Esercizi sulla conservazione dell’energia meccanica

1 Esercizi sulla conservazione dell ' energia meccanica 1. Un piccolo blocco di massa m=300 g parte da fermo dalla posizione A, arriva in B con A velocit v=4 m/s, poi scivola lungo la superficie orizzontale per una distanza d=8 m 2m prima di fermarsi. a)Si determini il lavoro della forza di attrito B C. lungo la superficie curva. W= J. 8m b) Si determini il coefficiente di attrito lungo la superficie orizzontale. = conservazione dell ' energia meccanica e lavoro della forze di attrito: 1. E A = mgh E B = mv 2 E B E A = Watt Watt = J. 2. Lavoro delle forze di attrito lungo la superficie orizzontale: 1 2 v2. EB = mv EC = 0 Watt = mgd = = 2 2 gd 3 . 2. Una particella di massa m=2 kg si muove sotto l'influenza della forza F ( x ) = N. Se la sua x . velocit a x= m v= m/s, quale la sua velocit a x= m? v= m/s Teorema dell ' energia cinetica (delle forze vive). 1 1. W = E K E K = mv 2 mv02. 2 2.

2 Calcolo del lavoro della forza: 7 . 1 1 1 . x . W = F ( x )dx = 3x 2 dx = 6 7 2 2 2 = J. x0 2 .. 2W. v 2 = v02 + = m 2 s 2 v = m s m 3. Un punto materiale di massa m=10 kg viene rilasciato dal punto pi alto di un piano inclinato di 30 rispetto all'orizzontale. Giunto in fondo collide con una molla ideale comprimendola al massimo di m. La costante 2m elastica della molla K=500 N/m, l'altezza del piano 30 inclinato h=2 m e la superficie orizzontale priva di attrito. Si calcolino: la velocit dell 'oggetto al fondo del piano inclinato, il lavoro delle forze di attrito lungo il piano inclinato. La molla respinge indietro il punto materiale, qual la velocit del punto quando raggiunge la base del piano inclinato? v= m/s Qual l'altezza massima che raggiunge? h max= m conservazione dell ' energia meccanica sul piano orizzontale: 1 2 1 2 Kx 2. mv = Kx v= = 5 .3 m s 2 2 m Essendo la superficie orizzontale priva di attrito, la velocit con la quale il punto torner alla base del piano inclinato la stessa.

3 Lavoro delle forze di attrito sul piano inclinato 1 2. Kx mgh = Watt Watt = J. 2. Teorema dell ' energia cinetica nella fase di risalita: h 1 h Watt ,1 = Fatt x = Fatt 1 E K = W 0 mv 2 = mgh1 Fatt 1 h1 = sen 2 sen . 4. Una piccola sfera di massa m attaccata ad un filo in estensibile di lunghezza a= m. La massa viene lasciata libera dalla posizione orizzontale col filo teso. Un piccolo perno si trova ad una distanza h sotto il punto in cui appesa la massa. Si dica quale il minimo valore di h per il quale la massa riesce ad avvolgersi completamente attorno al perno. h= m sulla sfera l'unica forza esterna che pu compiere lavoro la forza peso (la reazione vincolare in h non compie lavoro), il sistema quindi sottoposto alla sola azione di forze conservative, si conserva l' energia meccanica . Detto A il punto di partenza, B il punto di minima quota sulla verticale e C il punto di massima quota rispetto ad h si ha: E A = mga E B = mv B2 E C = 2mg (a h ) + mvC2.

4 1 1. 2 2. In C le forze che agiscono sono la forza peso e la tensione del filo, dirette come la verticale ed equiverse. Perch la massa m riesca a compiere un giro la velocit deve essere almeno tale da annullare la tensione del filo, quindi: mvC2. mg + T = T 0 vC2 g (a h ). a h ponendo come condizione limite quella di uguaglianza si ha: 1 3. mga = 2mg (a h) + mg (a h) h = a = 2 5. un piano orizzontale scabro posto un corpo di massa M=1 kg. Il coefficiente di attrito statico tra piano e corpo sia s= Il corpo connesso tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile ad un punto materiale di massa m=M/2 (vedi figura). Inizialmente la parte di filo verticale ha lunghezza L= m ed il sistema si trova in equilibrio stabile. a) si determini il valore della forza di attrito statico tra corpo e piano. F att = N. In un secondo tempo si sposta la massa m dalla posizione di equilibrio di un angolo =35 e la si lascia libera di oscillare in un piano verticale.

5 B) Si determini la velocit della massa m quando passa per la verticale v= m/s c) Si determini la tensione massima del filo T max= N. d) Si dica se il corpo M si trova ancora in equilibrio statico giustificando la risposta. M. Problema 5. L. m Fatt ,max = s mg = N. 0 = T F Fatt = mg = N < Fatt ,max att 0 = mg T. conservazione dell ' energia meccanica : mgL(1 cos 0 ) = mv 2 v = 2 gL(1 cos 0 ) = m 1. 2 s Scegliendo per descrivere il moto un sistema ortogonale con un asse tangente alla traiettoria e l'altro orientato come la tensione l'equazione del moto lungo la normale diventa: v2. ma N = m = T mg cos . L. La tensione massima per =0 e v=vmax, quindi sulla verticale, da cui: v2 mv 2. m = Tmax mg Tmax = + mg = N. L L. Essendo la tensione del filo ancora minore della forza di attrito statico massimo, il corpo di massa M si trover ancora in equilibrio statico. 6. Un punto materiale di massa M= kg in quiete all'interno di una calotta cilindrica liscia di raggio R= m.

6 All'istante iniziale il punto materiale fermo ad una quota R rispetto al fondo della calotta. In un istante successivo esso inizia a scivolare e, raggiunta la fine della calotta (vedi figura). prosegue il suo moto. R. /6. Si determinino a) Il modulo della velocit che possiede il punto materiale quando abbandona la calotta v= m/s b) A quale distanza da questo punto toccher terra, x= m c) Il lavoro fatto dalle forze che agiscono sul punto materiale - dalla posizione iniziale a quella in cui lascia la calotta - in tutto il moto W1= J W2= J. conservazione dell ' energia meccanica , ponendo lo zero dell ' energia potenziale al minimo della calotta: 1 .. E = cost . E in = mgR E fin = mv 2 + mgR 1 cos . 2 6 . 1 2 . mgR = mv + mgR 1 cos v = 2 gR cos = / s 2 6 6. Ora il punto materiale abbandona la calotta e inizia un moto parabolico con velocit iniziale v e angolo di alzo /6. Le equazioni parametriche del moto sono.

7 V x = v cos 6 x = v cos t 6. 1. v y = v sin gt y = h0 + v sin t gt 2. 6 6 2. La distanza dal punto iniziale si ottiene ponendo y=0 e tenendo conto che l'altezza iniziale h0=R(1- cos /6)= 10-2 m t = s d = Teorema dell ' energia cinetica e lavoro della forza peso: 1 2. W = E k W1 = mv = J W2 = E P = mgR = J. 2. 7. Un punto materiale M di massa kg pu scendere senza attrito lungo la guida rappresentata in figura, costituita da un piano inclinato raccordato a due semicirconferenze di raggio R= m. Inizialmente il punto fermo all'altezza H= m rispetto al suolo. Ad un certo istante inizia il moto. 1) Determinare la reazione vincolare nella posizione A; N= N. 2) Si verifichi che il punto materiale M si stacca dalla guida nella posizione B di raccordo tra le . due semicirconferenze ( =45 );. 3) Determinare l'altezza di M quando passa per la verticale del punto C durante il moto parabolico; h1= m La guida liscia, si conserva l' energia meccanica del punto materiale, per cui il punto avr in A la velocit : 1.

8 MgH = mv A2 v A = 2 gH = m / s 2. In A le forze che agiscono sul punto materiale sono tutte verticali: la forza peso diretta verso il basso e la reazione vincolare diretta verso il centro della traiettoria. La loro risultante deve dare la componente centripeta necessaria allo svolgimento del moto circolare: Mv A2 Mv A2. Mg + N = N= + Mg = N. R R. Quando il punto in B possiede una velocit vB che si pu calcolare, ancora, dalla conservazione dell ' energia meccanica . MgH = Mv B2 + R(1 cos 45 ). 1. 2. ( ( )). v B = 2 g H R 1 2 / 2 = m / s In B cambia la curvatura della guida, per cui l'equazione delle forze che agiscono sul punto si scrive: mv 2. N mg cos 45 = . R. La condizione per cui il punto si stacca dalla guida data da N 0 che immediatamente verificata. Il punto, allora, lascia la guida e prosegue in un moto parabolico in cui la componente orizzontale della sua velocit non varia, mentre quella verticale sottoposta all'azione dell 'accelerazione di gravit.

9 V x = v B cos 45 .. v y = v B sin 45 gt Prendendo come origine del sistema di riferimento il punto che sta al suolo sulla verticale di B si ha: x = vxt xC = R sin 45 = v B cos 45 t . y = y + v t 1 gt 2 t = R tg 45 = s B y 2 C v B. L'altezza sulla verticale allora data da: 2 1. hC = R 1 + v B sin 45 t C gt 2 = m . 2 2. Il punto materiale passa sulla verticale al di sopra della guida. 8. Un punto materiale di massa m ruota su un piano orizzontale scabro attorno ad un punto O cui . connesso tramite una sbarretta ideale di lunghezza l= coefficiente di attrito dinamico tra punto e piano k= All'istante t = 0 il modulo della velocit del punto v0= 4 m/s. Sapendo che all'istante t1= s la tensione della sbarretta T(t1) = 5 N: determinare la massa del punto materiale. m= kg che velocit avr il punto dopo aver percorso un giro ? v= m/s Quanti giri percorre il punto materiale prima di fermarsi ?

10 N= giri Moto circolare decelerato: dv maT = m = N = mg dt Tl 2 m = 2 = ( 6 )kg v v ma N = m =T. l Teorema delle forze vive: v = v0 gt = m / s 1 2 1 2 v 2 = vo2 4 gl v = m / s mv mvo = gm2 l 2 2. Ancora teorema dell ' energia cinetica: 1 2 v02. 0 mv0 = m gl = = rad n = giri 2 2 gl 9. Un proiettile di massa m = 50 g viene lanciato da un punto P posto sull'asse y alla quota h = 45 m rispetto all'asse x, con velocit iniziale v = m/s in direzione orizzontale. Dopo s di volo il proiettile colpisce un corpo di massa M = 200 g in caduta verticale dopo essere partito da fermo da una quota h1 = 65 m rispetto all'asse x e vi si conficca. Calcolare 1) la posizione in cui avviene la collisione; x= m, y= m 2) l' energia cinetica persa nell'urto; E= J. 3) la posizione in cui i due corpi uniti arrivano al suolo. x= m Equazioni del moto parabolico per il proiettile: x = vo t x( ) = m v x = v0 . y = h 1 gt 2 y ( ) = m v y = gt 2 v( ) = ( ) + ( ) m / s 2 2.