LA CINEMATICA IN BREVE. - maecla.it

1 1 LA CINEMATICA IN BREVE. Schede di sintesi a cura di Nicola SANTORO. Lo scopo di queste schede quello di riassumere i concetti principali e le formule fondamentali della CINEMATICA , per venire incontro alle esigenze di apprendimento di molti allievi. Lo stile, sintetico, quello di un riassunto: pertanto non sostituiscono n il libro di testo, n la spiegazione del docente, ma possono, eventualmente, completarli ed arricchirli. CINEMATICA : la parte della Meccanica che studia il moto dei corpi senza tener conto delle cause che lo producono. Moto e quiete. Un corpo si dice in moto od in quiete quando, rispetto ad un altro ritenuto fisso (sistema di riferimento), occupa nello spazio posizioni differenti, oppure rimane sempre nella stessa posizione.

2 Non possiamo parlare di moto o quiete in senso assoluto, ma soltanto in senso relativo, perch essendo tutto l universo in movimento, nessun punto realmente fisso. Traiettoria: la linea descritta da un punto materiale (mobile) durante il suo movimento; pu essere: rettilinea, circolare, parabolica, ellittica, ecc. Velocit media il rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo: tsttssvmDD=--=1212 Il vettore velocit media definito dalla formula: tsttssvmDD=--= 1212 Attenzione a non confondere il vettore spostamento Ds con lo spazio percorso sD. Solo nel moto rettilineo il modulo del vettore spostamento coincide con lo spazio percorso.

3 Velocit istantanea la velocit in un intervallo di tempo cos piccolo (infinitesimo) da tendere a zero (0 Dt), per cui anche lo spazio percorso piccolissimo. Moto rettilineo uniforme: quello di un mobile che percorre una traiettoria rettilinea con velocit costante; pertanto possiamo scrivere (indicando con 0s la posizione iniziale e 0t l istante iniziale del moto): .cos00=--=DD=ttsstsv da cui ricaviamo lo spazio percorso: tvsD =D cio )(00ttvss- =- oppure, ancora: )(00ttvss- +=, che la legge oraria del moto. Assumendo 00=s all istante 00=t (cio il corpo parte dall origine del riferimento nell istante iniziale del moto), la legge oraria diventa: tvs = oppure tsv= 2 In questo caso particolare gli spazi percorsi sono direttamente proporzionali ai tempi impiegati a percorrerli.

4 Possiamo anche assumere che la velocit lo spazio percorso nell unit di tempo. Quindi l unit di velocit quella di un mobile che percorre 1 metro in 1 secondo, cio 1m/s. Il moto rettilineo uniforme si pu rappresentare con: il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo )(tfs=, che una retta la cui pendenza (coefficiente angolare) la velocit del moto; il grafico della velocit in funzione del tempo )(tfv=, che una retta orizzontale. Accelerazione media il rapporto fra la variazione della velocit e l intervallo di tempo in cui si verifica questa variazione: tvttvvamDD=--=1212 In particolare se 12vv> l accelerazione positiva, se 12vv< l accelerazione negativa (decelerazione).

5 Il vettore accelerazione media definito dalla formula: tvttvvamDD=--= 1212 Accelerazione istantanea il valore che tende ad assumere l accelerazione media se tD tende a zero (0 Dt). L unit di misura dell accelerazione quella di un mobile che varia la sua velocit di 1 m/s in 1 s, cio 1 m/2s. Moto rettilineo uniformemente accelerato quello di un mobile che percorre una traiettoria rettilinea con accelerazione costante; in tal caso la sua velocit varia di quantit uguali in tempi uguali. Pertanto possiamo scrivere (indicando con 0v la velocit iniziale, e 0t l istante iniziale): .cos00=--=DD=ttvvtva da cui ricaviamo la legge della velocit : )(00ttavv- +=.

6 D altro canto la velocit media del moto sempre: 00ttssvm--= e quindi )(00ttvssm- =-; se l accelerazione costante, la velocit media mv si pu calcolare anche facendo la media aritmetica fra la velocit iniziale 0v e la velocit finale v: 20vvvm+= pertanto )(2000ttvvss- +=-; 3 sostituendo in quest ultima formula la v data dalla legge della velocit , con facili calcoli, otteniamo la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato: 20000)(21)(ttattvss- +- +=. Assumendo 00=s all istante 00=t (cio il corpo parte dall origine del riferimento nell istante iniziale del moto), la legge della velocit e la legge oraria diventano rispettivamente: tavv +=0; 2021tatvs + =.

7 Esiste, poi, una formula molto comoda per i calcoli, che si ottiene dalle due precedenti eliminando il tempo t dalle due equazioni (ad es. ricavandolo dalla prima e sostituendolo nella seconda), con facili calcoli: avvt0-= quindi avvavvaavvvs2212022000-= - +- =. Tali formule si usano quando il corpo animato da velocit iniziale 00 v (partenza lanciata); se, invece, il corpo parte da fermo (00=v) le stesse formule si scrivono: tav =; avtas22122= =. Il moto rettilineo uniformemente accelerato si pu rappresentare con tre grafici: il grafico dell accelerazione in funzione del tempo )(tfa=, che una retta orizzontale; il grafico della velocit in funzione del tempo )(tfv=, che una retta la cui pendenza (coefficiente angolare) l accelerazione del moto; il grafico orario dello spazio percorso in funzione del tempo )(tfs=, che un arco di parabola.

8 Un esempio notevole di moto rettilineo uniformemente accelerato costituito dalla caduta (libera) dei gravi. Il moto di caduta libera di un corpo nel vuoto rettilineo con accelerazione di gravit 2/81,9smg=(valore medio sulla Terra). Oltre allo studio dei moti in una dimensione (moto rettilineo uniforme e moto rettilineo uniformemente accelerato) in CINEMATICA acquistano particolare importanza i moti piani (in due dimensioni). In questa sede accenneremo soltanto al moto dei proiettili (al quale stata gi dedicata una precedente unit e a cui si rimanda), al moto circolare uniforme ed al moto armonico semplice.

9 Il moto circolare uniforme il moto di un punto materiale che percorre una circonferenza con velocit costante in modulo, ma non in direzione. Le grandezze caratteristiche di questo moto sono: il periodo Tche il tempo impiegato dal punto mobile per compiere un giro (si misura in secondi s); 4 la frequenza f che il numero di giri compiuti nell unit di tempo(in un secondo) (si misura in Hertz Hz; 1 Hz = 1 giro al secondo = 11-s); dalla definizione si deduce facilmente: Tf1=; la velocit tangenziale (o periferica) v che il modulo (costante) del vettore velocit tangenziale (che tangente alla circonferenza in ogni punto) (si misura in m/s).

10 Poich in un periodo T il punto materiale percorre l intera circonferenza r p2, possiamo scrivere: frTrv = =pp22; la velocit angolare w che il rapporto (costante) fra l angolo descritto dal raggio vettore passante per il punto mobile e il tempo impiegato (si misura in rad/s); dalla definizione segue: tDD=aw; poich in un periodo T l angolo a descritto l angolo giro (p2 rad.), la velocit angolare diventa: Tpw2=; pertanto rv =w; l accelerazione centripeta tvacDD= che nasce dalla variazione di direzione del vettore velocit (ricordiamo che il vettore velocit costante in modulo) (si misura in 2/sm); pertanto l accelerazione ha direzione radiale, e modulo: rTrrvac22224wp===.