Introdução à Estatística - USP

1 Introdu o Estat stica1J lio Cesar de C. Balieiro1 Introdu o Estat stica29 a ci ncia que se preocupa com:(i) Organiza o;(ii) Descri o;(iii) An lises;(iv) Interpreta stica DescritivaEstat stica Indutiva ou Estat stica InferencialEstat sticaIntrodu o Estat stica239 Popula oAlguns Conceitos o conjunto de elementos com pelo menos uma caracter stica em comum. Esta caracter stica comum deve delimitar claramente quais os elementos que pertencem popula o e quais os elementos que n o um subconjunto de uma popula o, onde todos os seus elementos ser o examinados para efeito da realiza o do estudo estat stico Conceitos9 OBJETIVO DA ESTAT STICA: tirar conclus es sobre popula es com base nos resultados observados em amostras extra das dessas popula es .9 Vari vel a caracter stica dos elementos da amostra que nos interessa averiguar estatisticamente.

2 Ex.: vari vel Idade- se houver n elementos fisicamente considerados no estudo, esses elementos fornecer o n valores da vari vel idade, os quais ser o tratados convenientemente pela Estat stica Descritiva e/ou pela Estat stica Inferencial. Introdu o Estat stica35 Tipos de Vari veisAs vari veis de interesse podem ser classificadas em:(i) Qualitativas => quando resultar de uma classifica o por tipos ou atributos. (ii) Quantitativas => quando seus valores forem expressos em n meros. Podem ser subdivididas:(a) Discretas; (b) Cont de Vari veisExemplos de Discretas:yPopula o: Ovinos da ra a Santa In s da ASCCO;Vari vel: n mero de cordeiros ao parto (1, 2 ou 3).yPopula o: bovinos Nelore da Agro-pecu ria CFM vel: Escores de Musculosidade (1, 2, 3, 4 ou 5).yPopula o: bovinos Nelore da Agro-pecu ria CFM vel: Prenhez aos 14 meses de idade (0 ou 1).(a) Vari veis Quantitativas DiscretasAssumem apenas valores pertencentes a um conjunto enumer vel.

3 S o obtidos mediante alguma forma de contagem. Introdu o Estat stica47 Tipos de Vari veis(b) Vari veis Quantitativas Cont nuasS o aquelas, teoricamente, que podem assumir qualquer valor em um certo intervalo de varia o. Resultam, em geral, de uma medi o, sendo freq entemente expressos em alguma de Cont nuas:yPopula o: bovinos Nelore da Agro-pecu ria CFM vel: PN (28,0; 28,5; 30,2; 32,58)yPopula o: bovinos Nelore da Agro-pecu ria CFM vel: Peso aos 18 meses, em kg (250,0 at 415,0 kg)J lio Cesar de C. Balieiro8 Caracter sticas Num ricas de uma Distribui o de DadosIntrodu o Estat stica599As vezes necess rio resumir certas caracter sticas das distribui es de dados (ou mesmo de freq ncias dados) por meio de certas quantidades s o usualmente denominadas de MEDIDAS, por quantificarem alguns aspectos de nosso objetivo apresentar algumas das chamadas MEDIDAS DE POSI O, bem como, algumas MEDIDAS DE DISPERS O, consideradas mais importantes no campo da aplicabilidade pr tica do nosso dia a dia.

4 9 Tais medidas servem para:(a) Localizar uma distribui o;(b) Caracterizar sua o10 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)9 Servem para localizar a distribui o dos dados brutos (ou das freq ncias) sobre o eixo de varia o da vari vel em quest os tr s tipos principais de medidas de posi o:(a) M dia Aritm tica;(b) Mediana;(c) o Estat stica611 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)iikiiikipXnfX'11m x== = === 9M dia (Aritm tica)A nota o internacional recomenda s mbolos espec ficos para a M dia: nXini1m x= === (a) AMOSTRA:Conjunto de Dados =>Tabelas de Freq ncia =>=>12 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)iikiiikipXnfXm'11== = == 9M dia (Aritm tica)Conjunto de Dados =>Tabela de Freq ncia =>(b) POPULA O:nXmini1= == Introdu o Estat stica713 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)Exemplo 2: 50 determina es do tempo (em segundos) gasto por um funcion rio5, x1== ====nfXiiki 68414 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)9 Propriedades da M dia(a) Multiplicando todos os valores de uma vari vel por uma constante, a m dia do conjunto fica multiplicada por essa constante.

5 (b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores da vari vel, a m dia do conjunto fica acrescida ou subtra da dessa o Estat stica815 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)9 MedianaA mediana uma quantidade que, como a m dia, tamb m caracteriza o centro de uma distribui o pertencente a um conjunto de dados. dm (a) AMOSTRA:(b) POPULA O:md=>16 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)Conjunto de Dados:Para obten o da estimativa de mediana de um conjunto de dados s o necess rios os seguintes passos:1 Passo:Ordenar de forma crescente os n valores da vari vel em quest o;2 Passo:(i)Sendo n mpar, a mediana ser igual ao valor de ordem ;2)1(+n(ii)Sendo n par, a mediana ser o valor m dio entre os valores de ordem e .2n12+nIntrodu o Estat stica917 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)mdmdaihfFnLdm +=)2/( Tabelas de Freq ncia =>Li = limite inferior da classe que cont m a mediana;n = n meros de elementos do conjunto da dados;Fa= soma das freq ncias das classes anteriores quefmd = freq ncia da classe que cont m a mediana;hmd= amplitude da classe que cont m a m a mediana;9 Mediana18 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)Exemplo 2: 50 determina es do tempo (em segundos) gasto por um funcion rioLi = 49,5;n = 50;Fa= 11;fmd = 16;hmd = +=)2/( 684 Introdu o Estat stica1019 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)875, )2/50(5,49 = +=dmExemplo 2: 50 determina es do tempo (em segundos) gasto por um funcion rioLi = 49,5;n = 50;Fa= 11;fmd = 16.

6 Hmd = +=)2/( 20 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)9 Moda=>A moda (ou modas) de um conjunto de valores definida como o valor (ou valores) de m xima freq ncia. uma quantidade que, como a m dia, tamb m caracteriza o centro de uma distribui o, indicando a regi o das m ximas freq ncias. =>Om (a) AMOSTRA:(b) POPULA O:OmIntrodu o Estat stica1121 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)9 ModahdddLmio211 ++=Tabelas de Freq ncia =>Li = limite inferior da classe modal;d1= diferen a entre a classe modal e a da classeh = amplitude das anterior;d2= diferen a entre a classe modal e a da classeimediatamente seguinte;22 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)9 ModaExemplo 2: 50 determina es do tempo (em segundos) gasto por um funcion rioLi = 49,5;d1= 16 8 = 8;d2= 16 12 = 4;h = ++=684 Introdu o Estat stica1223 Medidas de Posi o (ou de Tend ncia Central)hdddLmio211 ++=9 ModaExemplo 2: 50 determina es do tempo (em segundos) gasto por um funcion rioLi = 49,5;d1= 16 8 = 8;d2= 16 12 = 4.

7 H = , ,49 =++=om24 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)9A informa o fornecida pelas Medidas de Posi o em geral necessitam de ser complementas pelas Medidas de Dispers Medidas de Dispers o servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da regi o central .9 Portanto caracterizam o grau de varia oexistente em um conjunto de Medidas de Dispers o que mais nos interessam s o:(a) Amplitude;(b) Vari ncia;(c) Desvio Padr o;(d) Coeficiente de Varia o Estat stica1325 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)MINMAXXXR = Vantagem e amplitude, j mencionada, definida como a diferen a entre o maior e o menor valores do conjunto de dados. (a) AMOSTRA:(b) POPULA O:MINMAXXXR =Salvo aplica es de Controle de Qualidade, a amplitude n o muito utilizada como Medida de Dispers >=>=>26 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)222222 )( )(XXXSSSX =====222)(XX ==9 Vari nciaA vari ncia definida como a m dia dos quadrados das diferen as entre os valores em rela o a sua pr pria m dia.

8 (a) AMOSTRA:(b) POPULA O:Conjunto de Dados =>Tabela de Freq ncia =>1)()(2122 ===NXXSXSiniXEm se tratando de Amostra: 1)()(2122 ===NfXXSXS iikiX=>=>Introdu o Estat stica1427 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)9 Vari nciaConjunto de Dados =>Tabela de Freq ncia =>NXXXiniX21222)()( ==== Em se tratando de Popula o: NfXXXiikiX21222)()( ==== (i) A vari ncia calculada para dados agrupadosdever ser superestimadaem rela o vari ncia exata dos N dados :=>28 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)14m x1= ====NXini 9 Vari nciaExemplo: Executar o c lculo da vari ncia de um conjunto pequeno de dados, formado pelos valores seguinte: {15, 12, 10, 17, 16} f cil ver que:1)()(2122 ===NXXSXSiniXLogo:Poderemos montar a seguinte Tabela Auxiliarnos c lculos:Introdu o Estat stica1529 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)1)()(2122 ===NXXSXSiniX9 Vari nciaExemplo: C lculo da vari ncia de um conjunto pequeno de dados: {15, 12, 10, 17, 16}5,8434)(22===XSXSNota-se que as express es apresentadas n o s o as mais apropriadaspara o c lculo da vari ncia, pois a m dia quase sempre um valor fracion rio, o que viria a dificultar o c lculo dos desvios.

9 2)(XXi 30 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade))2()(222 XXXXXXiii+ = 222 XNXXXii+ =222 + =NXNXNXX iiiiNXNXXiii222)()(2 + =9 Vari nciaNote que o numerador pode ser trabalhado: 1)()(2122 ===nXXSXSiniXNXXXXiii222)()( = Introdu o Estat stica1631 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)9 Vari nciaAssim, para um conjunto com N dados:11)()(21212122 = =====NNXXNXXSXS iniiniiniXDa mesma forma, para dados agrupados em Tabela de freq ncia, teremos: 11)()(21212122 = =====NNfXfXNfXXSXS iikiiikiiikiX32 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)9 Vari ncia()17, )(2212122= = ===NNfXfXSXS iikiiikiXExemplo: 50 determina es do tempo (em segundos) gasto por um funcion rio684 Introdu o Estat stica1733 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)9 Propriedades da Vari ncia(a) Multiplicando-se todos os valores de uma vari vel por uma constante, a vari ncia do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante.

10 (b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma vari vel, a vari ncia n o se altera.(i)A vari ncia uma medida de dispers o importantena teoria estat stica;OBS:(ii) Do ponto de vista pr tico, ela tem o inconveniente de se expressar em unidade quadr ticaem rela o a vari vel em quest de Dispers o (ou de Variabilidade)9 Desvio Padr oDefinimos desvio padr o como a raiz quadrada positiva da vari ncia . O c lculo do desvio padr o feito por meio da vari )(XXSSXS+==XXXSSSX )( )(=====XX ==)((a) AMOSTRA:(b) POPULA O:Em se tratando de Amostra:=>=>=>Introdu o Estat stica1835 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)9 Desvio Padr o(i)O desvio padr o se expressa na mesma unidade da vari vel, sendo por isso, de maior interesse que a vari ncia nas aplica es pr ticas;(ii) mais real stico para efeito de compara o de dispers :Exemplo: 50 determina es do tempo (em segundos) gasto por um funcion rio()17, )(2212122= = ===NNfXfXSXS iikiiikiX79,617,46)(===XSXS36 Medidas de Dispers o (ou de Variabilidade)9 Coeficiente de Varia oO coeficiente de varia o definido como o quociente entre o desvio padr o e a m dia , sendo frequentemente expresso em porcentagem.