degli Istituti professionali - Lorenzo Pantieri

1 MATEMATICAper le quintedegli Istituti professionaliLORENZO PANTIERIQ uestola-voro spiegail programma dimatematica degliIstituti professionali italiani. Ringrazio imiei studenti per l aiuto fornito: il libro pi loro che mio. Se avete idee su argo-menti da aggiungere o modificare, o se vidovesse capitare di notare un errore, dibattitura o di sostanza, mi fareste unfavore comunicandomelo. Speroche possiate studiare la ma-tematica con il miostesso piacere. Lorenzo PantieriMatematica per gli Istituti professionaliCopyrightc N D I C E1 introduzione all con gli di dei di delle funzioni delle crescenti e convesse e studio di prove e N T R O D U Z I O N E A L L A N A L I S funzioniFacciamo alcuni richiami al concetto di funzione, uno dei pi importanti due insiemiAeB, unafunzionefdidominioAecodominioB una relazione che associa a ogni elemento diAuno e un soloelemento diB.

2 Si scrivef:A B. Il dominioAsi indica anche con elementoy Bche associato a un elementox A l immaginedix:x lavariabile indipendentedella funzione, mentrey lavariabile esempio, le relazioni nella figura1sono funzioni, mentre le relazioni nellafigura2non lo (a)AB(b)Figura 1:FunzioniAB(a)AB(b)Figura 2:Relazioni che non sono funzioni2introduzione all analisiFunzioni iniettive, suriettive, funzionef:A B iniettivase a elementi diversidiAcorrispondono elementi diversi diB; suriettivase ogni elementodiB immagine di almeno un elemento diA.

3 Biunivocase iniettiva figura3mostra alcune funzioni iniettive, suriettive e (a)Una funzione iniettiva ma non suriettivaAB(b)Una funzione suriettiva ma non iniettivaAB(c)Una funzione n iniettiva n suriettivaAB(d)Una funzione biunivocaFigura 3:Funzioni iniettive, suriettive, biunivocheGrafico di una funzioneUna funzione si pu rappresentare, oltre che con un diagramma a frecce, anchecon un diagramma una funzionef:A B l insieme delle cop-pie(x, y)formate da un elementox Ae dal suo corrispondentey B, cony=f(x), nel piano esempio, la figura4riporta il grafico della funzionef:R R, cony=x2,sul piano funzioni3 3 2 1123123456789xy(a)Graficox y=x2 39 24 1100112439(b)Alcuni valoriFigura 4.

4 La funzioney=x2 Test delle rette verticali e delle rette orizzontaliData una curva nel piano cartesiano, si pu stabilire se essa il grafico di unafunzione facendo iltest delle rette curva nel piano cartesiano il grafico di una funzionese e solo se nessuna retta verticale la interseca pi di una curve rappresentate nella figura5sono funzioni o no?xy(a)Una funzionexy(b)Una relazione chenon unafunzioneFigura 5:Test delle rette verticali4introduzione all il test delle rette verticali: la curva5a il grafico di una funzione, perch nessuna retta verticale lainterseca pi di una volta.

5 La curva5b non il grafico una funzione, perch c almeno una retta verti-cale che la interseca due il grafico di una funzionef:R Rsi pu stabilire se essa iniettiva,suriettiva o biunivoca facendo iltest delle rette orizzontali:Proposizione2. Una funzione iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca ilsuo graficoal massimouna volta; una funzione suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale intersecail suo graficoalmenouna volta; una funzione biunivoca se e solo se ogni retta orizzontale intersecail suo graficoesattamenteuna funzionif:R Rrappresentate nella figura6sono iniettive,suriettive, biunivoche?

6 Il test delle rette orizzontali: la funzione6a iniettiva, perch ogni retta orizzontale interseca il suo gra-fico al massimo una volta), ma non suriettiva (perch c almeno una rettaorizzontale che non lo interseca; la funzione6b suriettiva, perch ogni retta orizzontale interseca il suografico almeno una volta, ma non iniettiva, perch c almeno una rettaorizzontale che la interseca due volte; la funzione6c non n iniettiva n suriettiva; la funzione6d classificazione5xy(a)Una funzione iniettiva ma nonsuriettivaxy(b)Una funzione suriettiva ma noniniettivaxy(c)Una funzione n iniettiva n surietti-vaxy(d)Una funzione biunivocaFigura 6:Test delle rette numerica una funzione il cui dominio ecodominio sono sottoinsiemi ora in poi ci occuperemo solo di funzioni numeriche e intenderemo confun-zionesempre una funzione numerica.

7 Conosci gi le funzioni: lineariy=mx+q quadratichey=ax2+bx+c potenzay=xn, connintero>1 esponenzialiy=axe logaritmichey=logax, cona > 0ea6=16introduzione all analisiLe funzioni si possono classificare in base alle operazioni che compaiono nell e-spressionef(x). funzione algebricase contiene solo (un numero fi-nito di) operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione edestrazione di radice. Altrimenti esempio, sono funzioni algebriche: y=x2 4x+3 y=2x 4x 1 y= 4 x2 Sono funzioni trascendenti: y=2x y=e x2 y= le funzioni algebrichey=f(x)si distinguono le funzioni: intere, in cuif un polinomio fratte, in cuif il quoziente di due polinomi irrazionali, in cui laxcompare sotto il segno di radicePer esempio, le funzioni.

8 Y=x2 4x+3 y=2x 4x 1 y= 4 x2sono rispettivamente intera, fratta e dominioQuando si assegna l equazione che definisce una funzione senza specificarne ildominio, si sottintende che esso sia quello pi ampio una funzioney=f(x) l insieme dei va-lori dixper cui le operazioni che compaiono nell espressionef(x) trovare il dominio basta allora seguire le seguenti indicazioni: l addizione, la sottrazione e la moltiplicazione sono sempre definite, mentrela divisione definita solo se il divisore diverso da dominio7 una radice di indice pari definita solo se il radicando positivo o nullo,mentre una radice di indice dispari definita se esiste il radicando l esponenziale (con base positiva e diversa da1) sempre definito se esistel esponente il logaritmo definito se l argomento positivo e la base positiva e il dominio delle funzioni.

9 Y=x2 4x+3 y=x3 3x y=x4 tre funzioni intere: il loro dominio R(figure7a,7b e7c). il dominio della funzioney=2x 4x una funzione fratta, definita se il suo denominatore diverso da zero(figura7d):x 16=0= x6=1Il dominio della funzione perci domf=R\{1} il dominio della funzioney=x2x una funzione fratta, definita se il suo denominatore diverso da zero(figura7e):x 16=0= x6=1Il dominio della funzione perci domf=R\{1} il dominio della funzioney=x2 4x2 all analisixy(a)y=x2 4x+3xy(b)y=x3 3xxy(c)y=x4 2x21xy(d)y=2x 4x 11xy(e)y=x2x 1 11xy(f)y=x2 4x2 1 Figura 7.

10 Dominio di alcune funzioni algebriche intere e dominio9 Soluzione. una funzione fratta, definita se il suo denominatore diverso da zero(figura7f):x2 16=0da cuix6= 1 x6=1Il dominio delle due funzioni perci domf=R\{ 1, 1} il dominio della funzioney= x2 4x+ una radice quadrata definita solo se il radicando positivo onullo, la funzione data definita se e solo se:x2 4x+3>0 Risolviamo l equazione associata:x2 4x+3=0= (x 1)(x 3) =0da cui, uguagliando a zero i fattori:x=1 x=3La parabola associata ha la concavit verso l alto (perch il coefficiente dix2 positivo) e interseca l assexnei punti corrispondenti alle soluzioni dell equazioneassociata.