La Trasformata di Fourier - Univr

1 La Trasformata di FourierMauro ZucchelliUniverist`a degli studi di Verona, Dipartimento di InformaticaApril 10, 20171 La serie di FourierData una funzionef(t) definita in un intervallo di tempoT, la possiamo es-primere inserie di Fouriercomef(t) =a0+ n=1ancos(nw0t) +bnsin(nw0t)(1)Dove i coefficientia0,anebnsono calcolati comea0=1T Tf(t)dt(2)an=2T Tf(t) cos(nw0t)dt(3)bn=2T Tf(t) sin(nw0t)dt(4)e l armonica fondamentalew0`e definita come2 di Euleromette in relazione le funzioni trigonometriche seno ecoseno con l esponenziale complesso:eix= cos(x) +isin(x)(5)cos(x) =eix+e ix2(6)sin(x) =eix e ix2i(7)Possiamo quindi riscrivere la serie di Fourier e i relativi coefficienti comef(t) = n= cneinw0t(8)cn=1T Tf(t)e inw0tdt(9) la serie di Fourier `e periodica assumendof(t) periodica inTpossiamo scrivere Tcome T/2 T/212 La Trasformata di Fourier continuaConsiderando un segnale aperiodicof(t), possiamo costruire un segnale peri-odicofT(t) ripetendo il segnale originariof(t) ogniTsecondi.

2 Questo nuovosegnalefT(t) pu`o essere rappresentato come serie di Fourier :fT(t) = n= cneinw0t(10)cn=1T T/2 T/2fT(t)e inw0tdt(11)conw0=2 TQuandoT il limite limT fT(t) =f(t). Sostituendo nelleequazioni della serie di Fourierf(t) =limT n= cneinw0t(12)cn=limT 1T T/2 T/2fT(t)e inw0tdt(13)ChiamandoF(nw0) = limT Tcnpossiamo scrivereF(w) = limT T/2 T/2fT(t)e iwtdt= f(t)e iwtdt(14)considerando per semplicit`awuguale aw0nper adesso. La serie di Fourier pu`oessere dunque espressa come:f(t) =limT n= F(nw0)Teinw0t(15)Considerando che quandoT abbiamo chew0 0. Possiamo quindidefinire il differenziale w= limw0 0we sostrituirlo nella formula della serief(t) = lim w n= F(n w) w2 ein wt(16)Questa sommatoria a limite perw0 0, pu`o essere vista come l area sot-tostante la funzioneF(w)eiwtapprossimata con il metodo dei rettangoli. Pos-siamo dunque riscrivere tutto sotto forma di integrale comef(t) =12 F(w)eiwtdt(17)F(w) = f(t)e iwtdt(18)Il passaggio daf(t) aF(w) prende il nome ditrasformata di Fourier (continua),mentre il passaggio daF(w) af(t) rappresenta la Trasformata di Alle volte si trova la Trasformata di Fourier esplicitata nello spazio dellefrequenze non normalizzatef=1T.

3 Considerando chewpu`o essere scritto come2 fe la funzione nel dominio nel tempo comex(t) per evitare ambiguit`a, latrasformata di Fourier pu`o anche essere scritta comex(t) =12 X(f)e2 iftdt(19)X(f) = x(t)e 2 iftdt(20)le due notazioni sono completamente Alcuni esempi di La funzione rectLa funzionerect`e definita come:rect(t) = 0,if|t|>1212,if|t|=121,if|t|<12(21)La sua Trasformata di Fourier pu`o essere calcolata come:F(w) = rect(t)e iwtdt= 1/2 1/2e iwtdt= 1iw(e iw2 eiw2)=2sin(w/2)w=sin(w/2)w/2(22) La funzione GaussianaLa funzione Gaussiana `e definita come:f(t) =e t22 2(23)dove `e la deviazione standard. La sua Trasformata di Fourier si pu`o calcolarecome:F(w) = e t22 2e iwtdt= e (t22 2+iwt)dt(24)3rect(t)sinc(w/2) 1 (t) 40 (w)Figure 1: La funzionerect(sinistra) e la sua Trasformata di Fourier (destra).Usando il seguente integrale indefinito e (ax2+2bx+c)dx=12 aexp(b2 aca)erf( ax+b a)(25)doveerf`e la funzione degli errori (vedi Fig 2 ).

4 4 2024 1 (x)Figure 2: La che nel nostro casoa=12 2,b=iw2ec= 0 possiamo scrivere:F(w) =[12 2 2exp( 2w22)erf( 12 2t+iw 2 22)] =12 2 2exp( 2w22)[erf( 12 2t+iw 2 22)] =12 2 2exp( 2w22)[erf( ) erf( )]=12 2 2exp( 2w22)[1 ( 1)]= 2 2exp( 2w22)(26)4e t22 2 2 2exp( 2w22) 10 (t) 10 (w)Figure 3: La funzione Gaussiana (sinistra) e la sua Trasformata di Fourier (de-stra), con = La funzione delta di DiracLa funzione delta di Dirac, o , `e definita come: (t) ={0,set6= 0 ,set= 0(27)Alternativamente, la funzione (t) pu`o essere definita come: (t) = limn n exp( n2t2)(28)La sua Trasformata di Fourier pu`o essere calcolata come:F(w) = (t)e iwtdt= limn n exp( n2t2)e iwtdt(29)Ponendon2=12 2, ritroviamo l integrale della funzione Gaussiana svolto prece-dentemente:F(w) = limn n nexp( w24n2)= limn exp( w24n2)= 1(30)5 (t)1 (t) (w)Figure 4: La funzione delta di Dirac (sinistra) e la sua Trasformata di Fourier (destra) La funzione (t )La funzione (t ), non `e altro che una delta di Dirac spostata di , ed `edefinita come: (t ) ={0,set6= ,set= (31)La sua Trasformata di Fourier `e definita come:F(w) = (t )e iwtdt= limn n e( n2(t )2)e iwtdt= limn n exp( (n2t2 2n2 t+n2 2+iwt))dt= limn n exp( (n2t2+ 2(iw2 n2 )t+n2 2))dt(32)6 Usando l Eq.}}

5 (25) cona=n2,b=(iw2 n2 )ec=n2 2otteniamoF(w) = limn n [12 n2exp((iw2 n2 )2 n4 2n2)erf( n2t+(iw2 n2 ) n2)] = limn 12exp((iw2 n2 )2 n4 2n2)[erf(nt+(iw2 n2 )n)] = limn 12exp((iw2 n2 )2 n4 2n2)[erf(nt+iw2n n )] = limn 12exp((iw2 n2 )2 n4 2n2)[erf( ) erf( )]= limn 12exp((iw2 n2 )2 n4 2n2)[1 ( 1)]= limn exp((iw2 n2 )2 n4 2n2)= limn exp( w2n2 iw +n2 2 n2 2)= limn e w2n2e iw =e iw (33)4 Le propriet`a della CFTLa tabella 1 illustra le principali propriet`a della Trasformata di Fourier . VediamoneOperazionef(t)F(w)addizionef1(t ) +f2(t)F1(w) +F2(w)moltiplicazione per uno scalarekf(t)kF(w)simmetriaF(t)2 f( w)dilatazione (conareale)f(at)1|a|F(wa)time shiftf(t )F(w)e iw convoluzione nel tempof1(t) f2(t)F1(w)F2(w)moltiplicazione nel tempof1(t)f2(t)12 F1(w) F2(w)Table 1: Propriet`a della Trasformata di Fourier continuaora alcune applicazioni La traformata di Fourier dell esponenziale complessoL esponenziale complesso `e definito come:f(t) =eiw0t(34)Possiamo sfruttare le propriet`a della Trasformata di Fourier per calcolareF(w) = eiw0te iwtdt(35)Abbiamo visto nella sezione precedente che datof(t) = (t ) la sua trasfor-mata risulta uguale aF(w) =e iw.

6 Considerando la propriet`a di simmetria eponendo = w0abbiamo cheF(t) = 2 f( w)(36)La nostra trasformat`a di Fourier risulta quindiF(w) = 2 ( w+w0) = 2 (w w0)(37) La traformata di Fourier del cosenoLa Trasformata di Fourier della funzionef(t) = cos(w0t) si pu`a calcolare sfrut-tando le formula di Eulero come la Trasformata di due esponenziali complessi:F(w) = cos(w0t)e iwtdt= eiw0t+e iw0t2e iwtdt=12[ eiw0te iwtdt+ e iw0te iwtdt]=12[2 (w w0) + 2 (w+w0)]= [ (w w0) + (w+w0)](38) Moltiplicazione e convoluzione per una deltaMoltiplicare una funzionef(t) per una delta di Dirac (t) corrisponde a calco-lare:f(t) (t) = f(t) (t)dt=f(0)(39)per definizione. Allo stesso modo la moltiplicazione dif(t) per la funzione deltatraslata (t )f(t) (t ) = f(t) (t )dt=f( )(40)8cos(w0t) [ (w w0) + (w+w0)] 10 50510 1 (t) 4 (w)Figure 5: La funzione cos(2t) (sinistra) e la sua Trasformata di Fourier (destra)La convoluzione dif(t) per (t ) corrisponde a calcolare:f(t) (t ) = f(T) (t T)dT= f(T) ( T +t)dT= f(T) ( T+ (t ))dT= f(T) (T (t ))dT=f(t )(41)La convoluzione con una delta traslata di equivale quindi a traslare la funzionedi.

7 Trasformata di Fourier di una funzione traslataLa Trasformata di Fourier di una funzione traslataf(t ) equivale a calcolare:F(w) =F(f(t ))=F(f(t) (t ))=F(f(t))F( (t ))=F(w)e iw (42)Il risultato `e equivalente ad applicare la propriet`a di time shift della La funzione treno di deltaUn treno di delta T(t) con frequenzaT, chiamato comunementepettine diDirac`e definito come: T(t) = n= (t nT)(43)9Il treno di delta, essendo una funzione periodica, pu`o anche essere rappresen-tato in serie di Fourierf(t) = k= ckeikw0t, dove i coefficienticnsi possonocalcolare come da definizione:ck=1T T T(t)e iw0tdt=1T T/2T/2 T(t)e iw0tdt=1T T/2T/2 (t)e iw0tdt=1T(44)considerando che nell intervallo [ T2,T2] T(t) = (t) e che l integrale T/2T/2 (t)e iw0tdt`e uguale ae iw00essendo l integrale di una funzione per una funzione T(t) pu`o essere quindi scritta come: T(t) = n= (t nT) =1T k= eikt2 T(45)dato chew0=2 Tper Trasformata di Fourier di un treno di deltaLa Trasformata di Fourier del treno di delta si pu`o calcolare comeF(w) = T(t)e iwtdt= n= (t nT)e iwtdt= n= (t nT)e iwtdt= n= e iwnT(46)Considerando che n= e iwnTper la propriet`a commutativa `e uguale a n= eiwnT, possiamo ricondurreF(w) alla definizione alternativa di treno10di delta:F(w) = n= e iwnT= n= eiwnT=2 T k= (w k2 T)=2 T 2 T(w)=w0 w0(w)(47)questo ponendo, con un piccolo abuso di notazione,T=2 T=w0,t=wek=nnella definizione di T(t).

8 In conclusione, la Trasformata di Fourier di un treno di delta non `e altroche un treno di delta nel dominio delle frequenze con passo di campionamentoinversamente proporzionale a quello del dominio del tempo. Questo fatto implicache, nel caso del treno di delta, un campionamento molto fitto nel tempo (Tmolto piccolo) implica un campionamento grossolano nelle frequenze (w0=2 Tgrande) e Trasformata di Fourier di una funzione periodicaLa rappresentazione periodica di una funzionef(t), con periodoNpu`o esseredefinita comex(t) = n= f(t nN)(48)11La sua Trasformata di Fourier `e definita comeX(w) =F(x(t))=F( n= f(t nN))=F( n= f(t) (t nN))=F(f(t) n= (t nN))=F(f(t))F( n= (t nN))=F(w)2 N k= (w k2 N)=2 N k= F(w) (w k2 N)=2 N k= F(k2 N)= k= w0F(kw0) = k= F[k](49)La Trasformata di Fourier di una funzione periodica risulta quindi equivalentealla Trasformata di Fourier della funzione stessa, ma campionata con una fre-quenza inversamente proporzionale al periodo della funzione (vedi Fig.)

9 6 con-frontata con Fig. 3).12 n= f(t nN) k= w0F(kw0) 10 (t) 10 (w) 10 (t) 10 (w)Figure 6: Una Gaussiana periodica (sinistra) e la sua Trasformata di Fourier (destra). Nella prima riga la funzione `e periodica conN= 5, nella seconda conN= La Trasformata di Fourier a tempo discreto(DTFT)La Trasformata di Fourier a tempo discreto, in inglese Discrete Time FourierTransform (DTFT), rappresenta la Trasformata di Fourier di una funzione cam-pionata nel dominio del funzione pu`o essere definita come:x(t) = n= f[n] = n= Tf(nT)(50)La sua Trasformata di Fourier , e quindi la sua DTFT, pu`o essere definita13come:X(w) =F(x(t))=F( n= Tf(nT))=F( n= Tf(t) (t nT))=F(Tf(t) n= (t nT))=F(Tf(t) n= (t nT))=T2 F(f(t)) F( n= (t nT))=T2 F(w) F( n= (t nT))=T2 F(w) 2 T k= (w k2 T)=F(w) k= (w k2 T)= k= F(w) (w k2 T)= k= F(w k2 T)= k= F(w kw0)(51)La DTFT non `e altro che la periodizzazione nel dominio delle frequenze dellatrasformata di Fourier della funzione campionataf(t).

10 La Fig. 7 mostra alcuniesempi di DTFT nel caso dif(t) Gaussiana. Si noti come, con il progressivoaumentare diT,F(w) si sovrappongano (effetto meglio noto comealiasing).Per evitare questo fenomeno `e necessario che 1/Tsia almeno il doppio dellafrequenza massima del segnale (teorema di Nyquist-Shannon).14 n= Tf(nT) k= F(w kw0) 10 (t) 10 505100246wX(w) 10 505100123tx(t) 10 505100246wX(w) 10 50510024tx(t) 10 505100246wX(w)Figure 7: Una Gaussiana ( = 2) campionata nel dominio del tempo (sinistra)e la sua Trasformata di Fourier DTFT (destra). Nella prima riga la funzione `ecampionata conT= 1, nella seconda conT= 2 e nella terza conT= modo alternativo di calcolare la Trasformata di Fourier di una funzione15campionata `e il seguente:X(w) = x(t)e jwtdt= n= f[n]e jwtdt= n= Tf(nT)e jwtdt= n= Tf(t) (t nT)e jwtdt= n= Tf(t) (t nT)e jwtdt= n= Tf(nT)e jwnT= n= f[n]e jwnT(52)In questo modo possiamo calcolareX(w) direttamente dai valori dei campionidif[n].