Econometria Cap12 Heterocedasticidade

1 HeterocedasticidadeEconometriaAlexandre Gori MaiaBibliografia B sica:-Maia, Alexandre Gori(2017). Econometria : conceitos e aplica es. Cap. : Defini o; Identifica o: An lise Gr fica, Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan, White; Corre o: MQP e MQGF; Estimadores Robustos para a Vari ncia; Teoremade Gauss-Markov1) Rela o linear entre os regressoresxe Y: O modelo s v lido para rela es ) Os valores de xs o fixos em repetidas amostras, n o aleat rios:Quem varia o regressando, o regressor fixo, qualquer que seja a amostra. Em outras palavras, dados os valores controlados de x, Yvariar aleatoriamente segundo uma distribui o de probabilidade, com valor esperado dado por E(Y|x).3) Esperan a condicional dos erros igual a zero, ou seja, E(e|x)=0: a mesma coisa afirmar que E(Y|x)=xi ) A variabilidade dos erros constante, ou seja, E(ei2)=s2Os erros s o homoced sticos, ou seja, sua vari ncia uma ) Os erros s o n o autocorrelacionados, ou seja, E(eiej)=0: N o h rela o entre valores dos oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoHeterocedasticidade-Defini oHomocedasticidadeHomocedasticidade:A vari ncia dos erros e, condicionada aos valores das vari veis explanat rias, ser :A vari ncia dos erros ser diferente para cada valor condicional de ).

2 ,,/(s=iiikiXXXeVarHeterocedasticidade221 ),..,,/(ikiiiiXXXeVars=YXjX1E(Y1)X2E(Y2) Var(e2)=s2 Var(e1)=s2 YXjX1X2 Var(e2)=s22E(Y1)Var(e1)=s21E(Y2)Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoHeterocedasticidade-CausasPrincip ais causas da Heterocedasticidade :-Natureza das vari veis: alguns relacionamentos apresentam tipicamente tend ncia heterocedasticia. Por exemplo, renda e poupan a. -Valores extremos: a ocorr ncia de um valor extremo na amostra pode inflacionar a variabilidade em um determinado ponto do na especifica o do modelo: a Heterocedasticidade pode tamb m ser devida omiss o de importantes vari veis no o dos dados: a transforma o das vari veis (por exemplo, propor o ao inv s de valores absolutos) ou da forma funcional (modelo log-duplo ao inv s de linear) pode eliminar a )(iieVars=iiieXY++=baiiieXY++=baiiiieXXY +++=221bbaiiieXY++=baiiieXY++=)ln()ln(ba Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoConsequ ncias-Inefici nciaInefici ncia dos Estimadores de MQONa presen o de Heterocedasticidade nos erros, os estimadores de MQO continuam sendo n o viesados e consistentes, mas deixam de ser eficientes (ou seja, n o possuem mais vari ncia m nima).)

3 Em outras palavras, seja bo estimador de MQO, ent o existe outro estimador b* tal que:HomocedasticiaYXIntervalode Varia odas estimativasde MQOI ntervalo de Varia o das estimativas de outro m todoHeterocedasticiaYXIntervalo de Varia o das estimativas de MQOI ntervalo de Varia o das estimativas de um m todo mais eficiente) (*) (bbVarVar<^^Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoConsequ ncias TendenciosidadeTendenciosidade da Vari ncia dos Estimadores:Outra importante consequ ncia da Heterocedasticidade o vi s do estimador da vari ncia de !", mesmo para amostras grandes (inconsist ncia). Como resultado, as estat sticas de teste te Fdeixam de ser v lidas, pois dependem da vari ncia do estimador. Em outras palavras, na presen a de Heterocedasticidade teremos:Seja o modelo:iiieXY++=baPelo MQO: ===ni2iniiixyx11 be ==ni2ixS122 sbNo caso de heterocedasticia:No caso de homocedasticia:n o viesado na aus ncia de Heterocedasticidade e viesado na sua presen a) ()(2 bbVarSE 2)(s=ieVar ==niixVar122) (sb2)(iieVars=212122)() ( ===niiniiixxVarsbDefini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoIdentifica oPrincipais testes para se detectar a Heterocedasticidade :An lise gr fica.

4 2 XjTeste Goldfeld-QuandtIdentifica o Testes Estat sticosTeste de Breusch-PaganTeste de WhiteDefini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoAn lise Gr fica 2 HomocedasticidadeA dispers odos res duos a mesmaaolongode XX 2 HeterocedasticidadeA dispers odos res duos umafun olinear de XX 2 HeterocedasticidadeA dispers odos res duos umafun oquadr ticade XX 2 HeterocedasticidadeA dispers odos res duoscrescede maneiraquadr ticacom osvaloresde Xconstante 2=i22iX =2i2i12iX X +=2i22iX =XDefini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoAn lise Gr ficaSejam os dados de 40 fam lias para gastos com alimenta o (Y) e renda (X):A dispers o dos res duos em fun o da vari vel X(renda) sugere que, medida que a renda cresce, a dispers o dos res duos tamb m aumenta, indicando a presen a de Heterocedasticidade , em uma rela o aparentemente linear. iiieRendaAlimentGasto 13,08,40++=i22iX =Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoTeste de Goldfeld-QuandtYXSejam os valores da amostra: <=2221122210 : H : HPassos para efetuar o teste de Goldfeld-Quandt1-Ordenar as observa es da amostra de acordo com os valores de X;2-Omitir cobserva es centrais para dar mais poder ao teste (ccostuma ser igual a 4 para n=30 e c=10 para n=60) e separar observa es em duas subamostras de (n-c)/2 observa es; 3-Ajustar uma regress o para cada subamostra (cada regress o ter kvari veis independentes);4-Testar hip tese da igualdade dos erros quadr ticos m dios a partir da estat stica o 1 Regress o 2A omiss o de cobserva es centrais objetiva acentuar a diferen a entre o grupo com vari ncia pequena (SQReg1) e com vari ncia grande (SQReg2).

5 GlSQResglSQResF//12=)1(2+--=kcnglondeglg lF, : X1<X2<..<XnPara testar a hip tese nula da homocedasticia:Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoTeste de Goldfeld-Quandt99,47,5269,2629 2122===ssFRegress o 1 Regress o 2 <=2221122210 : H : HAmostra 1iiieRendaAlimentGasto 18,06,12++=Das 40 observa es originais, foram eliminadas 6 observa es centrais para dar mais poder ao teste. Restaram dois subconjuntos com 17 observa es 2iiieRendaAlimentGasto 09,01,75++=FonteglSQQMFpRegress o15967,25967,211,330,0042 Res duos157900,0526,7 Total1613867,2 FonteglSQQMFpRegress o12308,62308,60,880,3636 Res duos1539449,12629,9 Total1641757,7estat stica de teste :15,15F99,40017,0 Rejeita-se H0, ou seja, pode-se afirmar que h diferen a entre as vari ncias ( Heterocedasticidade ) com uma probabilidade de erro de apenas 0,17%E para calcular a probabilidade de erro do tipo I:Sejam os gastos de 40 fam lias com alimenta o em fun o da renda:Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoTeste de Breusch-PaganPassos para efetuar o teste de White1-Estimar os res duos do ajuste de MQO para o modelo original de RLM;2-Ajustar um modelo auxiliar relacionando o quadrado dos res duos s vari veis independentes do modelo original.

6 3-Calcular a estat stica LM pelo produto do n mero de observa es e o R2do ajuste auxiliar;4-Calcular o valor passociado estat stica em uma distribui o c2com gldado pelo n mero de vari veis explanat rias;2auxRnLM =2kc2auxRn p 2 XjiiiieXXY+++=2211bbaiiiiuXXe+++=221102 dddOnde k o n mero de vari veis explanat rias, R2auxo coeficiente de determina o do ajuste auxiliar e no n mero de observa es ==0:0:1210jHHdddSeja o modelo de RLM com k=2:Par verificarmos se os res duos quadr ticos t m rela o com os regressores:Para testar a hip tese nula da homocedasticia:Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoTeste de Breusch-Pagan -ExemploDo ajuste original por MQO obtivemos: iiieRendaAlimentGasto 13,08,40++=A partir dos res duos de MQO, ajustamos o seguinte modelo auxiliar: iiiuRendae 21,55,279,2 2++-=O teste de hip teses ser dado por: =0:0:1110ddHH0,12301,0402= = auxRn21c0,120005,0A probabilidade de erro ao rejeitar H0 de apenas 0,05%.

7 Em outras palavras, h fort ssimas evid ncias para afirmarmos que os erros s o heteroced sticos pois ao fazermos tal afirma o estar amos sujeitos a uma chance de erro de apenas 0,05%.Sejam os gastos de 40 fam lias com alimenta o em fun o da renda:301,02=auxRiiiuRendae++=102 ddDefini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoTeste de WhitePassos para efetuar o teste de White1-Estimar os res duos do ajuste de MQO para o modelo original de RLM;2-Ajustar um modelo auxiliar relacionando o quadrado dos res duos s vari veis independentes do modelo original, seus quadrados e produtos cruzados; 3-Calcular a estat stica LM pelo produto do n mero de observa es e o R2do ajuste auxiliar;4-Calcular o valor passociado estat stica em uma distribui o c2com gldado pelo n mero de vari veis explanat rias do ajuste auxiliar;2auxRnLM =2hc2auxRn p 2 XjiiiieXXY+++=2211bbaiiiiiiiiuXXXXXXe+++ +++=225214213221102 ddddddOnde h o n mero de vari veis explanat rias, R2auxo coeficiente de determina o e no n mero de observa es, todos referentes ao ajuste auxiliar ===0 :1510jHHdddSeja o modelo de RLM com k=2:Para verificar se os res duos quadr ticos t m rela o com os regressores, seus quadrados e seus produtos cruzados:Para testar a hip tese nula da homocedasticia:Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoTeste de White -ExemploDo ajuste original por MQO obtivemos: iiieRendaAlimentGasto 13,08,40++=A partir dos res duos de MQO, ajustamos o seguinte modelo auxiliar: O teste de hip teses ser dado por:22c58,14A probabilidade de erro ao rejeitar H0 de apenas 0,07%.

8 Em outras palavras, h fort ssimas evid ncias para afirmar que os erros s o heteroced sticospois, ao fazermos tal afirma o, estar amos sujeitos a uma chance de erro de apenas 0,07%.Sejam os gastos de 40 fam lias com alimenta o em fun o da renda: ==0:0:1210jHHdddDefini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador Robusto "#$=1921 7,413."/01#+0,009."/01#$+45# "#$=67+68."/01#+6$."/01#$+5#.9:;$=0,365/ .9:;$=40 0,365=14,60,0007 Corre oHeterocedasticidadeDada a equa o de )()(sssssVeee= = ==nnTvvvEVareX y+=A equivalente matricial:Haver Heterocedasticidade quando: A equa o de RLM equivale transforma o:A equa o matricial equivale trasnforma o:22)()(iiieEeVars==Que pode ainda ser representado por: iiveE22)(s=onde o fator viindica como varia a vari ncia de e para cada observa o iA nova equa o ser homoced stica, pois:Haver Heterocedasticidade quando: e X y+=onde = A nova equa o ser homoced sticapois:22)(ssI V ee==TEDefini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador Robusto!

9 "=$+&'(')+ +&+(+)+,"!" =$+&'(') + +&+(+) +," !"#"=%1#"+()*)+#"+ +(-*-+#"+."#".,"/"0=.,"0/"=1/".,"0=20M nimosQuadradosPonderadosPondera o da vari veis:Uma vez conhecida a matriz Vde vari ncias e covari ncias do erros de um modelo de RLM, podemos obter os MELNV transformando as vari veis originais. Em outras palavras, seja o modelo:eX y+=em queEnt o: e X y+=em queApresentar erros homoced sticos, pois:1-=V T22)(ssI V ee==TEDefini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador )(ssVe= =nvvvVar = eM nimosQuadradosPonderadosEstimadores de MQP:Seja o modelo de RLM:eX y+=com Heterocedasticidade dada porAlternativamente, eu posso obter os estimadores de MQP diretamente por:Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador RobustoCaso a matriz !seja conhecida, eu posso aplicar MQO s vari veis transformadas !"e !#para estimar os coeficientes $. %&'())=, o e X y+=ser homoced stico, pois%&'(!

10 = y X X X 1111)()( ----==TTTTTTEsse m todo denominado de M nimos Quadrados Ponderados (MQP), um caso espec fico do m todo de M nimos Quadrados Generalizados (MQG). Os estimadores de MQP s o n o tendenciosos e os mais eficientes (MELNV) na presen a de nio an logo v lido para obter os estimadores da vari ncia:yVX yVy11 SQRes---=TTTe2112 )(Ssb--=XVXTMQP com V conhecida -Exemplo2)(siiXeVar=As estimativas de MQO s o:Supondo que:Para obter as estimativas de MQP, aplicamos MQO ao modelo transformado:Sejam os gastos de 40 fam lias com alimenta o em fun o da )(ssV= =XXeVariiieRendaAlimentGasto 13,08,40++=Defini oAn lise Gr ficaGoldfeld-QuandtBreusch-PaganWhiteMQP MQGFE stimador Robusto!"#$%&'()%&*+(=-1)%&*+(+0)%&*+()% &*+(+%()%&*+( e X y+=1-=V Tem queAs estimativas de MQP seriam:!"#$%&'(= + )%&*+(+ %( As estimativas de MQP s o n o tendenciosas e as mais eficientes. O estimador da vari ncia tamb m n o tendencioso. Mas a validade dessas estimativas depende de um pressuposto forte, que a vari ncia dos erros seja de fato uma fun o linear da renda.))))