Distribuição de Freqüência

1 Distribui o de Freq nciaRepresenta o do conjunto de dadosDistribui es de freq nciaFreq ncia relativaFreq ncia acumuladaRepresenta o Gr ficaHistogramasOrganiza o dos dadosOs m todos utilizados para organizar dados compreendem o arranjo desses dados em subconjuntos que apresentem caracter sticas similares. mesma idade (ou faixa et ria ), mesma finalidade, mesma escola, mesmo bairro, etcOs dados agrupados podem ser resumidos em tabelas ou gr ficos e, a partir desses, podemos obter as estat sticas descritivas j definidas: m dia, mediana, desvio, organizados em grupos ou categorias/classes s o usualmente designados distribui o de freq ncia .Distribui o de frequ nciaUma distribui o de freq ncia um m todo de se agrupar dados em classes de modo a fornecer a quantidade (e/ou a percentagem) de dados em cada classeCom isso, podemos resumir e visualizar um conjunto de dados sem precisar levar em conta os valores distribui o de freq ncia (absoluta ou relativa)

2 Pode ser apresentada em tabelas ou gr ficosDistribui o de frequ nciaUma distribui o de freq ncia agrupa os dados por classes de ocorr ncia, resumindo a an lise de conjunto de dados o conjunto de dados que represente a popula oOrdene em ordem crescente ou decrescenteEventosAlturaAluno 11,60 Aluno 21,69 Aluno 31,72 Aluno 41,73 Aluno 51,73 Aluno 61,74 Aluno 71,75 Aluno 81,75 Aluno 91,75 Aluno 101,75 Aluno 111,75 Aluno 121,76 Aluno 131,78 Aluno 141,80 Aluno 151,82 Aluno 161,82 Aluno 171,84 Aluno 181,88 Construindo uma distribui o de freq nciaConstruindo uma distribui o de freq nciaDetermine a Quantidade de classes (k)Regra de Sturges (Regra do Logaritmo) k = 1 + 3,3log(n)Regra da Pot ncia de 2 k = menor valor interiro tal que 2k nRegra da Raiz Quadrada Bom senso !!!

3 Decida a quantidade de classes que GARANTA observar como os valores se de dados (n)Quantidade de Classes (k)Quantidade de dados (n)Quantidade de Classes (k)Quantidade de dados (n)Quantidade M NIMA de Classes (k)Quantidade M XIMA de Classes (k)111 e 21at 50510223 e 4251 a 1008163 a 535 a 83101 a 2001020 6 a 1149 a 164201 a 300122412 a 23517 a 325301 a 500153024 a 46633 a 646mais de 500204047 a 93765 a 128794 a 1878129 a 2568188 a 3769257 a 5129377 a 75610513 a 102410 Regra de Sturges (Logaritmo)Regra da Pot ncia de 2 Bom SensoConstruindo uma distribui o de freq nciaConstruindo uma distribui o de freq nciaCalcule a amplitude das classes (h)Calcule a amplitude do conjunto de dados L = xm x xm nCalcule a amplitude (largura) da classe h = L / k Arredonde convenientementeCalcule os Limites das Classes1a classe: xm n at xm n + h2a classe: xm n + h at xm n + 2.

4 Classe: xm n + (k-1) . h at xm n + k . hLimite das classesUtilize a nota o: [x,y) intervalo de entre x (fechado) at y (aberto)Freq entemente temos que arredondar a amplitude das classes e, conseq entemente, arredondar tamb m os limites das sugest o, podemos tentar, se poss vel, um ajuste sim trico nos limites das classes das pontas ( , primeira e ltima) nas quais, usualmente, a quantidade de dados m dio das classesxk = Linferior + ( Lsuperior Linferior ) / 2 Construindo uma distribui o de freq nciaDetermina o da freq ncia das classesConsiste em agrupar os dados em cada classe e contar os totaisTra ar o gr ficoDividir o eixo horizontal em tantas partes quanto for o n mero de classes. Sugest o: deixe espa o entre o eixo vertical e a primeira a maior freq ncia da classe na tabela e marque esse n mero (ou outro um pouco maior) na extremidade do eixo vertical; divida esse eixo em algumas partes e marque os valores correspondentesDesenhe um ret ngulo, para cada classe, com largura igual largura da classe e com altura igual freq ncia da classeConstruindo uma distribui o de freq nciaDo nosso exemplo:Ordenamos os dadosPor Sturges, temos: n=18.]

5 K=5 (n mero de classes)Amplitude de classes Amplitude do conjunto de dados: 1,88- 1,60=0,28m Amplitude de classes: 0,28/5=0,056 Arredondado h = 0,06mAltura1,601,691,721,731,731,741,751 ,751,751,751,751,761,781,801,821,821,841 ,88 ExemploConstruindo uma tabela de freq nciaCalcule os Limites de ClasseArredonde os Limites de Classe nos extremos1,9-1,88=0,02 Distribua o excesso: 1,60-0,01; 1,88+0,01 Ajuste todas as classesAltura1,601,691,721,731,731,741,7 51,751,751,751,751,761,781,801,821,821,8 41,88 Amplitude0,06 Limites inferioresLimite superior1,601,661,661,721,721,781,781,84 1,841,90 Aqui sobra 0,02m!Freq ncias absolutasDistribua os eventos ou ocorr ncia por suas respectivas classesFreq ncias acumuladasSome as ocorr ncias de dados cumulativamente s classesObserva o importante.

6 Muito til representar as frequ ncias em termos percentuais ao total de amostras0,06 DadosClasseFrequ nciaFrequ ncia Acumulada1,60 1,59-1,65111,69 1,65-1,71121,72 1,71-1,7710121,73 1,77-1,834161,73 1,83-1,892181,74 Tot al181,751,751,751,751,751,761,781,801,82 1,821,841,88A mplitudeConstruindo uma tabela de freq nciaRepresenta o Gr ficaHistogramaNa abscissas, distribua as classesNa ordenada da esquerda, as freq ncias absolutasConstrua um gr fico de barras para as freq nciasConstrua um gr fico de linha para a freq ncia acumulada (utilize a escala da direita)0,06 ClasseFrequ nciaFrequ ncia Acumulada1,59-1,65111,65-1,71121,71-1,77 10121,77-1,834161,83-1,89218 Tot al18A mplitude0246810121,59-1,651,65-1,711,71- 1,771,77-1,831,83-1,8905101520 Distribui o de Freq ncia: Histogramas e Pol gonos de Freq nciaUma distribui o de freq ncia representada por um gr fico de barras denominada histogramaOutro gr fico de interesse o chamado pol gono de freq nciaO pol gono de freq ncia obtido unindo-se os pontos m dios da parte superior de cada ret ngulo do histograma com segmentos de reta importante notar que tanto o histograma quanto o pol gono de freq ncia indicam a freq ncia absoluta de cada classeDistribui o de Freq ncia.

7 Histogramas e Pol gonos de Freq nciaDigamos que temos histogramas para as alturas dos estudantes de duas turmas diferentes, tra ados de acordo com as regras descritas at agoraPoder amos sobrepor os desenhos para fazer uma an lise comparativa das turmas?Que cuidados devemos tomar?O problema com esta regra de constru o que o histograma constru do espec fico para o conjunto em an lisePara fazermos an lises comparativas de conjuntos de dados diferentes, as classes devem ser as mesmas!Devemos, ent o, utilizar algum conhecimento pr vio da rea em estudo para definir o intervalo aceit vel de varia o dos dados e, a partir da , definir as classesEssas classes gen ricas servir o para o estudo de quaisquer conjunto de dados e permitir o an lises comparativasDistribui o de Freq ncia: Histogramas e Pol gonos de Freq nciaDistribui o de Freq ncia: Histogramas e Pol gonos de Freq nciaEm um histograma, as classes devem SEMPRE ter a mesma largura?

8 N o necessariamente! Existem casos em que mais adequado agrupar os dados em classes com larguras exemplo t pico a classifica o de pessoas por faixas et rias (infantil, juvenil, adulto, s nior, etc). Essas faixas n o t m a mesma o de Freq ncia: Histogramas com Classes de Larguras DesiguaisA representa o gr fica dos dados em um histograma com classes de larguras desiguais requer a transforma o dos valores de freq ncia absoluta em densidade de freq fundamental pois devemos manter a rea dos ret ngulos proporcionais freq ncia da classe A densidade de freq ncia dada por:classedalarguraclassedafreq nciafreq nciadedensidade=Distribui o de Freq ncia: Histogramas com Classes de Larguras DesiguaisIsso significa que a altura das barras ( , os valores na escala do eixo vertical) N O representam a freq ncia da classe, mas sim a densidade de freq calcularmos a freq ncia da classe devemos multiplicar a densidade (indicada no eixo vertical) pela largura respectivaOutros Gr ficos0,05 ClasseFrequ nciaFrequ ncia Relativa (%)1,59-1,6516%1,65-1,7116%1,71-1,771056 %1,77-1,83422%1,83-1,89211%Tot al18 AmplitudeFrequ ncia Relativa (%)22%11%6%6%55%1,59-1,651,65-1,711,71-1 ,771,77-1,831,83-1,89Gr fico de PizzaGr fico de ParetoOutros Gr ficosClasseFrequ nciaFrequ ncia Relativa(%)Frequ ncia AcumuladaFrequ ncia Acumulada(%)

9 1,71-1,771056%1056%1,77-1,83422%1478%1,8 3-1,89211%1689%1,65-1,7116%1794%1,59-1,6 516%18100%Tot al18100%94%89%56%78%0%20%40%60%80%100%12 0%1,71-1,77 1,77-1,83 1,83-1,89 1,65-1,71 Classe de Altura (m)Freq nciaFreq. [--- [--- [--- [--- [--- o [ [ [ [ [ de alturas (m)Freq nciaSeq ncia1 Seq ncia2 Seq ncia3 Seq ncia4 OGIVA DE [ [ [ [ [ de alturas (m)Freq:u ncia acum uladaSeries2 Series1 Series3 Outros Gr ficosQuando os dados est o resumidos em uma tabela de freq ncias, podemos calcular aproximadamente a m dia aritm tica ponderando sobre:Pontos m dios de cada intervalo sup e-se que todos os elementos das classes ocorrem no ponto m dio das respectivas classes;Exemplo: temos 7 ocorr ncias na faixa entre 1,75 e 1,79. Consideramos que as sete ocorr ncias equivalem a (1,79+1,75)/2=1,77 ponto m dio da dia Ponderada: M dia de uma tabela de freq nciaM dia Ponderada: M dia de uma tabela de freq ncia =fxfx).]]]]]]]]]]]]]]]

10 (x = ponto m dio da classef = freq ncia f = nErros por p ginasNo de paginas0251 20233141nfxffxx ==..66,05033)1132025()14()13()32()201()2 50(==++++ + + + + =xM dia PonderadaA m dia ponderada considerada ponderada quando os valores dos conjuntos tiverem pesos / freq ncias diferentesNuma distribui o utilizando os valores discretos, calcula-se:M dia PonderadaQuando tivermos uma distribui o com dados agrupados por classes de valores, calculamos considerando o valor de cada classe como o ponto m dio respectivo da de Pe s s oasPonto M dio (Xi)Frequ ncia (fi) ,59-1,651,6211,621,65-1,711,6811,681,71- 1,771,741017,41,77-1,831,8047,21,83-1,89 1,8623,72 Tot al1831,62nfxffxx ==..1,761862,31==xC lculo da Moda para dados AgrupadosCaso 1: dados agrupados por valores discretos moda o valor com maior freq 2: dados agrupados por classesModa BrutaM todo de KingM todo de CzuberM todo de PearsonC lculo da Moda para dados Agrupados: Moda BrutaModa BrutaTome a classe que apresenta a maior freq ncia classe modalA moda ser o ponto m dio da classe modal: (liminf + limsup )/2C lculo da Moda para dados Agrupados: KingM todo de King:OndeLiminf : limite inferior da classe modalfant : freq ncia da classe anterior modalfpost : freq ncia da classe posterior modalh: amplitude da classe modalhfffMpostantposto++=inflimC lculo da Moda para dados Agrupados: CzuberM todo de Czuber (mais preciso):OndeLiminf : limite inferior da classe modalfMo.)