FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS DERIVADAS - …

1 CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas 3 DERIVADAS algebraicas 3 DERIVADAS algebraicas Enti ndase la derivada como la pendiente de la recta tangente a la funci n en un punto dado, lo anterior implica que la funci n debe existir en ese punto para poder trazar una recta tangente en l. DIFERENCIACI N NORMAL La derivada se puede conocer como un caso particular del l mite. Para conocer num ricamente el valor de la pendiente de una funci n en un punto dado es necesario resolver la ecuaci n: ()()hxfhxfLimPenPendienteh1101 += Para lo cual hay necesidad de utilizar una calculadora y evaluar la ecuaci n en valores cercanos a cero (0).

2 A lo anterior se le conoce como el m todo num rico, utilizado para conocer la pendiente de la ecuaci n de grado menor, pero existe lo que se llama diferenciaci n formal para resolver ecuaciones de grado superior. FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS DERIVADAS Existen los conocidos monomios y polinomios, los primeros contiene solamente una expresi n de la variable, y los segundos corresponden a una suma finita de monomios. CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas derivada Sea ()xfy= una funci n de x. Si el limite ( )()()hxfhxfLimxfdxdyh +== 0' Existe y es finito, diremos que este l mite es la derivada de respecto a x y que es diferenciable en x.

3 A continuaci n se estudiaran algunas reglas para diferenciaci n: derivada de una Constante Regla No. La derivada de una constante es cero El significado geom trico de esta afirmaci n es el hecho que la pendiente de la recta yc= , para cualquier valor de x, es cero. derivada de una potencia entera positiva Potencias enteras positivas de x Regla No. Si n es un n mero entero positivo, entonces: 1nndxn xdx = CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas Deducci n: ()nxxfy== Entonces ()()xxfxxfxy += Como n es un n mero entero positivo, se puede aplicar: ()() baababb = ++++ Donde xxa +=, xb=, xba = , que reemplazado en la ecuaci n anterior da: ()()xxxxxynn += () ()()()()()()()() xxyxxyxxxxxxx xxx + ++ +++ + = =+ ++ +++ + Haciendo que 0 x, 0xdyyLimdxx = ()()()() =+++++++ () =++++ 1ndyn xdx = Ejemplos.

4 : a.) Derivar la expresi n: 5xy= ()455xxdxd= CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas b.) Derivar la expresi n: 3yx= ()323dxxdx= derivada de una Constante por una Funci n Constante por una funci n Regla No. Si )(xfu= es cualquier funci n diferenciable de x, y c es una constante, entonces: ()dduc ucdxdx= La regla se resume en el hecho que la derivada de una constante por una funci n es la constante multiplicada por la derivada de la funci n. Geom tricamente hablando significa que si multiplicamos la ordenada de una funci n por un valor cualquiera, estamos multiplicando por ese mismo n mero el valor de la pendiente. Deducci n: ( )()()= += xxcfxxcfLimcudxdx0 Aplicando la definici n de derivada .

5 ( )()()= += xxfxxfcLimcudxdx0 Factorizando la constante ( )()()= += xxfxxfLimccudxdx0 Aplicando l mite de la constante ( )dxduccudxd= Remplazando el limite por la definici n de la derivada . CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas Ejemplo: Derivar la expresi n 57xy= ()()5577xdxdxdxd= Por tratarse de una constante. ()()5477 5dxxdx= Aplicando la derivada de la potencia. ()45357xxdxd= Realizando el producto. derivada de una Suma Regla de la suma Regla Si u y v son FUNCIONES diferenciables de x, entonces la suma vu+ es una funci n diferenciable de x, y ()dxdvdxduvudxd+=+ Para todos los valores de x en que existan las DERIVADAS de u y v La idea es que si u y v tiene DERIVADAS en el punto x, entonces sus suma tambi n tiene derivada en x y corresponde a la suma de las DERIVADAS de u y v en x.

6 An logamente, la derivada de la suma de cualquier n mero finito de FUNCIONES diferenciales es la suma de sus DERIVADAS . Deducci n : ()xfvuy += ()xxfvvuuyy + ++ += +)()( Sumando en cada t rmino. CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas ()()xfxxfvuy + + = Restando vuy+= ()()f xxf xyuvxxxx+ =+ Dividiendo t rmino a t rmino por la expresi n x 00()xxdyyuvLimLimdxxx + == Aplicando el l mite cuando0x 00xxdyuvLimLimdxxx =+ Por las propiedades de los l mites. Ejemplo: Derivar la expresi n 45723+ +=xxxy ()()()( )45723dxdxdxdxdxdxdxddxdy+ += Derivando cada t rmino 51432 +=xxdxdy y as se puede aplicar para cualquier n mero finito de t rminos.

7 Ejercicios Propuestos: Dada ()f x, obtener ()f x : 1. ()439f xx= 2. ()3f xxC=+ 3. ()22415f tttt=++ 4. ( )232tf xxCx=++ 5. ( )3227xxxf xx++ = 6. ( )11xf xx =+ 7. ( )f xxx=+ 8. ( )4359xf xx+=+ 9. ( )xf xCxx=+ 10. ()225f xxx= CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas PRODUCTOS POTENCIAS Y COCIENTES En esta secci n estudiaremos a u y v como dos FUNCIONES diferenciables de x. derivada de un Producto Regla del Producto Regla El producto de las FUNCIONES diferenciables u y v es diferenciable y: ()ddvduu vuvdxdxdx=+ Al igual que para la suma, la derivada del producto nicamente existe para aquellos valores en donde exista la derivada de u y la derivada de v.

8 Yu v= Por definici n ()()yyuuvv+ =+ + Sumando y en ambos lados del igual yyu v u v v uu v+ =+ ++ Realizando el producto yu v v uu v = + + Restando uvy=en ambos lados. yvuvuvuxxxx =++ Dividiendo a ambos lados por x . Cuando 0 x, u tambi n lo hace, lo que se puede expresar en la forma: 0 0uuduLim uLimxLimLim xxxdx = = == Luego la expresi n xy se puede expresar en la forma: yvuvLimLim uLim vLim uxxxxdydvduuvdxdxdx =++ =+ CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas Al igual que para la suma, la derivada del producto nicamente existe para aquellos valores en donde exista la derivada de u y la derivada de v.

9 En La figura anterior se representa gr ficamente el significado de la regla del producto. Hay que tener en cuenta que se trata de la funci n u multiplicada por la derivada de la funci n v. Ejemplo: Derivar ()()1f ttt= Si : ut= ()()111221122duttdt == ()1vt= 1dvdt= Entonces: dydvduuvdtdtdt=+ () ()121112dytttdt = + = ()12ttt +=1 32tt CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas derivada de Potencias enteras positivas de una funci n diferenciable Potencias enteras positivas de una funci n diferenciable Regla No Si u es una funci n diferenciable de x, y n es un n mero entero positivo, entonces nu es diferenciable, y.

10 ()1nndduun udxdx = La ausencia del termino dxdu de la ecuaci n invalida la diferenciaci n, por lo que hay que tener cuidado de incluir el diferencial de la ecuaci n. derivada DE UN COCIENTE La raz n o cociente uv de dos polinomios en x, no es en general un polinomio. Dicha raz n es una funci n racional de x. Regla del Cociente Regla No En los puntos donde 0 v, el cociente yuv= de dos FUNCIONES diferenciables, es tambi n diferenciable y: ()2dudvvuddxdxuvdxv = Como sucede en todas las ecuaciones vistas hasta el momento, la anterior regla tiene valor nicamente en aquellos puntos en dos de las FUNCIONES u y v tengan valor y sean diferenciables. CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingenier a DERIVADAS algebraicas Al igual que para la suma, la derivada del cociente nicamente existe para aquellos valores en donde exista la derivada de u y la derivada de v.