INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

1 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES la integral doble Df(x, y)dxdy, colocar los l mites de integraci on en ambos ordenes, para los siguientes recintos:i) trapecio de v ertices(0,0),(1,0),(1,2)y(0,1).ii) segmento parab olicoy=x2, y= ) c rculox2+y2 ) c rculox2+y2 onSi dibujamos las gr aficas y despejamos cada una de las variables con respecto a la otra,tenemos:i)I= 10dx x+10f(x, y)dy= 10dy 10f(x, y)dx+ 21dy 1y 1f(x, y) )I= 1 1dx 1x2f(x, y)dy= 10dy y yf(x, y) )I= 1 1dx 1 x2 1 x2f(x, y)dy= 1 1dy 1 y2 1 y2f(x, y) )I= 1/2 1/2dx (1+ 1 4x2)/2(1 1 4x2)/2f(x, y)dy= 10dy y y2 y y2f(x, y) el orden de integraci on en las INTEGRALES siguientes.

2 A) 30dx 25 x24x/3f(x, y) ) 2 6dx 2 xx24 1f(x, y) ) 21dx 2x x22 xf(x, y) ) e1dx lnx0f(x, y) ) 2a0dx 2ax 2ax x2f(x, y)dy, a > ) 21dx x3xf(x, y)dy+ 82dx 8xf(x, y) ona) La regi on de integraci on, indicada en la figura, es la que verifica el sistema0 x 3,4x/3 y 25 el punto (3,4) es la intersecci on entre la circunferencia y la recta, la nueva integralse escribir a como 30dx 25 x24x/3f(x, y)dy= 40dy 3y/40f(x, y)dx+ 54dy 25 y20f(x, y) ) Se trata de la regi on comprendida entre la par abolay=x2/4 1 y la rectay= 2 invertir el orden de integraci on, la integral se descompone as :I= 0 1dy 2 y+1 2 y+1f(x, y)dx+ 80dy 2 y 2 y+1f(x, y) ) La regi on de integraci on es el segmento de circunferencia (x 1)2+y2= 1 limitado porla rectax+y= 2.

3 La integral se puede escribir como:I= 10dy 1+ 1 y22 yf(x, y) ) Para invertir el orden de integraci on, basta despejarxen la ecuaci ony= lnx. Tenemosas :I= 10dy eeyf(x, y) ) Si observamos la regi on de integraci on, al cambiar el orden de integraci on debemosdescomponer la integral en tres sumandos:a 2aa2aI= a0dy a a2 y2y2/2af dx+ a0 2aa+ a2 y2f dx+ 2aady 2ay2/2af ) La suma de las dos INTEGRALES dadas origina la regi on dada por la cambiar el orden de integraci on, queda sencillamente:I= 81dy yy1/3f(x, y) las siguientes INTEGRALES :(a) 21dx 3x+12xxy dy.

4 (b) 1 1dx |x| 2|x|ex+ydy.(c) 10dx 1 x20 1 x2 (d) 1 1dy 1|y|(x+y)2dx.(e) 80dy 3 on(a) Basta resolver directamente las INTEGRALES iteradas para obtener: 21dx 3x+12xxy dy= 21xy22 3x+12xdx= 21(x(3x+ 1)22 x(2x)22)dx= 215x3+ 6x2+x2dx=(5x48+x3+x24) 21=1378.(b) Calculamos primero la integral respecto a la variabley: 1 1dx |x| 2|x|ex+ydy= 1 1ex+y |x| 2|x|dx= 1 1(ex+|x| ex 2|x|) descomponemos la integral simple en suma de dos INTEGRALES para sustituir el valorabsoluto: 1 1(ex+|x| ex 2|x|)dx= 0 1(1 e3x)dx+ 10(e2x e x)dx=(x 13e3x) 0 1+(12e2x+e x) 10= 56+13e 3+12e2+e 1.

5 (c) Integramos primero respecto aypara lo cual hacemos el cambio de variable sent=y/ 1 x2. De este modo: 10dx 1 x20 1 x2 y2dy= 10dx /20( 1 x2)2 cos2t dt= 10(1 x2) (t2+sen 2t4) /20dx= 4 10(1 x2)dx= 4(x x33) 10= 6.(d) El dominio de integraci on es la regi on ilustrada en la primero respecto ayy despu es descomponemos el intervalo [ 1,1] en dos su-bintervalos para calcular la integral respecto ax:I= 1 1(x33+x2y+xy2) 1|y|dy= 1 1(13+y+y2 |y|33 y3 |y| y2)dy= 0 1(13+y+y2+y33)dy+ 10(13+y+y2 7y33)dy=(y3+y22+y33+y412) 0 1+(y3+y22+y33 7y412) 10=23.

6 (e) La regi on de integraci on es la que se ilustra en la figura el orden de integraci on se obtieneI= 20dx 4xx3ex2dy= 20(4xex2 x3ex2)dx= 2ex2 20 x22ex2 20+ 20xex2dx=e42 52.(Aplicar el m etodo de integraci on por partes en la segunda integral.) Df(x, y)dxdyen los siguientes casos:i)f(x, y) =xy2,Del recinto limitado pory2= 2pxyx=p/2(p >0).ii)f(x, y) =x2+y2,Del paralelogramo limitado pory=x,y=x+a,y=a,y= )f(x, y) =x+y,Dest a limitado pory2= 2x,x+y= 4,x+y= oni) Escribimos la integral doble en forma de INTEGRALES iteradas y resulta.

7 I= p/20dx 2px 2pxxy2dy= p/20x y33 2px 2pxdx=13 p/202x(2px)3/2dx= ) Si observamos el paralelogramo de la figura, observamos que es m as conveniente realizarprimero la integral respecto 2a3a3aa2aAs ,I= 3aady yy a(x2+y2)dx= 3aa(x33+y2x) yy ady= = ) Teniendo en cuenta la forma de la regi on de integraci on, si integramos primero respectoay, la integral se descompone en dos pues,I= 82dx 2x4 x(x+y)dy+ 188dx 12 x 2x(x+y)dy= 82( 2 x3/2 3x+x2 (4 x)22)dx+ 188(11x x2+(12 x)22+ 2 x3/2)dx= posibilidad ser a restar la integral SOBRE la regi on comprendida entre la par abola yla rectax+y= 12 y la integral SOBRE la regi on comprendida entre la par abola y la rectax+y= Df(x, y)dxdyen los siguientes casos:i)f(x, y) =y,D={(x, y: 0 2x/ y senx}.

8 Ii)f(x, y) =x2+y2,Drecinto limitado pory=x2,x= 2,y= )f(x, y) =x2y,Des el primer cuadrante del c rculox2+y2 )f(x, y) =y,D={(x, y) :y >0, x2+y2 a2, y2 2ax, x 0}.Soluci oni) Los puntos de intersecci on de las curvasy= senx,y= 2x/ son (0,0) y ( /2,1).La integral se calcula entonces de forma directa:I= /20dx senx2x/ y dy= /20sen2x (2x/ )22dx= ) La figura adjunta muestra la regi on calcular la integral podemos seguir dos m etodos:1) Integrando como regi on de tipo 21dx x21(x2+y2)dy= 21(x2y+y3/3) x21dx= 21(x4+x6/3 x2 1/3)dx= ) Integrando como regi on de tipo 41dy 2 y(x2+y2)dx= 41(x3/3 +xy2) 2 ydy= 41(8/3 + 2y2 y3/2/3 y5/2)dy= ) A partir de la figura adjunta obtenemos los l mites de integraci este modo, la integral se expresa como.

9 I= 20x2dx 4 x20y dy= 20x2y2/2 4 x20dx=12 20(4x2 x4)dx=12[43x3 15x5]20= ) La intersecci on dex2+y2=a2cony2= 2axdax=a( 2 1), y el recintoSes elindicado en la en cuenta la figura, la integral se escribe comoI= a( 2 1)0dx a2 x2 2axy dy=12 a( 2 1)0(a2 x2 2ax)dx=a36(4 2 5). llamamosA= 10e t2dteI= 2 10dx x0e y2dy, probar queI= 2A+e 1 onLa regi on de integraci on es el tri angulo de la el orden de integraci on enI, tenemos:I= 2 10dy 1ye y2dx= 2 10(e y2x) 1ydy= 2 10(e y2 ye y2)dy= 2 10e y2dy+ 10 2ye y2dy= 2A+e y2 10= 2A+e 1 que2 badx bxf(x)f(y)dy=( baf(x)dx) onPor una parte,I=( baf(x)dx)2=( baf(x)dx) ( baf(x)dx)= ba baf(x)f(y) el cuadrado en dos tri angulos como indica la figura, resulta.

10 I= S1f(x)f(y)dxdy+ S2f(x)f(y)dxdy= badx bxf(x)f(y)dy+ bady byf(x)f(y)dx= 2 badx bxf(x)f(y)dy,9pues en el segundo sumando se pueden intercambiar las el area limitada por el lazo dey2=x2(2 x).Soluci onObservando la figura se obtiene directamente:A= 2 20dx x 2 x0dy= 2 20x 2 x dx= (sustituci on 2 x=z2)= 4 0 2(2z2 z4)dz=32 el volumen de la regi on limitada por los planosz=x+y,z= 6,x= 0,y= 0,z= onLa regi on dada es el tetraedro de la observamos que, cuandoxvar a entre 0 y 6,yvar a entre 0 yz x, conz= 6, el volumenbuscado es.