Estadística descriptiva: problemas resueltos

1 Estad stica descriptiva: problemas resueltosBENITOJ. GONZ LEZRODR JIM ISABELMARRERORODR de An lisis Matem ticoUniversidad de La Laguna ndice5. problemas Variables no agrupadas .. Variables agrupadas ..6 MATEM TICAAPLICADA YESTAD STICAOCW-ULL 2013 ESTAD STICA descriptiva: problemas RESUELTOS1/125. problemas Variables no agrupadasEjercicio una cl nica infantil se ha ido anotando, durante un mes, el n mero de metros que cadani o anda, seguido y sin caerse, el primer d a que comienza a caminar, obteni ndose la tabla de informaci nadjunta:n mero de metros12345678n mero de ni os2610510322Se pide:a)Tabla de frecuencias.

2 Diagrama de barras para frecuencias absolutas, relativas y )Mediana, media aritm tica, moda y )Varianza y desviaci n t ) Entre qu dos valores se encuentra, como m nimo, el75 %de las observaciones?RESOLUCI N. La variable considerada en el estudio es cuantitativa ) Al tratarse de una variable discreta podemos confeccionar directamente la tabla de frecuencias ( ).xiniNififi( %)FiFi( %) de frecuencias para la variable del Ejercicio diagramas de barras de frecuencias se representan en las Figuras , , y TICAAPLICADA YESTAD STICAOCW-ULL 20132/12B. GONZ LEZ, D. HERN NDEZ, M. JIM NEZ, I. MARRERO, A.

3 SANABRIA02468101212345678 Frecuencias absolutas N mero de metros Ejercicio Figura de barras de frecuencias absolutas para la variable del Ejercicio 00,050,10,150,20,250,312345678 Frecuencias relativas N mero de metros Ejercicio 00,10,20,30,40,50,60,70,80,911,101234567 89F. relativas acumuladas N mero de metros Ejercicio Figura de barras de frecuencias relativas para la variable del Ejercicio absolutas acumuladas N mero de metros Ejercicio Figura de barras acumulativo de frecuencias absolutas para la variable del Ejercicio ,10,20,30,40,50,60,70,80,911,10123456789 F. relativas acumuladas N mero de metros Ejercicio Figura de barras acumulativo de frecuencias relativas para la variable del Ejercicio 2013 MATEM TICAAPLICADA YESTAD STICAESTAD STICA descriptiva: problemas RESUELTOS3/12b) Nos ocupamos en primer lugar de las medidas de centralizaci n.

4 La mediaxviene dada por:x=140(1 2+2 6+3 10+4 5+5 10+6 3+7 2+8 2) = ' la tabla de frecuencias (Cuadro ) observamos que la variable es bimodal, con modasMo1=3yMo2=5,pues estos dos valores de la variable son los que presentan una mayor frecuencia absoluta, a saber, mediana divide la distribuci n en dos partes iguales. Como en el Cuadro no existe ning n valor dela variable que acumule el 50 % de los datos, la mediana ser el primero que supere este porcentaje:Me= manera an loga se procede para calcular el primer, segundo y tercer cuartiles. Estos son los valoresde la variable que acumulan, respectivamente, el 25 %, 50 % y 75 % de las observaciones.

5 Al no compareceren la columna de frecuencias relativas acumuladas del Cuadro exactamente estos porcentajes tomamos losinmediatamente superiores, de modo queP1/4=3,P2/4=Me=4,P3/4= ) Ahora determinaremos las medidas de dispersi n. Utilizando la relaci n 2=1Nk i=1(xi x)2 ni=1Nk i=1(x2i ni) x2,se tiene que la varianza viene dada por: 2=140(1 2+4 6+9 10+16 5+25 10+36 3+49 2+64 2) ' TICAAPLICADA YESTAD STICAOCW-ULL 20134/12B. GONZ LEZ, D. HERN NDEZ, M. JIM NEZ, I. MARRERO, A. SANABRIAC onsecuentemente, la desviaci n t pica es = ' ) El Teorema de Chebyshev garantiza que, como m nimo, el(1 1k2) 100 % de los datos se concentranen el intervalo(x k ,x+k )y, por tanto, fuera de dicho intervalo se encuentra, a lo sumo, el1k2 100 % a este teorema, imponemos que75=(1 1k2) 100,de donde100 75=1k2 100yk2=10025= lo tanto,k=2.

6 Podemos as garantizar que, al menos, el 75 % de los datos se encuentran entre los valoresx k = 2 +k = +2 Ejercicio cifras dadas en la tabla adjunta corresponden a miligramos de hidroxiprolina absorbidospor1miligramo de masa intestinal, analizados en distintos pacientes:hidroxiprolina (mg) mero de pacientes31015138520Se pide:a)Confeccionar la tabla de )Calcular la media, mediana, moda y 2013 MATEM TICAAPLICADA YESTAD STICAESTAD STICA descriptiva: problemas RESUELTOS5/12c)Calcular la desviaci n t pica de la ) Qu porcentaje de observaciones se concentra en el intervalo(x 5 ,x+5 )?RESOLUCI N. La variable considerada en el estudio es cuantitativa ) Al tratarse de una variable discreta podemos confeccionar directamente la tabla de frecuencias ( ).

7 XiniNifi(%)Fi(%) de frecuencias para la variable del Ejercicio ) La media aritm tica viene dada por:x=156(8 +10 +2 +5 +13 +3 +0 +15 )= ' moda esMo= ,ya que a este valor de la variable le corresponde la mayor frecuencia absoluta, a saber, mediana viene dada porMe= ,pues en el Cuadro ninguna puntuaci n de la variable acumula exactamente el 50 % de los datos, la primera con una frecuencia relativa acumulada superior al 50 %.MATEM TICAAPLICADA YESTAD STICAOCW-ULL 20136/12B. GONZ LEZ, D. HERN NDEZ, M. JIM NEZ, I. MARRERO, A. SANABRIAN tese que la mediana coincide con el segundo cuartil:P1/2=Me= primer cuartilP1/4viene dado porP1/4= ,mientras que el tercer cuartil esP3/4= efecto, en la columna de frecuencias relativas acumuladas del Cuadro vemos que estos valores de lavariable son los primeros que superan, respectivamente, al 25 % y al 75 % de las ) La varianza de la muestra viene dada por 2=156(8 612+10 +2 652+5 +13 ++3 +0 802+15 ) ' , la desviaci n t pica es = ' ) De acuerdo con el Teorema de Chebyshev, en el intervalo(x 5 ,x+5 )podemos encontrar un m nimodel(1 152) 100 %=25 125 100 %=2425 100 %=96 %de las observaciones.

8 Variables agrupadasEjercicio valores del pH sangu neo de32individuos son los 2013 MATEM TICAAPLICADA YESTAD STICAESTAD STICA descriptiva: problemas RESUELTOS7/12a)Agrupar los datos en5intervalos y confeccionar la tabla de )Calcular la media aritm tica, la moda y la )Hallar el tercer )Determinar el porcentaje de individuos que se concentra fuera del intervalo(x 4 ,x+4 ).RESOLUCI N. En primer lugar, n tese que la variable considerada en el estudio es una variable cuantitativacontinua.

9 Por esta raz n distribuimos los datos observados en varios intervalos de ) Para establecer la longitud de cada intervalo de clase hemos de determinar el rango de la variable:R=xmax xmin= ,`=R5= por exceso podemos tomar`= tabla de frecuencias para la variable en estudio queda recogida en el Cuadro de clasexiniNifi(%)Fi(%)[ , ) [ , ) [ , ) [ , ) [ , ) de frecuencias para la variable del Ejercicio ) Calculemos la media aritm tica:x=132(2 +4 +17 +5 +4 ) = ' mayor frecuencia absoluta registrada en la tabla de frecuencias es 17, que corresponde al intervalo[ , ).Dicho intervalo es, por tanto, el intervalo modal, o intervalo donde se encuentra la , para calcular la mediana trazamos el pol gono de frecuencias absolutas acumuladas ( ).]]]]]]

10 MATEM TICAAPLICADA YESTAD STICAOCW-ULL 20138/12B. GONZ LEZ, D. HERN NDEZ, M. JIM NEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA05101520253035F. absolutas acumuladas pH sangu neo Ejercicio Me x Figura de frecuencias absolutas acumuladas y c lculo de la mediana para la variable del Ejercicio mediana divide el n mero total de observaciones en dos partes iguales, esto es, en 16 a la gr fica de la Figura y al Cuadro , se verificaMe= +x,dondexsatisface la relaci n:16 623 6= ' ,y se concluye queMe= + ) Los deciles dividen la distribuci n en diez partes iguales. Por tanto, el tercer decil se corresponde con elvalor de la variable que acumula una frecuencia de3 N10=3 3210= calcularlo procedemos de manera similar que con la mediana:D3= +x,OCW-ULL 2013 MATEM TICAAPLICADA YESTAD STICAESTAD STICA descriptiva: problemas RESUELTOS9/12donde ahoraxsatisface la relaci infiere quex= ' ,y concluimos:D3= + ' ) El Teorema de Chebyshev garantiza que, como m nimo, el(1 1k2) 100 % de las observaciones seencuentra en el intervalo(x k ,x+k ), mientras que fuera de dicho intervalo se encuentra a lo sumo el1k2 100 % de ellas.