DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS - cch …

1 41 UNIDAD 3 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Prop sitos: Continuar el estudio del concepto de DERIVADA a trav s del manejo de su representaci n algebraica buscando que el alumno reconozca a las reglas de derivadas como un camino m s eficaz de obtener la DERIVADA de una funci n. En la Unidad siguiente, pretendemos que: Obtengas la DERIVADA de una funci n polinomial de 1 , 2do 3er grado usando la definici n ( )( ) ( )xaf xf af xlimxa Identifiques el patr n de comportamiento de las derivadas obtenidas con el l mite del cociente. Calcules la DERIVADA de FUNCIONES ALGEBRAICAS usando las reglas de deri vaci n. Reconozcas la jerarqu a de las operaciones i nvolucradas en la regla de correspondencia de una funci n para aplicar correctamente las reglas de derivaci n. Identifiques las relaciones existentes entre la gr fica de una funci n y la gr fica de su DERIVADA .

2 Obtengas la ecuaci n de la recta tangente en un punto de la gr fica de una funci n. Obtengas la velocidad instant nea como la DERIVADA de la funci n posici n y la aceleraci n como la deri vada de la velocidad. Des significado a la deri vada de una funci n en el contexto de un problema. INTRODUCCI N. Significado Intuitivo Del Concepto De L mite. En esta secci n iniciaremos nuestro estudio de las deri vadas ALGEBRAICAS a trav s de su definici n que se dio en la unidad 2, para poder calcular estas derivadas requerimos un repaso del c lculo de l mites de FUNCIONES ALGEBRAICAS as como de su lgebra que requieren. La idea del m todo del l mite es fundamental en el c lculo y es una idea relati vamente simple, pero no es una idea aislada y equi vale a lo siguiente.

3 Para determinar el valor exacto de una cierta magnitud determinamos primero, no la magnitud en s , sino una aproximaci n de ella. Sin embargo, no hacemos una nica aproximaci n sino una serie de ellas, cada una de las cuales es m s precisa que la anterior (un proceso infi nito). Del examen de esta serie de aproximaciones determinamos un vocamente el valor exacto de la magnitud. Por este m todo, que es en esencia profundamente dial ctico, obtenemos una constante fija como resultado de un proceso o movimiento. 42 Ejemplo 1. En el problema de la pelota en la unidad 2, se quiere calcular la velocidad instant nea a los 3 segundos, en este ejemplo debemos calcular el l mite siguiente: 233( )(3) (3) (3)33tts tsttvslimlimtt En este caso la funci n es ()3ttftt observa que la funci n no esta definida para 3t ( por qu ?)

4 , es por est raz n que nos debemos aproximar a 3 y as conjeturar su l mite, los valores de ()ft cuando t se aproxima por la i zquierda al n mero 3, se resumen en la tabla siguiente. En este caso decimos que: 233( )(3) (3) (3) tsttmvslimlimtts Definici n intuitiva de l mite. Cuando escribimos Lxflimax)( se lee el l mite de ()fx, cuando x tiende al n mero a, es igual a L y significa que()fxpuede acercarse arbitrariamente a L (si la distancia ()f xL es tan peque a, como queramos) siempre que x se elija lo suficientemente cercano al n mero a pero no igual al n mero a (sixa es peque a tambi n). Ilustraremos el proceso l mite con el esquema siguiente: t ()ft f x a L x xa ()fx ()f xL 43 Aunque no es complicado tomar valores cada vez m s cercanos al n mero en donde queremos calcular el l mite, el m todo de aproximaciones es largo, por esa raz n se buscan t cnicas las cuales faciliten este c lculo, pero, si n dejar de pensar que el c lculo de l mites es una aproximaci n de un proceso infinito.

5 Con este fin iniciaremos calculando los l mites m s sencillos, no es dif cil ver que xalim c c y xalim x a ya que la distancia de sus im genes es tan peque a como se desee siempre y cuando la distancia xa tambi n lo sea, como se ilustra a continuaci n. xalim c c xalim x a El c lculo de l mites para otras FUNCIONES tambi n es sencillo, siempre que recordemos las propiedades de los l mites que a conti nuaci n se enlistan. Propiedades de los l mites. Los l mites tienen varias propiedades muy importantes, algunas de ellas son: El l mite de una suma es la suma de los l mites ( ( )( ))( )( )xaxaxalim f xg xlim f xlim g x (1) El l mite de un producto es el producto de los l mites ( ( ) ( ))( )( )xaxaxalim f x g xlim f xlim g x (2) El l mite de un cociente es el cociente de los l mites ()(),( )0( )( )xaxaxaxalim f xfxlimlim g xg xlim g x, (3) y a c x y a x ()f xx a 44 Estas propiedades no te las justificaremos porque para ello hace falta contar con la defi nici n formal del l mite de una funci n.

6 Lo que s podemos hacer es tomar estos l mites como base para encontrar otras propiedades a partir de ellas. Ejemplo 2. El l mite de una constante por una funci n es la constante por el l mite de la funci n. ( )( )xaxalim c g xc lim g x (4) Soluci n. Esta propiedad se justifica a partir de (2) y de que xalim c c: ( )( )( )xaxaxaxalim c g xlim c lim g xc lim g x El resultado anterior, nos permite extraer del l mite a una constante, como se muestra a conti nuaci n: (7 )777xaxaxaxalim xlimlim xlim xa Utili zando las propiedades (1) y (4), podemos hacer lo siguiente: ( ( )( ))( )( )xaxaxal m f xcg xl m f xl m cg x ( )( )xaxal m f xc l m g x Si c = 1, se tiene que: ( ( )( ))( )( )xaxaxal m f xg xl m f xl m g x, es decir: El l mite de una diferencia es la diferencia de los l mites ( ( )( ))( )( )xaxaxal m f xg xl m f xl m g x Ejemplo 3.

7 Con base en los l mites que hemos calculado y las propiedades de los l mites, conjetura el valor de: a) 3xalim x b) 4xalim x c) 5xal m x d) 12xal m x Soluci n. sabemos que xalim x a y con la regla del producto, podemos conjeturar que: 33( )( )( )xaxaxaxalim xlim x lim x lim xa a aa De manera similar 44xalim xa , 55xal m xa y 1212xal m xa Ejemplo 4. Si n representa a un n mero entero positivo, conjetura a qu ser igual el nxalim x. 45 Soluci n. Del ejemplo anterior, podemos deducir (y se puede probar por inducci n) que nnxalim xa Ejemplo 5. Calcula los l mites siguientes: a) ),132(23xxl mx b) .1220xxl mx Soluci n. En el primer caso tenemos a) 223(231) 2(3)3(3) 1 18 9 1 28xl m xx. En el segundo caso b).

8 1220xxl mx=11210202 ( qu propiedades se usaron?) Sin embargo l mites de esta naturaleza son muy pocos los que se encuentran, es m s com n encontrar l mites a los que les llamamos l mites indeterminados, como el del c lculo de la velocidad en 3t, que hemos reali zado previamente, y usar el m todo de aproximaciones sucesivas tanto del lado derecho como del lado izquierdo, es un trabajo muy laborioso, sin tomar en cuenta que conlleva a problemas teoricos que no abordademos en esta gu a, afortunadamente los l mites con los que trabajaremos requieren muy poca de lgebra para poder calcularlos. DERIVADAS DE FUNCIONES DEL TIPO ()nf xcx. Iniciaremos con las deri vadas de las FUNCIONES ()f xc, (en donde c es una constante) ()f xx, 2()f xx, 3()f xxy posteriormente conjeturaremos el caso general.

9 Recordemos la defi nici n de DERIVADA , a saber, ( )( ) ( )xaf xf af alimxa Con base en ella, calculemos ( )fapara la funci n()f xc, en este caso ()f ac, por lo que ( )( ) ( )0 0xaxaxaf xf ac cf alimlimlimx ax a La DERIVADA de una constante es cero 46 De la misma forma, para la funci n ()f xx, se tiene ()f aa, as ( )( ) ( )1 1xaxaxaf xf ax af alimlimlimx ax a La DERIVADA de la funci n identidad es 1. Para calcular la DERIVADA de la funci n 2()f xx emplearemos la identidad algebraica muy conocida, a saber: 22()()aba b a b, en este caso 2()f aa y, su deri vada es 22( )( )()() ( )() 2xaxaxaxaf xf axax a x af alimlimlimlim x aax ax ax a De manera an loga, la DERIVADA de la funci n 3()f xxse calcula de la misma forma, se tiene 3()f aa y haciendo uso de la identidad algebraica 3322()()aba b aab b, se tiene 3322222( )( )()() ( )() 3xaxaxaxaf xf axax a xax af alimlimlimlim xax aax ax ax a Hagamos un resumen, de las derivadas que hemos calculado.

10 Funci n ()fx DERIVADA ( )fa c 0 x 1 2x 2a 3x 23a Podemos conjeturar (se puede probar por inducci n) que la deri vada de la funci n ()nf xx, en donde n es un entero positivo, es 1 ( )nf ana Para encontrar la DERIVADA de la funci n ()nf xcxen donde ces una constante, se procede la manera siguiente: 1( )( ) ( )nnnnnxaxaxaf xf acxcaxaf alimlimc limcnax ax ax a ( Qu propiedades empleamos?) 47 REGLAS DE DERIVAC I N. Constante por una funci n. Esta regla resulta de las propiedades de los l mites, consideremos que una funci n es derivable en el punto xa, entonces ( )( )( )( )( ( )) ( )xaxacf xcf af xf acf alimc limcf ax ax a A esta propiedad tambi n se le dice que la deri vada saca constantes. Ejemplo 6. Calcula la deri vada de la funci n 3( ) 8f xx.