ESPRESSIONI ARITMETICHE CON POTENZE

1 ESPRESSIONI ARITMETICHE CON POTENZE Per risolvere le ESPRESSIONI ARITMETICHE nelle quali compaiono delle POTENZE si applicano le seguenti regole. L'espressione aritmetica pu essere di due tipi diversi: 1 TIPO - L'ESPRESSIONE NON CONTIENE PARENTESI; 2 TIPO - L'ESPRESSIONE CONTIENE PARENTESI. 1 TIPO - L'ESPRESSIONE NONCONTIENE PARENTESI: Esempio: 24- 5 x 3. In questo caso bisogna risolvere l'espressione come segue: 1. PRIMA SI RISOLVONO LE POTENZE ; Quindi, nel nostro esempio, iniziamo con l'elevare 2 alla quarta ed abbiamo 16 - 5 x 3 2. POI SI ESEGUONO MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI NELL'ORDINE IN CUI SI TROVANO; Nella nostra espressione c' una moltiplicazione da eseguire 5x3, mentre non ci sono divisioni. 16 15 = 1 3. INFINE SI ESEGUONO LE ADDIZIONI E LE SOTTRAZIONI NELL'ORDINE IN CUI SI TROVANO; Da ultimo eseguiamo la sottrazione 2 TIPO - L'ESPRESSIONE CONTIENE PARENTESI: Esempio: {[(22 + 15) - (7 x 2)] - 3}. In questo caso bisogna risolvere l'espressione come segue: 1.

2 PRIMA SI ESEGUONO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI TONDE ( ), POI QUELLE NELLEPARENTESI QUADRE [ ] ED INFINE QUELLE NELLE PARENTESI GRAFFE { } secondo il seguente ordine: a. PRIMA LE POTENZE ; b. POI LE MOLTIPLICAZIONI E LE DIVISIONI; c. INFINE SOMME E SOTTRAZIONI. Inoltre ricordiamo che una volta eseguite tutte le operazioni all'interno di una parentesi essa va eliminata. Tornando al nostro esempio {[(22 + 15) - (7 x 2)] - 3}. Dobbiamo prima risolvere le parentesi tonde Iniziamo dalla prima parentesi tonda. Per prima cosa dobbiamo risolvere la potenza. Quindi avremo: {[(4 + 15) - (7 x 2)] - 3}. Sempre nella prima parentesi tonda non abbiamo moltiplicazioni o divisioni quindi passiamo ad eseguire l'addizione. {[(19) - (7 x 2)] - 3} Poich abbiamo eseguito tutte le operazioni all'interno della parentesi essa va eliminata. Allora avremo: {[19 - (7 x 2)] - 3}. Passiamo ad eseguire le operazioni comprese nella seconda parentesi tonda. Non ci sono n POTENZE , n divisioni, mentre c' da eseguire una moltiplicazione.

3 {[19 - (14)] - 3}. Poich abbiamo eseguito tutte le operazioni all'interno della parentesi tonda essa va eliminata. Quindi avremo: {[19 - 14] - 3}. Ora dobbiamo eseguire l'operazione nella parentesi quadra. Non ci sono POTENZE . Non ci sono moltiplicazioni, n divisioni, quindi ci limitiamo ad eseguire la sottrazione. {[5] - 3}. Togliamo la parentesi quadra: {5 - 3}. Eseguiamo la sottrazione indicata. {2}. Ora non ci resta che togliere anche la parentesi graffa. 2. Esempi concreti Un commerciante ha acquistato 6 scatole di uova. Ogni scatola contiene, a sua volta, 6 confezioni di uova e ogni confezione contiene 6 uova. Per calcolare quante uova ha acquistato il commerciante, osserviamo che in ogni scatola ci sono 6 confezioni che contengono ciascuna 6 uova. Quindi, in ogni scatola, abbiamo 6 x 6 uova. Poich le scatole sono 6 avremo complessivamente: 6 x 6 x 6 uova. Un prodotto come questo, formato da fattori tutti uguali tra loro, prende il nome di POTENZA.

4 Quindi, si dice POTENZA di un numero, il PRODOTTO DI PIU' FATTORI UGUALI A QUEL NUMERO. Ognuno dei FATTORI UGUALI da MOLTIPLICARE prende il nome di BASE della potenza. Mentre il NUMERO DEI FATTORI si chiama ESPONENTE della potenza. Nel nostro esempio, il fattore uguale che dobbiamo moltiplicare 6 che rappresenta la BASE della potenza. Invece, il numero dei fattori 3 che l'ESPONENTE della potenza. Il prodotto appena visto 6 x 6 x 6 pu essere scritto in maniera diversa, ovvero: 63 che si legge "sei alla terza". Dove 6 la BASE della nostra potenza, cio esprime il fattore che deve essere moltiplicato per se stesso, mentre 3 l'ESPONENTE della potenza, cio esprime il numero di tali fattori. Il risultato di tale prodotto prende il nome di POTENZA. Vediamo, di seguito, alcuni esempi di POTENZE : Potenza Come si legge Base Esponente Calcolo della potenza 32 tre alla seconda oppure tre al quadrato 3 2 3 x 3 = 9 53 cinque alla terza oppure cinque al cubo 5 3 5 x 5 x 5 =125 24 due alla quarta 2 4 2 x 2 x 2 x 2 = 16 45 quattro alla quinta 4 5 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 256 26 due alla sesta 2 6 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 Come possiamo notare le POTENZE con esponente due e quelle con esponente tre possono essere lette in due modi diversi, mentre tutte le altre POTENZE possono essere lette in un solo modo.

5 Soffermiamoci ora sulle POTENZE aventi come esponente due. In questi casi si parla anche di QUADRATO DI UN NUMERO. Esempio: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, Se eseguiamo queste POTENZE avremo: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, I valori che abbiamo trovato si dicono QUADRATI PERFETTI. Quindi, possiamo affermare che un numero si dice QUADRATO PERFETTO se il QUADRATO DI UN ALTRO NUMERO. Vediamo, di seguito, alcuni casi particolari dell'ELEVAZIONE A POTENZA. Iniziamo ad esaminare cosa accade se ELEVIAMO UN NUMERO A ZERO. Esempio: 50. Come sappiamo la BASE, nel nostro caso5, ci indica ognuno dei FATTORI UGUALI da MOLTIPLICARE. L'ESPONENTE, in questo caso 0, ci dice il NUMERO DEI FATTORI. Essendo per definizione, la POTENZA il PRODOTTO DI PIU' FATTORI non ha senso considerare una POTENZA CON ESPONENTE ZERO, dato che i fattori di un prodotto devono essere almeno due. Tuttavia, PER CONVENZIONE, si pone che la POTENZA CON ESPONENTE ZERO di qualunque numero diverso da zero, UNO.

6 Quindi: 10 = 1 20 = 1 30 = 1 40 = 1 50 = 1 .. ATTENZIONE!!!! Abbiamo detto che per convenzione, qualunque numero DIVERSO DA ZERO, elevato a zero d come risultato 1. Ma cosa accade se ELEVO ZERO ALLA ZERO? A questa potenza non attribuiamo alcun valore, quindi possiamo dire che essa IMPOSSIBILE. 00 = IMPOSSIBILE Mentre, lo ZERO, ELEVATO AD UN NUMERO DIVERSO DA ZERO uguale a ZERO. Infatti: 02 = 0 x 0 = 0 03 = 0 x 0 x 0 = 0 04 = 0 x 0 x 0 x 0 = 0 Invece, la POTENZA CON ESPONENTE 1, di qualunque numero, sempre UGUALE AL NUMERO STESSO. Quindi: 11 = 1 21 = 2 31 = 3 41 = 4 51 = 5 .. Allo stesso modo TUTTE LE POTENZE AVENTI PER BASE UNO, sono uguali a UNO. Infatti: 12 = 1 x 1 = 1 13 = 1 x 1 x 1 = 1 14 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1. Un altro caso particolare rappresentato dalle POTENZE AVENTI BASE DIECI. Esempio: 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = Come si pu notare una POTENZA DI 10 un NUMERO FORMATO DALLA CIFRA 1, SEGUITA da TANTI ZERI QUANTE SONO LE UNITA' DELL'ESPONENTE.

7 Quindi: 102 1 seguito da 2 zeri 100 103 1 seguito da 3 zeri 104 1 seguito da 4 zeri 105 1 seguito da 5 zeri 106 1 seguito da 6 zeri .. 1 seguito da 7 zeri PROPRIET DELLE POTENZE Vediamo, di seguito, quali sono le PROPRIET DELLE POTENZE . Il prodotto di due o pi POTENZE aventi la stessa base una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti. Quindi: am x an = a m+n Esempio: (3)2 x (3)3 = (9) x (27) = 243. Come possiamo notare la base dei due fattori del prodotto la stessa (3). Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo: Come possiamo osservare il risultato uguale. Il quoziente di due o pi POTENZE aventi la stessa base una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti. Quindi: am : an = a m-n ponendo come condizione che m sia maggiore di n (si scrive m > n). Esempio: (2)4 : (2)3 = 16 : 8 = 2. Come possiamo notare la base del dividendo e del divisore la stessa (pari a 2).

8 Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo: Come possiamo osservare il risultato uguale. La potenza di una potenza una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Quindi: (am)n = a mn Esempio: (42)3 = (16)3 = Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo: Anche in questo caso il risultato lo stesso. Il prodotto tra due o pi POTENZE aventi gli stessi esponenti uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. Quindi: am x bm = (a b)m . Esempio: (2)2 x (3)2 = (4) x (9) = 36. Come possiamo notare: Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo: Anche in questo caso il risultato lo stesso. Il quoziente tra due POTENZE aventi gli stessi esponenti uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lostesso esponente. Quindi: am : bm = (a : b)m.

9 Esempio: (8)2 : (2)2 = (64) : (4) = 16. Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo: Il risultato, come si pu notare, lo stesso. ESERCIZI Esercizio 1 Indicare qual la base e quale l'esponente delle seguenti POTENZE . Quindi calcolare il loro valore: 32; 45; 27; 104; 73; 92; 55. Svolgimento Per svolgere l'esercizio dobbiamo ricordare che: ognuno dei fattori uguali da moltiplicare prende il nome di base della potenza; il numero dei fattori si chiama esponente; per calcolare una potenza occorre moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto l'esponente. Esercizio 2 Indicare qual la base e quale l'esponente delle seguenti POTENZE . Quindi calcolare il loro valore: 25; 34; 103; 52; 63; 182; 43. Svolgimento Per svolgere l'esercizio dobbiamo ricordare che: ognuno dei fattori uguali da moltiplicare prende il nome di base della potenza; il numero dei fattori si chiama esponente; per calcolare una potenza occorre moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto l'esponente.

10 Esercizio 4 Calcolare il valore delle seguenti POTENZE : 71; 40; 11; 105; 201; 10; 00; 103 . Svolgimento Per svolgere l'esercizio dobbiamo ricordare che: per convenzione, si pone che la potenza con esponente zero di qualunque numero diverso da zero, uno; impossibile elevare lo zero a zero; la potenza con esponente 1, di qualunque numero, sempre uguale al numero stesso; una potenza di 10 un numero formato dalla cifra 1, seguita da tanti zeri quante sono le unit dell'esponente. Esercizio 5 Calcolare il valore delle seguenti ESPRESSIONI applicando le propriet delle POTENZE lasciando i risultati sotto forma di potenza: 42 x 43 ; 256 : 254; (24)3; 16 : 16 ; 32 x 42 Svolgimento Per poter svolgere l'esercizio occorre ricordare ed applicare le propriet delle POTENZE . Esercizio 6 Calcolare il valore delle seguenti ESPRESSIONI applicando le propriet delle POTENZE lasciando i risultati sotto forma di potenza: 32 x 34 x 37 ; [(24)4]6; (83 x 85) : 82; (24 x 54) : 53; [(4)3]8 : 45 : 48.