INTEGRALI INDEFINITI

1 1 INTEGRALI INDEFINITI Se F(x) una primitiva di f(x), allora le funzioni F(x) + c , con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f(x). Precisamente: ! se F(x) una primitiva di f (x), allora anche F(x) + c lo ; ! se F(x) e G(x) sono entrambe primitive di f(x), allora G(x) - F(x) = c . Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perch nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela. La funzione integranda ( ) mentre la variabile di integrazione la variabile x. La funzione primitiva ( ) che si ottiene per =0 si chiama primitiva fondamentale. Significato del simbolo: la ricorda una S allungata, mentre dx indica la variabile rispetto alla quale si fa l operazione di integrale indefinito.

2 Una funzione che ammette una primitiva, ne ammette infinite e si dice integrabile. TEOREMA di CONTINUIT /INTEGRABILIT HP) Sia f una funzione continua in [];ab TH) Allora f integrabile in [];ab Quindi: f derivabile f continua f integrabile La continuit una Condizione Sufficiente per l integrabilit (mentre non tutte le funzioni continue sono derivabili; basta pensare alle funzioni con i punti ) Le propriet di linearit si possono sintetizzare come: ! + ! ( ) = ! + ! , !, ! . In sintesi, l integrale un operatore lineare. 2 3 4 INTEGRALI DEFINITI <=Il Trapezoide Area trapezoide compresa tra il plurirettangolo inscritto e il plurirettangolo circoscritto.

3 0 TEOREMA introduttivo all integrale definito HP) Se una funzione f continua in [];ab TH) Allora i limiti per n + delle successioni e nnsS (successione delle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti rispettivamente) esistono finiti e sono uguali fra loro: limlimnnnnsS + + = Il valore comune di tale limite viene indicato con la scrittura ()bafxdx a si chiama estremo inferiore; b si chiama estremo superiore. L integrale definito sempre un numero reale (positivo, negativo o nullo), diversamente dall integrale indefinito che un insieme di funzioni. Per convenzione si pone: Propriet dell integrale definito: Es.

4 =ln in 0,1; 5 TEOREMI DEL CALCOLO INTEGRALE (1) Dim. pag. 2008 (usa il T di Weierstrass e il T. dei valori intermedi) Interpretazione geometrica: se la funzione positiva in ; , il Teorema della Media Integrale esprime l uguaglianza fra l area del trapezoide (indicata da ( )!! ) e l area del rettangolo di base e altezza ( ) dove z un particolare valore in ; . Il valore ( ) si chiama appunto valor medio della funzione in ; : fz()=fx()dxab b a Definizione Sia una funzione continua in ; e sia ; un generico valore. Si chiama Funzione Integrale di f in ; , la funzione: Fx()=ft()dtax che associa ad ogni ; il numero reale ft()dtax Se la funzione f positiva in ; , la funzione integrale F(x) rappresenta l area del trapezoide ABCD e dipende da x.

5 (2) Questo teorema collega il concetto di integrale definito con quello di integrale indefinito (*) Dim. pag. 2011 (usa il T della media integrale) (*) La derivata di F(x) coincide con il valore che la funzione integranda f assume nell estremo variabile x di integrazione, ossa Dft()dtax =fx(). Pertanto l integrale indefinito della funzione f, inteso come totalit delle sue primitive, si esprime come fx()dx= ft()dtax +c, con . (3) FORMULA DI NEWTON LEIBNIZ (riduce il calcolo di INTEGRALI definiti a quello di INTEGRALI INDEFINITI ) L integrale definito di una funzione continua f(x) uguale alla differenza tra i valori assunti da una qualunque primitiva ( ) di f(x) rispettivamente nell estremo superiore e nell estremo inferiore: fx()dxab = b() a()= x() x=ax=b Dim.

6 Pag. 2012 (usa il T fondamentale del calcolo integrale) 6 CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE Per calcolare le aree, opportuno avere il grafico della funzione Se f(x)>0: Se f(x)<0: Se f(x) ha segno variabile: Tale formula non cambia se entrambe le funzioni sono traslate in verticale. CALCOLO DEI VOLUMI DEI SOLIDI (di rotazione e non) Metodo delle fette per il calcolo di volumi di solidi V=Sx()dxab dove S (x) il valore dell area di una generica sezione piana ottenuta tagliando il solido in questione con un piano perpendicolare all asse x in suo punto generico.

7 7 APPROFONDIMENTI SUL CALCOLO DI AREE 8 CALCOLO DEI VOLUMI DEI SOLIDI (anche rispetto all asse y) Analogamente per il metodo delle sezioni (o delle fette ) Sezioni con piani perpendicolari all asse x Sezioni con piani perpendicolari all asse y Se S(x) l area della generica sezione del solido (ottenuta con un piano perpendicolare all asse x) passante per il punto di (x;0) il volume del solido : = ( ) Se S(y) l area della generica sezione del solido (ottenuta con un piano perpendicolare all asse y) passante per il punto di (0;y) il volume del solido : = ( ) 9 INTEGRALI IMPROPRI