Il Pendolo Semplice - Univr

1 CorsodiFisicaI-ModulodiLaboratorioIlPend oloSempliceAnnoaccademico2008/2009 Indice1 Intro duzione12 Materialeadisp osizione13 Misuradelp erio dod'oscillazione erio dod' endenzadelp erio dodallalunghezza, dod'oscillazionedelp endenzadelp erio endenzadelp erio dodall' endenzadelp erio 'accelerazionedigravit 8 ACifresigni cative,arrotondamentiedincertezzadimisur a10 BGra cieistogrammi11 CPropagazionedeglierrori111 Intro duzioneUnp endolo unqualsiasioggettoingradodioscillareinto rnoadunpuntodisosp ensione 'intervalloditemp oimpiegatop ercompiereun'interaoscillazione dettoperiodoesar indicatocon .Siparladipendolosemplicequando: lamassadelcorp ooscillante concentratainunvolumedidimensionitrascur abilirisp ettoalladistanzadalpuntodisosp ensione(approssimazionedipuntomateriale) ; ilcorp ooscillante collegatoalpuntodisosp ensionemedianteun erio dodioscillazionediunp endolosemplicedip endedallalunghezzadel lodisosp ensioneedall'ampiezzadell' er ,quest'ultimadip endenza ,dettoisocronismodel lepiccoleoscil lazioni, statoosservatodaGalileoGalileinel1592mis urandoconibattiticardiaciilp erio dod' hap ermessodiusareilp endolocomestrumentop erlamisurazionedeltemp 'iso cronismodellepiccoleoscillazionisar sfruttatop eravereadisp osizioneunagrandezza sicacostanteneltemp o,appuntoilp erio do.

2 Misurandopi voltelastessagrandezza l'e ettodelle uttuazionicasuali, ,descrivibilemedianteunistogrammaoppure, inmo dopi sinteticoseppuremenocompleto, ' ,alcresceredelnumeroNdimisure,laformadel l'istogrammatendeastabilizzarsi,cos cometendonoaridursile ortanoalconcettodidistribuzionelimite,co nformatipicamenteacampana, ettuatasar quindia ettadaunincertezzadovutaaderroricasualic hedovr essereconfrontataconl' dap orrenell' erienzadilab oratoriosar veri carequantitativamenteladip endenzadelp erio dod'oscillazione dallalunghezzadel loLdallamassamedall'ampiezzad'oscillazio ne erio do cos misuraticonsentirannop oiilcalcolodell'accelerazionedigravit oratorioindicatein3e4sarannosvoltenellap rimasessionesp erimentalementrequantoindicatoin5sar facoltativop erigruppidatrep ersoneeobbligatoriop osizionePerl'esecuzionedell'esp erienzavienefornitoilseguentemateriale: astaconsupp orto; puntodisosp ensione; ro cchettodi loinestensibile( 1m); setditremasse; unmetroanastro( xris= 1mm); uncalibroventesimale( xris= ); duecronometrimanuali( xris= );13 Misuradelp erio dod'oscillazione erimentaleIlp endolosar montatosulbancousandolamassapi p esanteadisp gura1 rappresentatoschematicamentel'apparatosp :schemadell'apparatosp 'apparatosp erimentalesar b enemantenereleseguentiattenzioni: ssareaccuratamentel'astaallasuabaseeilpu ntodisosp ensioneall'asta; legareil loalpuntodisosp ensioneeallamassaconno disemplicidasciogliereetalidanonintro durretorsionidel looscorrimentisulpuntodisosp ensione; p osizionarel'apparatoinmo docheilp endoloriescaadoscillaresuunpiano ssosenzaurtareostrisciare;Peravereoscill azioniiso croneandr usataunampiezzad'oscillazione 0 7.

3 Letacchecheindicanoilpuntodirilasciodelp endoloeilpuntodistart/stopdellamisuradov rannoessereb envisibiliedesserep cedereallamisuradelp erio do necessariocaratterizzareilsistema,cio misurareaccuratamentelalunghezzaLdelp endoloel'angolo endoloLsar datada:L=Lfilo+rvincolo+rmassa,(1)conrvi ncoloermassailraggiodelvincoloedellamass a,mentreLfilo ladistanzatravincoloeb ordosup e ettuataconlostrumentopi appropriato,quotandolarelativaincertezza dovutaallarisoluzionechesar p oidapropagaresullamisuradellalunghezzaL( vediC).Perquantoriguardainveceladetermin azionedell'angolo 0sipro ceder misurando,conglistrumentiopp ortuni,LyeLx,comeindicatiin quindi 0= arctan(LxLy).(2)Inquestocasoconsideriamo trascurabilel'erroresull' erio dod'oscillazioneConilp endolocostruitodovrannoesseree ettuateleseguentimisuredelp erio dod'oscillazione 100p erio did'oscillazionesingola; 10p erio dididiecioscil lazioni;Nelgrupp oandr sceltoun'addettoalrilasciodelp endoloeduecronometristichee : rilasciareenonlanciareilp endolo; mantenerecostanteangoloepianod'oscillazi one; evitareerroridiparallassesulletaccheindi cantigliangoli; annotareordinatamenteilrisultatodiognisi ngolamisura; veri carechenoncisianooscillazionidelp 'e ettivapro ceduradimisurausatadeveesserediscussaing rupp ,p erognicronometrista, ,p erbrevit ,cisiriferir erio ortunoistogrammaincuilalarghezzadellecol onnesialarisoluzione 'interosetdiN1misuresiap oidivisoinM1= 10sottoinsiemidin= ,opp ortunamentenormalizzato,siconfrontil' ' :m [ ] =1N1 N1i=1 i; [ ] = 1N1 N1i=1( i m )2.

4 (3) k[ ]eloscartoquadraticomedio k[ ].Ovviamente,nelleformule3alvaloreN1andr 'istogrammadelladistribuzionedeivalorime dim kesenecalcolivalormediocampionario,m [m ]escartoquadraticomediocampionario [ ].Siabbiacuradimantenerelastessascalaori zzontaleelastessanormalizzazioneusataneg liistogrammiprecedenti,inmo ettedaerroricasualitendonoadassumere,alc resceredelnumerodimisureunaformadescrivi bileanaliticamentemedianteladistribuzion enormalediGauss,f(x) =1 2 exp[ (x m)22 2],(4)dovex ilvaloredellagrandezzasoggettaamisura(x= );me sonodueparametri,ri-sp ossonoesserestimati3partendodauncampiona mento nitodelladistribuzionelimite,cio daunnumero sono: m[ ] =m [ ] ; = NN 1 [ ] ;(5)conN ilnumerodimisuree delladistribuzionediGaussrelativaal-l' ondentedistribuzione,equazione4,elasicon fronticonl'istogrammadelleN1misure(opp ortunamentenormalizzato).Sipro cedaanalogamentep erio do -IncertezzadovutaaglierroricasualiAquest opuntosiamoingradodisintetizzareilrisult atoottenutonellaforma: = 0.

5 Seladistribuzionelimitefossep erfettamentenotasip otrebb eassumerecomevaloreverodellagrandezza visto,nelcasodiuncampionamento nito, 0=m =1NN i=1,(6) 'incertezza dovutaaglierroricasualidip endedalle uttuazionidellamediacampionariam risp ettoallamedialimitem,assuntacomevaloreve rodi 0(manonconoscibileconcertezza).Queste uttuazionisonomisuratedalloscartoquadrat icomediodelladistribuzionelimitedeivalor imedi,cio = [m ].Sidimostrainoltreche,selamedia calcolataapartiredaNmisureloscartoquadra ticomediodelladistribuzionelimitedelleme diecampionarie, [m ] legatoalloscartoquadraticomediodelladist ribuzionelimitedisingolamisura, [ ]dallarelazione [m ] = [ ]/ ,siottienequindiche: = [m ] =1N [ ] =1 N NN 1 [ ] = 1N(N 1)N i=1( i m )2.(7) erio dod'oscillazionedelp endolo stataeseguitaconuncronometroconrisoluzio nedilettura t= erio doottenutimisurandodiecioscillazioni).

6 Inquestocasoililp erio dod'oscillazionesar = dolarisoluzionedellostrumentodaattribuir eallamisurasar t10= t/10 = ' ceduresinquieseguitenonconsentonodiveri carel' erch leanalisisonostatecondotteseparatamentep 'incertezzadimisuraL'esp erienzametteinlucel'esistenzaditrecontri butiall' ; ; ;L'incertezzaglobaledellamisuradip ender 'esecuzionedell'esp erienzasisonoevidenziatideimeto dip erridurrel' vistoinfattiche xcasdovutaaglierroricasualipu o cosensoridurre xcasadunvaloreinferioreall'incertezzadov utaallarisoluzione ,chep eruniformit vaespressocomescartoquadraticomediodiuna distribuzioneuniforme,cio xres= x/ 12,pu essereridottoconopp ortuniarti didiriduzionedellestesse, 'ampiezzad'oscillazionedelp endolosiriduceneltemp oacausadeifenomenid' osizioninounataccadiiniziomisuraall'ango lo eunasecondataccadi nemisuraall'angolo 'ampiezzad'oscillazionep erunpiccoloangolo, '5 eunangolomaggiore, '45.

7 Primadie ettuarelamisuraagrandeangolosiveri chichelatraiettoriadell'oscillazionesial ib eraechelamassastessasiab enapp risalireallavariazioned'ampiezzap ersingolaoscillazioneeallasuaeventualedi p endenzadall' endenzapu in uenzarelepro ceduredimisuradelp erio endenzadelp erio dodallalunghezza, dod'oscillazionedelp endoloConsideriamounp endolosempliceecomevariabilecinematical' angolo .L'equazionedelmotosar mLd2 dt2= mgsin ,(8)conmlamassadelp endolo,Llasualunghezzaegl'accelerazioned igravit .Inapprossimazionedipiccoleoscillazionis ipu scriveresin 'L,dacuisihaLd2 dt2= g .(9)Siricavaquindicheilp erio dodioscillazione p erpiccoliangolivale = 2 Lg,(10)chemostracomeilp erio do dip endasolodallalunghezzadelp endoloLedall'accelerazionedigravit ,lasoluzioneesattadell'equazione8mostrac heilp erio do dip endenonsolodallalunghezzaLedall'accelera zionedigravit gmaanchedall'ampiezzad'oscillazione 0secondounosvilupp oinserieicuiprimiterminisono = 2 Lg[1 +14sin2( 02)+496sin4( 02)+.]

8 ].(11) endenzadelp erio ettuarePerquestamisurasiuser illayoutsp ,quindimantenendol'ampiezza 0usatap erlamisuradelp erio do, ,sie erio dodi10oscillazioniconlunghezzaL2'70cm; erio dodi10oscillazioniconlunghezzaL3'50cm; erio dodi10oscillazioniconlunghezzaL4'30cm; erio dodi10oscillazioniconlunghezzaL5'15cm;Le variazionedellalunghezzaandr e ettuatasenzatagliareil lomasp ostandoilno dodi 'eventuale loineccessodeveesseredisp ostoinmo endoloel'angolo 0vannomisuratiprimadiognimisurazione, erio do, , p ossibilericavareunulteriorevaloredi alunghezzaL1 colineareSirip ortinoirisultatidellamisurainungra cop onendoinascissalalunghezzaLeinordinatail p erio dod'oscillazione .Sirappresentinoancheleincertezzedimisur a Le .Idatisp erimentalisembrano(dovrebbero)nonesserec ompatibiliconunaleggelinearemab ens conunaleggedeltip o =aLb,(12) carelafondatezzadell'ip otesi12 convenientelinearizzarel' duciamolenuovevariabili:X= log (L) ;Y= log ( ) ;(13) corretta,larelazionetraYeX lineare,conY=A+BX,(14)conA log (a)eB coYinfunzionediXquotandolerelativeincert ezze(discutendonelapropagazione).

9 Quellacheminimizzaladiscrepanzatraipunti (Xi,Yi)elarettaY=A+ i=1=(Yi A Bxi)2( Yi)2,(15)conNilnumerodipuntisp :A=( i iX2i)( i iYi) ( i iXi) ( i iXiYi) ;(16)6B=( i i) ( i iXiYi) ( i iYi) ( i iXi) .(17)Ildenominatore de nitocome: =( i i)( i iX2i) ( i iX2i),(18)mentreip esi isonolegatialleincertezzedallarelazione i=1( Yi)2.(19)LeincertezzesuiparametriAeBsip ossonoricavaremediantelerelazioni( A)2= i iX2i ;( A)2= i i ;(20)Aquestopunto p ossibileconfrontareinungra colarelazioneY=A+BXconivaloridiXeYsp ossonoricavareivaloridiaebdicuiall'equaz ione12, ' dell'equazione14conidatisp erimentalipu iparametriAeBsonostatideterminatiapartir edagliNdatisp erimentali,ilproblemahaN 2gradidilib ert .Cisiasp ettaquindiche 2=N i=1=(Yi A Bxi)2( Yi)2=N 2.(21)Sihannoiseguentip ossibilirisultati: 2 N 2,idatisp erimentalisonocompatibiliconlaleggey=A+B x; 2 N 2,idatisp erimentalinonsonocompatibiliconlaleggeip otizzata,oppuresisonosottostimateleincer tezze; 2 N 2,moltoprobabilmentesisonosovrastimatele incertezze; endenzadelp erio dodall' ettuarePerquestamisurasiuser nuovamenteillayoutsp endoloadunalunghezzacostanteL 100cmsie erio dodi10oscillazioniconampiezza 1= 5 ; erio dodi10oscillazioniconampiezza 2= 20 ; erio dodi10oscillazioniconampiezza 3= 30 ; erio dodi10oscillazioniconampiezza 4= 45.

10 Lalunghezzadelp endoloel'angolo 0vannomisuratiprimadiognimisurazione, ortinoinungra coivaloridi misuratiinfunzionedell'ampiezzad'oscilla zioneelisiconfronticonl'andamentoteorico attesosullabasedell'equazione11calcolata p erunp 'accordodeidatimisuraticonl' chil'esistenzadieventualicontributidinat urasistematicaalladiscrepanzaesenediscut al' endenzadelp erio ettuarePerquestamisurasiuser nuovamenteillayoutsp endoloadunalunghezzacostanteL 100cminapprossimazionedipiccoleoscillazi oni, 0= 5 sie erio dodi10oscillazioniconmassam1; erio dodi10oscillazioniconmassam2; erio dodi10oscillazioniconmassam3;Lalunghezza delp endoloel'angolo 0vannomisuratiprimadiognimisurazione, fornitodurantelasessionedilab ortinoinungra coivaloridi gurinoanchelerelativeincertezzeespressec omebarred' 'accelerazionedigravit Inapprossimazionedipiccoleoscillazioniil p erio do diunp endolosemplicedip endedallalun-ghezzaLedallagravit gattraversolarelazione = 2 Lg,(22)l'accelerazionedigravit pu esserequindiricavatacome:g= 4 2L 2.