Mathématiques appliquées à l'Économie et à la …

1 Math matiques appliqu es l' conomie et la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Universit Virtuelle de Tunis 2008 Continuit et d rivation11- La continuit Th or me :On consid re un intervalle I de IR. Si f et g sont continues sur I ( en tout point de I) alors f+g , , lg et sont continues sur I (g(x) 0). Cons quence : Les fonctions constantes, affines, polyn mes, rationnelles sont continues sur leur domaine de d finition. 2- La d rivation D riv es de fonctions usuelles :Op rations sur les fonction d rivables :Th or me : Si f et g sont d rivables sur I ( I IR) alors f + g, f, (g0), et fn sont d rivables et on a : Sens de variation d une fonction : R solution d'une quation du second degr Une quation du second degr a la forme suivante : Le discriminant not est d fini par Si < 0 alors l quation n admet pas de solutions r ellesSi = 0 l quation admet une solution double < 0 alors l quation n admet pas de solutions r ellesSi > 0 alors l quation admet deux somme des deux racines (ou solutions) : c Le produit des deux racines (ou solutions).

2 fonction logarithme et exponentielle 1- Introduction Pour tudier une fonction num rique et tracer son graphe on doit : Rechercher son domaine de d finition : La fonction doit dans son sens math matique, tre d finie et continue. En outre, des conditions conomiques (variables ) sont souvent prendre en consid ration Calculer ses limites aux bords du domaine Rechercher ses branches infinies et ses asymptotes Calcul sa d riv e f et tudier son signe En d duire le tableau de variation Pour plus de pr cisions on peut d terminer quelques points particuliers de son graphe Cfpar exemple l intersection de Cfavec l axe des abscisses et l axe des ordonn es. L tude peut tre simplifi e si la fonction f est paire ou impaire. 2- fonction logarithme n p riena- D finitionLa fonction est continue pour , elle admet donc sur cet intervalle des primitives, qui se d duisent de l une d elles par addition d une constante.

3 On va consid rer celle qui est nulle au point x =1. On appelle logarithme n p rien la fonction d finie sur par : Cela est quivalent : Le logarithme n p rien est souvent not In(x) b- Propri t s Il existe un unique r el positive e tel que log e = 1 ( e = 2,718282) La d riv e de la fonction tant toujours positive, la fonction logarithme est donc strictement croissante sur . Log x = log y <=>x = y Log x > log y <=>x > y Log x > 0 => x>1 Log x <0=>0 < x <1x et y tant deux r els strictement positifs on a alors : c- Limites et d riv es d- Etude de la fonction logarithme D o la fonction admet au voisinage de une branche parabolique de direction l axe des abscisses. 3- fonction exponentielle de base e La fonction exponentielle de base e d finit sur IR : e tant positif (e= 2,718282), la fonction f sera ainsi d finie positive e tant l unique r el positif tel que a- Propri t sb- Limites de exc- Etude de la fonction f(x) = ex La fonction admet au voisinage de une branche parabolique de direction l axe des ordonn es.

4 Remarques :On retient que dans le calcul des limites et en pr sence d une forme ind termin e, on s int resse la limite de l exponentielle qui l emporte sur la puissance, l emportant son tour sur le logarithme . Exercices : Voir le site Matrices et d terminants D finitions D finitionsUne matrice A d ordre (n,p) est un tableau de n x p nombre aij rang s sur n lignes et p colonnes. Les nombres aij sont les termes de la matrice A. Le premier indice i indique le num ro de la ligne et le second indice j indique le num ro de la colonne. Le terme aijest donc l intersection de la i me ligne et de la j me colonne. On note la matrice A : A = (aij) Exemple :A est une matrice 4 lignes et 3 colonnes (4,3). Matrices particuli resB = (1 2 0 -1) est une matrice une ligne et 4 colonnes (1,4), on dit que B est une matrice ligne d ordre 4.

5 Plus g n ralement les matrices d ordre (1,p) sont dites matrices ligne d ordre p. est une matrice 3 lignes et une colonne (3,1), on dit que C est une matrice colonne d ordre 3. Plus g n ralement les matrices d ordre (n,1) sont dites matrices colonnes d ordre n. est une matrice 3 lignes et 3 colonnes, on dit que D est une matrice carr e d ordre 3. Plus g n ralement les matrices d ordre (n,n) sont dites matrices carr es d ordre n. est une matrice identit d ordre 3 not e I3 . est une matrice nulle tous ses termes sont gaux z ro. Remarque : Deux matrices sont gales si et seulement si les termes correspondants sont identiques, c est dire qu elles sont form es des m mes l ments plac s aux m me endroits. Transpos e d une matriceSoit la matrice A=(aij)n,p.

6 On appelle matrice transpos e de A not e tA la matrice obtenue en changeant lignes et colonnes dans la matrice A : tA = (aji)p,nExemple : Application : Calculez les transpos es des matrices suivantes : Solution : Voir le site Remarque :Matrice sym trique : tA = A Matrice antisym trique : tA = -A Addition matricielle D finitionSoit A = (aij) et B = (bij) deux matrice de m me ordre (n,p). La matrice A + B est la matrice d ordre (n,p) obtenue en additionnant terme terme les l ments de A et B. d o :Exemple Propri t sSoient A, B et C trois matrices ayant le m me nombre de lignes et de colonnes : Commutativit : A+B=B+A Associativit : A+(B+C)=(A+B)+C Existence d un l ment neutre : A + (0) = A Existence d une sym trie : A + (-A)=0 D une mani re g n rale si A = (aij) est une matrice n lignes et p colonnes, sa sym trique par rapport l'addition est la matrice (-A) de terme g n ral A = (-aij) A+ (-A)= (aij - aij ) = (0) (-A ) est la matrice sym trique de A.

7 Application :Soient les matrices : Calculez les matrices (A+B), (B+A), (B+C), (C+A) SolutionVoir le site Multiplication par un nombre Exemple : k =2 Propri t s : Soient deux matrices A et B et deux r els k et l : (k+l) A = kA + lA k (A+B) = kA + kB k ( ) = (kl) A Application : Soient les matrices suivantes : Calculez : 2A-4B ; 3A+2C ; 2A-2B+3C Solution : Voir le site Multiplication des matrices D finitionSoit A = (aij) une matrice d ordre (n,p) et B = (bij) une matrice d ordre (p,q). La matrice AB est une matrice d ordre (n,q) dont le terme g n ral Cij est obtenu en multipliant les l ments de la i me ligne de A par les l ments de la j me colonne de B et en additionnant les produits obtenus : Ainsi pour effectuer le produit AB il faut que le nombre de colonnes de la matrice A soit gal au nombre de lignes de la matrice B : Exemple :Calculez les produits : et On remarque que la multiplication des matrices n est pas commutative, car en g n ral on a : Application :Calculez dans chacun des cas suivants : Solution : Voir le site Puissances successives d une matricePar analogie avec les nombre r els, on pose : L galit (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 ne se produira que dans le cas o AB=BA.

8 De m me : Les formules usuelles ne s appliquent pas aux matrices sauf dans le cas particulier o A et B commutent Applications :Solution Les matrices carr es Matrices carr es particuli resSoit A=(aij) une matrice carr e d ordre n, la suite (a11,a22,..,ann) forme la diagonale principale de A. A1 est une matrice triangulaire sup rieure. Tous les termes en-dessous de la diagonale principale sont nuls. A2 est une matrice triangulaire inf rieure. Tous les termes au-dessus de la diagonale principale sont nuls. A3 est une matrice diagonale. Tous les termes sont nuls, l exception de ceux de la diagonale Propri t s de la multiplication des matrices carr esSoient 3 matrices carr es A, B et C d ordre n : Associativit : A (BC) = (AB) C Distributivit : A(B+C) = AB + AC El ment neutre : Il existe une matrice I telle que : AI=IA=A La matrice I est la matrice diagonale dont les termes de la diagonale principale sont tous gaux 1 c est la matrice identit.

9 Non commutativit : Le produit AB est g n ralement diff rent du produit Inverse d une matrice carr eOn appelle inverse d une matrice A carr d ordre n, une matrice B telle que : AB = BA = I La matrice inverse de A est not e A-1, elle est unique si elle existe. AA-1 = A-1A = I Remarque :Si A et B sont inversibles, la matrice (AB) est inversible et admet pour inverse la matrice (B-1A-1).Exemple :Soient les matrices : Calculer MN et en d duire M-1 . Application : Calculez A et en d duire A-1 Solution : Voir le site Remarque : En g n ral, on ne peut pas simplifier par A dans l galit AB = exemple pour : simplifier par A conduit un r sultat absurde. Le calcul des d terminants D terminant d ordre 2 Soit la matrice : Le d terminant de A not det A, est gal : Exemple : Application :Calculez les d terminants des matrices suivantes: Solution : Voir le site D terminant d ordre 3 (M thode de Sarrus)Soit Pour calculer le d terminant d ordre 3 de cette matrice, on utilise la r gle de , on crit les trois colonnes de la matrice puis on r p te la premi re et la deuxi me colonne comme illustr ci-dessous.

10 Ensuite, on fait le produit des nombres situ s sur chacune des diagonales indiqu es et on l affecte du signe correspondant. Le d terminant est alors la somme des termes ainsi obtenus. Exemple :det A = [(1*1*0)+(0*1*3)+(1*2*2)]-[(3*1*1)+(2*1* 1)+(0*2*0)] = 0+0+4+-0-2-3=-1 Application :Calculez les d terminants des matrices suivantes: Solution :Voir le site Remarque :Cette m thode n est pas g n ralisable, elle n est valable que pour les d terminants d ordre R gle g n rale du calcul des d terminantsSoit A une matrice carr e d ordre n, pour calculer son d terminant on va utiliser un d veloppement par rapport une ligne ou une colonne comme suit: On appelle mineur mij du terme aij , le d terminant obtenu en supprimant dans le d terminant la ligne i et la colonne j.