique solution l dans l intervalle ][0;+ . D terminer l entier n tel que ][;1ln n + 3) D terminer le signe de ()f x Partie II La FONCTION g est d finie sur [[0;+ par : ( )220si 071lnsi 084xg xxxxxx= = + > 1) Montrer que la FONCTION g est continue en 0.]]

8 D terminer la limite de g en + 2) Montrer que pour tout 0x>, ( )1g xxfx = 3) Montrer que On calcule 211 48lgll+ = . Dresser le tableau de variation de g. 4) Donner les quations des tangentes la courbe repr sentative de g aux points d abscisses 1 et 1l. Calculer ()0limxg x et interpr ter graphiquement cette limite. 5) Repr senter succinctement et ses tangentes dans un rep re orthonorm (); ;O i j Exercice n 18. D terminez une primitive de la FONCTION f propos e sur l'intervalle I donn : 1) 21( )5f xxxx= + sur I=][0;+ 2) 21( )xxf xx+ += sur I=][0;+ 3) 2751( )f xxxx=++ I=][0;+ 4) 3( )34f xx= sur I=4;3 + 5) 1( )1f xx=+ sur I=][1; + 6) 1( )1f xx=+ sur I=][; 1 7) 22( )4xf xx= sur ][2;+ 8) 1( )35f xx= sur [[2;+ 9) 21( )22xf xxx+=++ sur 10) 2( )1xf xx= sur ][1;1 Exercice n 19.]]

9 On consid re la FONCTION d finie sur I=[[4;+ par 2234( )2xxf xx = 1) Trouver trois r els a,b, et c tels que ( )2cf xax bx=+ + 2) En d duire une primitive de f sur [[4;+ Page 4/29 Exercice n 20. D terminez une primitive de la FONCTION f propos e sur l'intervalle I donn : 1) cos( )sinxf xx= sur I=0;2 2) ln( )xf xx= sur I=[[1;+ 3) 1( )lnf xxx= sur ][1;+ 4) ( )tanf xx= sur ;2 Exercice n 21. Calculez les int grales 1) 201dxx+ 2) 3432dxx + 3) 0241 5dxx 4) 22212xxdxx+ 5) 10114422dxxx + + 6) 1lnexdxx 7) 01ln(1)1xdxx Exercice n 22. Soit f la FONCTION d finie sur ][1;+ par 231( )1xxf xx+ = 1) Montrez que pour tout x de ][1;+ , 3( )41f xxx= + + 2) Calculez 224311xxdxx+ Exercice n 23. Soit f la FONCTION d finie sur 2;3 + par 26134( )32xxf xx++=+ 1) Trouver trois nombres r els a, b et c tels que pour tout x de 2;3 + , ( )32cf xax bx=+ + 2) Calculez 220613432xxdxx+++ Exercice n 24.]]]]]]

10 Soit g la FONCTION d finie sur ][0;+ par ( )lng xxx x= 1) D terminez la d riv e g' de g 2) Calculez 1lnexdx Exercice n 25. Calculez l'int grale I en utilisant la formule d'int gration par parties: 1lneIxxdx= Exercice n 26. On consid re l'application nf d finie pour tout t de *+ par ( )()11nnf tt t=+, o n est un entier strictement positif. 1) D terminer les r els a, b et c tels que pour tout r el t strictement positif : ( )()1111nnnnatbcf tttt t +==+++ 2) Montrer que : ( )2112ln21nnnnf t+ = + 3) A l'aide d'une int gration par parties, calculer : ()2121ln1nnttt + Page 5/29 Exercice n 27. On consid re la suite ( )nude r els strictement positifs, d finie par : 02u=, et pour tout n , 1ln() 1 ln( )nnuu+= +. 1) Exprimer 1nu+ en FONCTION de nu et pr ciser la nature de la suite ( )nu.