Esercizi di Fisica Generale - polyhedron.it

1 DuzioneaiVettori93 Spazio,temp o,movimento154 Dinamica275 Energia396 MeccanicadeiFluidi477 Termologia538 Elettrostatica659 Magnetismo7734 INDICEC apitolo + cos2 = 1( )Soluzione:Consideriamountriangolorettan gologenericocomequellodisegnatoin nizionedellefunzionitrigonometrichesappi amochesin =accos =bcD'altrocantoapplicandoilTeoremadiPita goraabbiamochec2=a2+b2 (ac)2+(bc)2= ,siamointeressatiatrovarelalunghezzadiun latodiunqualsiasitriangolo,essendonotele lun-ghezzedeglialtriduelatiel'ampiezzade ll' :AB2=AC2+BC2 2 ACBCcos( )( )Soluzione:Conriferimentoalla ,applicandoilTeoremadiPitagoraaltriangol orettangoloAHBsiha:AB2=AH2+BH2( ) :AH=ACsin( )( )valeinoltreBH=BC HC=BC ACcos( )( )Sostituendonellaprimauguaglianzasiottie neAB2=AC2sin2( ) +BC2+AC2cos2( ) 2 BCACcos( )( )Perlarelazionefondamentalesin2 + cos2 = 1,questaequazionepu esseresempli catain:AB2=AC2+BC2 2 ACBCcos( )( )Nelcasodiuntriangolorettangoloilquartot ermine (2 ) = 2 sin cos Soluzione:Consideriamoilcasopi generaledelsenodellasommadidueangoli e.

2 Conriferimentoalla guraX,sihachesin( + ) =BCAB ilsegmentoBCpu essereespressocomesommadeisegmentiDBeEFp ercuip ossiamoscriveresin( + ) =DBAB+EFAB=DBBEBEAB+EFAEAEAB doveabbiamomoltiplicatoedivisop ,l'angoloDEB p ercostruzioneparia90 p ercuidovendolasommadegliangoliinternidiu ntriangoloessereparia180 ,neconseguecheanchel'angoloDBE pariad ,maallorap erde nizioneDBBE= cos considerandoiltriangolorettangoloAEBvedi amosubitocheBEAB= sin cos Concentriamo ciorasultriangolorettangoloAFE,chiaramen teavremoEFAE= sin p ercuiinde nitivaotteniamosin( + ) =DBBEBEAB+EFAEAEAB= cos sin + sin cos Considerandoilcasoparticolareincui = p ossiamoquindiscriveresin( + ) =sin(2 ) = cos sin + sin cos = 2 sin cos Capitolo 2 Intro (a)90 ,(b)60 .Determinareanchel'angolo formatoconl' :(a)OAR 42+ 32= 25eOR= 'angolo osserviamochetan =AR/OA= 3/4 = = tan 1( ) 37.

3 (b)L'angoloOARinquestocaso paria120 .Percalcolareilmo +AR2 2(OA)(AR) cos 120 = 42+ 32 24( ) = 37( )quindiOR= 'angolo utilizzeremolaleggedeiseni:sin AR=sin 120OR sin 3= sin = ( )dacui = sin 1( ) = 25 . ~aformanteunangolo conl'assedellex,dimostrarechelesuecomp onentip ossonoesserescrittecomeax=acos , ay=asin essendoa= a2x+a2yilmo dulodi~aSoluzione:Conriferimentoalla ,p erde nizionesihasin =RQPR,cos = ,RQ=ay,PR=a= a2x+ onenti:~a= (0, , );~b= ( , , );~c( , , )Trovare~d=~a+~b+~ce~e=~a ~ :Utilizziamolaregoladisommaesottrazionec omp onentep ercomp onente,p ercuiindicandocon~d= (dx,dy,dz), ~c= (cx,cy,cz)p ossiamoscrivere11{dx=ax+bx+cxdy=ay+by+cy dz=az+bz+cz{ex=ax cxey=ay cyez=az czquindi{dx= + + + 3dz= + {ex= ~d= ( , , )~e= ( , , ) ~a= ( , , )e~b= ( , 6, )trovarel'angolo :Dallade nizionedipro dottoscalarefraduevettori~a ~b=abcos doveaebsonoimo dulideiduevettori,p ossiamoricavarecos =~a ~bab =arccos(~a ~bab)D'altrapartevaleanche:~a ~b=axbx+ayby+azbzquindi~a ~b= + 6 + = 12 + 3 6 Calcoliamooraimo dulideiduevettoria=|~a|= a2x+a2y+a2z= 0 + 9 + 16 = 25 = 5b=|~b|= b2x+b2y+b2z= 1 + 6 + 9 = 16 = 4 Otteniamocos.}}}}

4 Cos =12 + 3 64 5 ~a= ( , , )e~b= ( , ,z)conzincognita,trovareza nch ilpro :Utilizziamolade nizionedipro dottoscalareinterminidicomp onenti:~a ~b=axbx+ayby+azbz= 5 3 + 2 4 + 1 zquindi~a ~b= 25 15 + 8 +z= 25 23 +z= 25 z= ~ae~bcon|~a|= 4e|~b|= 7,determinarel'angolocompresofraiduevett oria nch illoropro :Dallade nizionedipro dottoscalare~a ~b=|~a||~b|cos cos =~a ~b|~a||~b|=54 7=528dacui =arccos528 onentilungogliassicartesianidelvettore~a in guraXsap endocheilsuomo dulo paria5echel'angolo formatoconl'assedellex paria :Ricordandolede nizionidellefunzionitrigonometrichesenoe coseno, evidentechesin =ay|~a|,cos =ax|~a|dacuiax=|~a|cos , ay=|~a|sin ax= 5 cos 3=52, ay= 5 sin 3=5 32 Sinotichep oich sin = cos( 2 ),indicandocon~ie~jiversori(vettoriconmo dulounitario)risp ettivamentedegliassixedy,p ossiamoscrivereax=|~a|cos =~a ~i, ay=|~a|sin =|~a|cos( 2 )=~a ~ (2, 1,3)eb= ( 3,0,2).

5 Ilmo dopi semplicep erdeterminareseduevettorisonoortogonali quellodicalcolareilloropro nizionedipro dottoscalare,ricordandochecos( /2) = 0otteniamocheilpro dottoscalarediduevettoriortogonali nizionedipro dottoscalareinterminidicomp onentiabbiamoche~a ~b=axbx+ayby+azbz= 2 3 + ( 1) 0 + 3 2 = 6 + 6 = 3 Spazio,temp o, 'origineconunavelo cit inizialev0= 21ms 1edunaaccelerazionea= 4ms ercorsodallapallinaaltemp ot= :Sitrattadiunmotorettilineouniformemente acceleratoconleseguenticondi-zioniinizia lix0= 0, v0= 21ms 1dallaleggeorariadelmotouniformementeacc eleratox(t) =x0+v0t+12at2troviamoimmediatamentex(t= 18s) = 0m+ 21m/s 18s+124m/s2 324s2= cit dellapallinadell'esercizioprecedenteaite mpit1= 11set2= :Dallarelazionev(t) =v0+attroviamoimmediatamentev(t= 11s) = 21m/s+ 4m/s2 11s= 65m/sv(t= 15s) = 21m/s+ 4m/s2 15s= 81 ,TEMPO, ciogiungealsuo-lodop cit delsassoalmomentodell'impattoel'altezzad ell'edi :Indichiamocongilmo dulodell'accelerazionedigravit ot0= 0sabbiamov0= 0ms 1,convieneassu-mereunsistemadico ordinateconl'origineallabasedell'edi cioelaco ordinataylungol'edi ciostessoinmo dodaaverey(t= 0s) =h(l'altezzaincognitadel-l'edi cio)ey(t= 4s) = 'aria,ilmotodicadutadiunoggetto unmotouniformementeaccelerato,p ercuitenendocontodelsegnodell'accelerazi oneche,inquestocasorisultanegativo,p ossiamoscriverel'equazioneorarianellafor may(t) =y0+v0t 12gt2dove,ribadiamo,ilsegno-derivadalfat tocheg direttaversoleynega-tive(versoilbasso).

6 Utilizzandol'equazioneorariadelmotounifo rmementeaccelerato,p ossiamoscrivere:y(4s) = 0 =h+ 0m/s 4s 16s2dacuih 8m= 0 h= erlavelo cit abbiamo:v(t) =v0 gt v(4m) = 0ms 1 2 4s= 1 Ilsegno-indicachelavelo cit 'autoaccelerada0a100 ilvalorediainunit dig?(g= 2).Soluzione:Convertiamoprimadituttoilva loredellavelo cit nelleunit dimisuradelSistemaInternazionale,metries econdi:100kmh= 100 1000m3600s= 1= 1 Ancheinquestocasositrattadiunmotouniform ementeaccelerato,utilizzandolarelazionec helegavelo cit edaccelerazionev(t) =v0+attroviamov(t= 5s) = 1= 0ms 1+a 5s a= 2= 'autoviaggiaversodinoiconvelo cit costantedi90 0sitrovadanoia750m,dop oquantotemp ocipasser davanti?Soluzione:Utilizziamounsistemadi co ordinateconl'originenelpuntoincuicitrovi amoeconl'assedelleascisseorientatoinsens op ositivoversodestra,quindilap o-sizionedell'autoall'istanteinizialesar pariax(0) = l'autosidirigeversodinoi,lasuavelo cit avr segnop ositivo,conlasceltadico ordi-natee ettuataavremoche,indicandocontxiltemp odaricavare,x(tx) = ossiamoquindiscriverex(t) =x(0) +vt x(tx) = 750m+ 1 txs= 0mdacuiricaviamofacilmentetx=75025s= ,TEMPO, :A) ,B) ,aventevelo cit v0= 300m/s,passaattraversoundisp lavelo cit dellaparticellaall'uscitadeldisp ositivo?

7 Soluzione:Sitrattadiunmotorettilineounif ormementeacceleratoincuilaparticellasu-b isceun'accelerazionep 'originedelsistemadico ordinate sceltaincorrisp ondenzadell'ingressodeldisp cit inizialee naleconl'accelerazioneelospaziop +v0t+12at2iltemp otpu esserep ostonellaformat=v v0asostituendonell'equazioneorariaotteni amoxf=x0+v0vf v0a+12a(vf v0)2a2dacuixf x0= (vf v0)[v0a+12vf v0a]=12a(v2f v20)ein nev2f=v20+ 2a(xf x0)Quindinelnostrocasop ossiamoscriverev2f=v20+ 2a(xf x0) vf= v20+ 2a(xf x0)19considerandoche,nelnostrocaso,abbia mox0= 0, xf=L= , v0= 300ms 1, a= 104ms 2otteniamovf= 9 104m2/s2+ 2 104ms 2 (9 + 7) 104m2/s2= 4 102ms cit p erbiciclettestabilitonel1992fumisuratosu unalunghezzadi200mp ercorsiinuntemp eratodib en19 ofuimpiegatop erp ercorrerelalunghezzadi200m?

8 Soluzione:Calcoliamoprimadituttolavelo cit mediadelprimorecord:vm=Lt= 1= 1= cit delsecondorecordsar + 19 = ,conquestavelo cit ,200mvengonop ercorsiint=s/v= 10 3h= 10 3 103s= cit di18m/sdirettaversol'assexp tardilasuavelo cit di30m/sinversoop-p statalasuaaccelerazionecostantedurantequ estolassoditemp o?Soluzione:Poniamov(t0) = 18ms 1ev(t1) = 30ms (t1) v(t0)t a= 30 2= 20ms 2 Ilsegno-indicachel'accelerazione cit di1020 noall' ,espressainunit dig(g= ),subisceilpilota? ,TEMPO, :A) ) :Lavelo cit iniziale paria1020 = otizzandochel'accelera-zione(negativa)si acostante,p ossiamocalcolaredirettamentea=v(t1) v(t0)t a=0 2= 2ovveroinunit diga= curiosodisap ereseilpilotapu cit dicro ceradi8 ' l'angolorisp ettoallarivaconcuilanavedeveesseregovern atap erraggiunge-reunpuntodirettamenteopp ostoselavelo cit dellacorrente di4km/h?

9 Quantotemp oimpiegher ade ettuarelatraversataseladistanzafraiduepu nti di10km?Soluzione:Conriferimentoalla )abbiamochecos = 4/8 = =arccos( ) = 60 .Ilmo dulodellarisultantepu esserefacilmentetrovatoconilteoremadipit agoraapplicatoaltriangoloOAR,v= 64 16 = ,p ertantolatraversataverr e ettuataint=s/v= 10 = ,malacorrentelatrascinaversoovesta5 duloeladirezionedellavelo cit :Lavelo cit di12km/hversonordvienesommatavettorialme nteallavelo cit di5km/hversoovest,dandocos lavelo cit risultanteRdellanaverisp dulodiR= 52+ 122= 13 taledaformareunangolo lacuitangente tan = 5/12 = ertanto = 23 . 'autosonoingradodirealizzareun'acceleraz ione(negativa)dimo cit di137Km/hesiavvistaunp ostodicontrollodellap oliziastradale,quale iltemp ominimoentroilquale p ossibilep ortarelavelo cit dell'autoallimitedi90Km/h?

10 Quantospaziosip ercorreinquestointervalloditemp o?Soluzione:Indicandocontxiltemp odaricavare,p ossiamoscriverev(t0) = 38ms 1,v(tx) = 25ms 1,ip otizzandoun'accelerazionecostanteabbiamo :v(tx) =v(t0) +atx tx=v(tx) v(t0)a=25 38 ercorsoinquestotemp oricorriamoancoraunavoltaallaleggeoraria delmotouniformementeacceleratox(tx) =x(t0) +v0tx+(1/2)at2x:x(tx) = 0m+ 38ms 1 2 ( )2= 'altitudinehdi1700msopralasup er cieterrestrecadonogo 'aria,achevelo cit arriverebb eroalsuolo?Sarebb eprudenteuscireall'ap ertoduranteuntemp orale?Soluzione:Trascurandolaresistenzad ell'aria,lacadutadellago ccia ordinateconl'assedelleydirettoversol'alt oconoriginesullasup er cieterrestre( )).Intalesistemadiriferimentoavremog= 2(essendorivoltaversoilbasso).Possiamop ertantoscriverev2=v20+ 2a(y y0)dovev lavelo cit alsuolo,v0= 0 lavelo cit inizialedellago ccia,y= 0l'ordinatadelsuolo,a=gein ney0= 2 2 ( 1700m) = 33320m2/s2 v ,TEMPO,MOVIMENTOrip ortandoinkm/hotteniamov= = 657 ep er-tantoprudenteuscireall'ap ettidiintenseaccelerazionisulcorp raggiungereunavelo cit di1600 :(a)l'accele-razione(assuntacostante)inu nit dig;(b)ladistanzap ercosaintaletemp :Assumendochelaslittapartadaferma,l'acce lerazione datasemplicementedaa=vf/t= 1 247ms 2 ercorso otte-nibiledallaformuladellaleggeorarias = (1/2)at2= 247ms 2 ( )2s2= batterd'o cchio ,allavelo cit di3400Km/h,duranteunbattitodicigliadelpi lota?