Espacios Normados (Normas en Rn

1 Espacios Normados (Normas enRn)Uno de los conceptos m as importantes del c alculo y del analisis matem atico es el de m etrica noci on de metrico depende a su vez del concepto de norma de un de un vector: Si r= ( x, y) R2es la longuitud del segmento de recta que une los puntos 0 = (0,0) y P= (x, y), sabemos por el Teorema de Pitagoras que esta longuitud esta dada por x2+ n umero no negativo lo denominamos la norma de un vector v= OP. En el espaciotridimensional tambien tenemos x2+y2+z2como la norma de un vector con respecto x= (x1, .. , xn) Rn, definimos la norma euclidiana de xcomo el real nonegativo x2+.

2 +z2que denotaremos por cualquiera de los simbolos x oN(x) esdecir, x =N(x) = x2+..+z2 Tenemos asi una funci on :Rn Rque designamos la norma euclidiana, la cual asignaa cada vector x Rnun real x .Desigualdad de Cauchy-ShwarzSean x= (x1, .. , xn) y= (y1, .. , yn) elementos deRnentonces|x1y1+..+xnyn| x21+..+y2n y21+..+y2nPrimero probaremos la desigualdad|x1||y1|+..+|xn||yn| x21+..+y2n y21+..+y2nlo cual implica la desigualdad deseada ya que|x1y1+..+xnyn| |x1||y1|+..+|xn||yn|1 Soluci on:Si alguno de los vectores x o yes 0 entonces la desigualdad se cumplo trivialmente,pues en este caso ambos miembros son 0. Si x, y6= 0 hagamos = x21+.

3 +y2n = y21+..+y2nusando y , la desigualdad a probar se escribe|x1||y1|+..+|xn||yn| y como , >0 esta desigualdad es equivalente a x1 y1 +..+ xn yn 1 Dado que para cualquiera realesaybse cumple|ab| a2+b22tenemos entonces que x1 y1 +..+ xn yn x21 2+y21 22+..+x2n 2+y2n 22=x21+..+x2n 22+y21+..+y2n 22=12+12= 1 Pasemos ahora a las propiedades de la norma cualquiera vestores x, y Rn Rse cumple:i) x 0 0 = 0ii) x =| | x iii) x+ y x + y iv) x = 0 x= 0 Demostraci on:i) x = x21+..+x2n 0 pues es la ra z positiva x 02ii) x x = ( x1)2+..+ ( xn)2= 2x21+.

4 + 2x2n= 2(x21+..+x2n)= 2 x21+..+x2n=| | x iii) x+ y 2 x+ y 2= (x1+y1)2+..+ (xn+yn)2=x21+ 2x1y1+y21+..+x2n+ 2xnyn+y2n=x21+..+x2n+ 2(x1y1+..+xnyn) +y21+..+y2n= x 2+ 2(x1y1+..+xnyn) + y 2 Aplicando la desigualdad de Cauchy-Shwarzx1y1+..+xnyn x y se tiene que x 2+ 2(x1y1+..+xnyn) + y 2 x 2+ 2 x y + y 2= [ x + y ]2 x+ y 2 [ x + y ]2y al sacar raiz obtenemos x+ y x + y iv) Si y = 0 se tiene entonces x21+..+x2n= 0 es decirx21+..+x2n= 0 perox i2 0 x2i= 0 i= 1, .. , n x= 0El concepto general de Norma enRn. Las propiedades de la norma euclidiana nos ayudan paradefinir la nocion abstracta de on:Una norma enRnes cualquier funci on :Rn Rque satisface las siguientespropiedades que denominaremos Axiomas de Norma para cualesquiera x, y Rny toda Rse cumple3i) x 0 0 = 0ii) x =| | x iii) x+ y x + y iv) x = 0 x= 0 Proposici on:Para toda norma :Rn Rse cumple:i) x = x x Rnii)| x y | x y x, y RnDemostraci on.

5 I) x =| 1| x = x ii) 0 x = x y+ y x y + y x y x y Intercambiando xpor yobtenemos y x y x = x y | y x | x y OtrasnormasenRnDefinimos 1:Rn Rpor 1=|x1|+..+|xn| x Rn. Por demostrar 1es unanorma enRni) Dado que x R|x| 0, se tiene 1=|x1|+..+|xn| 0 x Rnii) Si Ry x= (x1, .. , xn) Rn, entonces x =| x1|+..+| xn|=| ||x1|+..+| ||xn|=| |(|x1|+..+|xn|)=| | x x Rn4iii) Si x= (x1, .. , xn) y y= (y1, .. , yn) son elementos deRn x+ y =|x1+y1|+..+|xn+yn| ||x1|+|y1|+..+|xn|+|yn|=|x1|+..+|xn|+..+ |y1|+..+|yn|= x 1+ y 1Si x 1= 0 |x1|+..+|xn|= 0 y como cada|xi| 0i= 1.

6 , nentonces|x1|+..+|xn|= 0 |xi|= 0i= 1, .. , n x= 0 Consideremos ahora la funci on :Rn Rdada por = m ax{|x1|+..+|xn|} x RnProposici funci on :Rn Res una norma enRn, que se denomina norma delm aximo o norma c on:1. Puesto que|xi| 0i= 1, .. , nentoncesm ax{|x1|+..+|xn|} 0es decir x 02. Sea Ry x Rn. Se tiene entonces que x = m ax{| x1|, .. ,| xn|}= m ax{| ||x1|, .. ,| ||xn|}Supongamos ahora que|xi |= m ax{|x1|, .. ,|xn|}5 |xi | |xi| i= 1, .. , n | ||xi | | ||xi| i= 1, .. , n | xi | | xi| i= 1, .. , npor lo que| ||xi |=| xi|= m ax{| x1|, .. ,| xn|}= m ax{| ||x1|, .. ,| ||xn|}es decir| |m ax{|x1|, .. ,|xn|}= m ax{| x1|.}

7 ,| xn|}= m ax{| ||x1|, .. ,| ||xn|} | | x = x 3. x+ y = m ax{|x1+y1|, .. ,|xn+yn|}Sea|x1 +y1 | m ax{|x1+y1|, .. ,|xn+yn|}como|x1 +y1 | |x1 |+|y1 |se tiene quem ax{|x1+y1|, .. ,|xn+yn|} |x1 |+|y1 |pero por definici on dem ax{|x1|+..+|xn|}m ax{|y1|+..+|yn|}tambi en se tiene que|x1 | m ax{|x1|+..+|xn|}|y1 | m ax{|y1|+..+|yn|}luegom ax{|x1+y1|, .. ,|xn+yn|} m ax{|x1|+..+|xn|}+ m ax{|y1|+..+|yn|}o sea x+ y x + y 64. x m ax{|x1|+..+|xn|}sea|x1 |= m ax{|x1|+..+|xn|}entonces|x1 |= 0 |x1 |= 0 SeaI= [0,1]. Demsotrar que f = sup{|f(x)|}. Es una norma deC[0,1].Soluci on:Recordar que toda funci on real continua definida en un intervalo cerrado es acotada,por tanto f est a bien definida.

8 Puesto que|f(x)| 0 x Ientonces f 0 yademas f = 0 sii|f(x)|= 0 x I, siif= 0 Recordemos un resultadoSeanaybn umeros reales tales quea b+ . Demostar quea bSupongase quea > bentoncesa=b+ , >0tomamos 2= entoncesa > b+ > b+ 2=b+ 5 a bahora sea >0. Entonces existex0 Ital que f+g = sup{|f(x) +g(x)|} |f(x0) +g(x0)|+ |f(x0)|+|g(x0)|+ sup{|f(x)|}+ sup{|g(x)|}+ = f + g + 7 f+g f + g Seak Rentonces kf = sup{|kf(x)|}= sup{|k||f(x)|}=|k|sup{|f(x)|}=|k| f(x) Demostrar que f = 10|f(x)|dxes una norma deC[0,1] (funciones continuas en el intervalo[0,1])1. f = 10|f(x)|dx 0 puesto que|f(x)| 0 10|f(x)|dx 02. Tenemos que kf = 10|kf(x)|dx= 10|k||f(x)|dx=|k| 10|f(x)|dx=|k| f 3.

9 Tenemos que f+g = 10|f(x) +g(x)|dx 10[|f(x)|+|g(x)|]dx= 10|f(x)|dx+ 10|g(x)|dx= f + g 8