ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

1 7. 1 UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolver s ejercicios y problemas que involucren la soluci n de ECUACIONES de PRIMER GRADO y de SEGUNDO GRADO Objetivos espec ficos: 1. Recordar s a qu se llama: ecuaci n id ntica o identidad; ecuaci n condicional o ecuaci n; variable o inc gnita, y constante. 2. Recordar s a qu se llama: soluci n o ra z de una ecuaci n; conjunto de soluciones de una ecuaci n; ECUACIONES equivalentes; ECUACIONES de PRIMER GRADO y ECUACIONES de SEGUNDO GRADO . 3. Recordar s las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones b sicas y las utilizar s para resolver una ecuaci n, transform ndola en ECUACIONES equivalentes. 4. Resolver s ECUACIONES de PRIMER GRADO . 5. Resolver s ECUACIONES de SEGUNDO GRADO por el m todo de factorizaci n. 6. Identificar s el discriminante de una ecuaci n de SEGUNDO GRADO y resolver s ECUACIONES de SEGUNDO GRADO mediante la f rmula general. 7. 2 Objetivo 1.

2 Recordar s a qu se llama ecuaci n condicional o ecuaci n; variable o inc gnita; constante, y ecuaci n id ntica o identidad. Se llama ecuaci n a una proposici n algebraica que establece la igualdad entre dos expresiones a las que se llama miembros de la ecuaci n. En una ecuaci n hay una o m s cantidades desconocidas llamadas variables o inc gnitas y n meros llamados constantes. Una ecuaci n que se satisface para todos los valores de las variables para los que est n definidos ambos miembros de la ecuaci n, se llama ecuaci n id ntica o identidad. En una identidad es com n sustituir el signo = por el s mbolo que se lee id ntico a . Ejemplos: 1.) 2222bababa Como se puede observar, la igualdad es cierta para cualquier valor de a, b R puesto que el SEGUNDO miembro es el desarrollo del cuadrado del binomio del PRIMER miembro. 2.) 11112 xxxx ; x 1 La divisi n algebraica de la fracci n del PRIMER miembro da como resultado un cociente de 1 x y un residuo de 1: 211xxx xx 2 _____ x 1 x _____ + 1 Por ello, la ecuaci n propuesta es una identidad para todos los valores de x, excepto para 1 x, debido a que este valor produce un cero en el denominador de los dos 7.

3 3 miembros de la ecuaci n. En estos casos se dice que cada miembro de la ecuaci n es indefinido para 1 x. Una ecuaci n condicional, o simplemente una ecuaci n, es una igualdad que resulta verdadera solamente para alguno o algunos valores de las variables. Ejemplos: 1.) 232 xx En este caso la igualdad se cumple nicamente cuando 5 x. Cualquier otro valor de la variable x hace que la proposici n sea falsa. 2.) 10 yx Esta igualdad es verdadera para un n mero infinito de pares de valores de x y de y, pero no para cualquier par de valores. Por ejemplo, se cumple para 5,5 yx; para 10,0 yx; para 4,14 yx, etc tera; pero no se cumple para 4,5 yx;12,0 yx; 3,14 yx etc tera. 3.) 0232 xx Esta proposici n es verdadera tanto cuando 2 x como cuando 1 x. Objetivo 2. Recordar s a qu se llama soluci n o ra z de una ecuaci n, conjunto de soluciones de una ecuaci n, ECUACIONES equivalentes, ECUACIONES de PRIMER GRADO y ECUACIONES de SEGUNDO GRADO .

4 Si una ecuaci n se convierte en identidad para algunos valores de las variables, se dice que la ecuaci n se satisface para dichos valores. Los valores de las variables que satisfacen a la ecuaci n se llaman soluci n o ra z de la ecuaci n, y cuando hay m s de una soluci n, a la totalidad de ellas se le llama conjunto de soluciones. 7. 4 Resolver una ecuaci n significa encontrar su conjunto de soluciones. Ejemplos: En los siguientes ejemplos, donde x , se encuentra el conjunto de soluciones y se indica el n mero de elementos de dicho conjunto. 1.) xx232621 Se prueba para diferentes valores de x si se encuentra(n) alguno(s) para los que la igualdad se cumple, por ejemplo, para 2 x: 22326221 ; 3261 Para 3 x: 32326321 ; 292623 Para 4 x: 42326421 ; 6262 Puesto que la ecuaci n se satisface para 4 x, y s lo para este valor, la soluci n o ra z es nica y el conjunto de soluciones de la ecuaci n es 4 2.

5 0164 x Nuevamente al hacer la sustituci n directa para diferentes valores de x de entre los n meros enteros, se obtiene que la ecuaci n se satisface para 2 x y para 2 x. Por lo tanto, su conjunto de soluciones tiene dos elementos: { 2, 2} 3.) 092 x Para esta ecuaci n no existe n mero real alguno que la satisfaga ya que tanto 3 x como 3 x hacen que el PRIMER miembro sea igual a 18 y no a cero. En este caso no existe soluci n en por lo que el conjunto soluci n es vac o: 7. 5 4.) 4842222 xxx Se observa que la ecuaci n propuesta es una identidad porque el SEGUNDO miembro es el desarrollo del binomio cuadrado del PRIMER miembro: el cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el SEGUNDO m s el cuadrado del SEGUNDO . Recordando el contenido del objetivo 1, se cumple para todo valor de x en el conjunto de los n meros reales por lo tanto, su conjunto soluci n es {xx } y su n mero de elementos es 5.

6 042 x Como en el ejemplo 2.) esta ecuaci n tiene dos ra ces: x = 2 y x = 2, de modo que su conjunto de soluciones tiene dos elementos: { 2, 2}. En los ejemplos 2 y 5 el conjunto de soluciones de la ecuaci n que se analiz en cada uno es el mismo: { 2, 2}. Se dice que dos ECUACIONES son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Al igual que un polinomio, el GRADO de una ecuaci n con una variable, es el mayor exponente al que se encuentra elevada la inc gnita en alguno de los miembros de la ecuaci n. Ejemplos: 1.) El GRADO de la ecuaci n xx239125 es 1, puesto que en los dos miembros de la ecuaci n el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x es 1 2.) La ecuaci n 71295332 yyy es de GRADO 3 porque es la mayor potencia a la que aparece elevada la variable y en el SEGUNDO miembro. 7. 6 3.) Para determinar el GRADO de la ecuaci n 322239136xxx Se analiza la expresi n y al recordar que al elevar un exponente a otra potencia los exponentes se multiplican, entonces, en el PRIMER t rmino la variable 623xx y en los otros t rminos: 42293xx y 33xx.

7 Por lo tanto, el GRADO de la ecuaci n es 6. Las ECUACIONES de GRADO uno, o de PRIMER GRADO , se llaman tambi n ECUACIONES lineales; las ECUACIONES de GRADO dos, o de SEGUNDO GRADO , se llaman tambi n ECUACIONES cuadr ticas. Ejemplos: 1.) Las siguientes expresiones son ejemplos de una ecuaci n de PRIMER GRADO o lineal: a) 1572 x La variable tiene exponente 1 en el nico t rmino en que aparece. b) zz94113 La variable z aparece en los miembros de la ecuaci n, pero en ambos su exponente es 1 y por los productos indicados no puede variar. c) 2112 xx Como en el ejemplo anterior, x tiene exponente 1 en los t rminos en que aparece y no puede modificarse por las operaciones involucradas. d) 354 y ; y 0 Al multiplicar ambos miembros de la ecuaci n por la variable y, se obtiene la ecuaci n equivalente: yy354 que es una ecuaci n de PRIMER GRADO . 7. 7 e) 06362 aa. Aunque a primera vista la ecuaci n parece de SEGUNDO GRADO , el numerador es una diferencia de cuadrados cuya factorizaci n se simplifica con el denominador como: 66666362 aaaaaa por lo que la ecuaci n 06362 aa es equivalente a la ecuaci n 06 a que es de GRADO uno.

8 2.) Las siguientes expresiones corresponden a ECUACIONES de SEGUNDO GRADO o cuadr ticas a) 2131192 xxx El PRIMER miembro tiene a la variable elevada a la segunda potencia y no existe otro t rmino con el que pudiera eliminarse. b) 21273 xxx El producto de los binomios en el PRIMER miembro de la ecuaci n da como resultado un t rmino en 2x, por lo tanto la ecuaci n es de SEGUNDO GRADO o cuadr tica. c) 2422210xxx Cuando se eleva al cuadrado el binomio del PRIMER miembro se tiene 422xx , sin embargo en el SEGUNDO miembro aparece tambi n 4x con el mismo signo, por lo que al transponerse se cancelan y el mayor exponente de x es 2, tanto en el primero como en el SEGUNDO miembro. d) 19 xxx; x 0 7. 8 Al multiplicar los dos miembros de la ecuaci n por la variable x se obtiene la ecuaci n equivalente: 19 xxx que es una ecuaci n cuadr tica por el producto que aparece en el SEGUNDO miembro.

9 Objetivo 3. Recordar s las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones b sicas y las utilizar s para resolver una ecuaci n transform ndola en una ecuaci n equivalente. Uno de los m todos que se emplean para resolver una ecuaci n consiste en derivar de ella una serie de ECUACIONES equivalentes, cada una m s sencilla que la anterior, hasta llegar a una cuya conjunto de soluciones es obvio. Las operaciones que pueden efectuarse en una ecuaci n dada para obtener una equivalente, se derivan de las propiedades de las igualdades para la adici n, la sustracci n, la multiplicaci n y la divisi n, que pueden resumirse como sigue: Si qp es una ecuaci n, con p y q expresiones algebraicas en x, si r es otra expresi n algebraica en x , y k es una constante diferente de cero , entonces a) Si se suma o se resta la misma expresi n r a ambos miembros de la ecuaci n, la ecuaci n que resulta es equivalente a la dada: qp es equivalente a rqrp y tambi n rqrp b) Si ambos miembros de la ecuaci n se multiplican por, o se dividen entre la misma constante no nula, la ecuaci n resultante es equivalente a la dada.

10 Qp es equivalente a kpkq y tambi n pqkk , para 0k En el proceso de soluci n de una ecuaci n se aplican estas propiedades tantas veces como sea necesario, hasta obtener la o las ra ces de la ecuaci n. 7. 9 Debe notarse que, mientras en a) se menciona la expresi n r , que puede ser una constante o un polinomio, en el caso b) k es una constante no nula , y se restringe a ello porque si se multiplica o divide una ecuaci n por una expresi n que contiene una variable, la ecuaci n que resulta puede o no ser equivalente a la original. Cuando no es equivalente puede ocurrir que, o bien se obtenga una ra z extra a (porque no corresponde a la ecuaci n original), o que se pierda una ra z de la ecuaci n original. Un caso de cada una de estas situaciones se analiza en los siguientes ejemplos. Ejemplos: 1.) La ecuaci n 802205 xx se resuelve transform ndola en una ecuaci n equivalente m s sencilla. Para determinar el valor de la inc gnita se debe obtener una sucesi n de ECUACIONES equivalentes a la original cada vez m s sencillas hasta despejar a x.