Vettori T online - Zanichelli

1 VETTORIC opyright 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi11. I Vettori DEL PIANO Le grandezze scalari e le grandezze vettorialiEsistono grandezze determinate dal numero che le misura rispetto a una prefissa-ta unit , come per esempio la lunghezza, l area, il volume, il grandezze sono dette grandezze grandezze , come per esempio lo spostamento e la velocit , sono rappresen-tate da un numero, una direzione e un grandezze vengono chiamate grandezze vettoriali e vengono descritte mediante Vettori . Segmenti orientati e vettoriUn segmento AB pu essere percorso in due modi: da A verso B oppure da B verso A. Nel primo caso, lo indichiamo con AB e diciamo che A il primo estremo e B il secondo estremo; nell altro caso, indichiamo il segmento con BA e diciamo che B il primo estremo e A il secondo estremo. In generale, un segmento orientato AB caratterizzato dalla lunghezza del seg-mento AB, dalla direzione della retta AB e da un verso, ossia dal senso di percor-renza dal primo estremo A al secondo estremo segmenti orientati EFGHe hanno verso opposto, o contrario, se hanno la stessa direzione ma non lo stesso verso.

2 DEFINIZIONES egmenti equipollentiDue segmenti orientati ABCDe si dicono equipollenti, e scriviamo ABCD=,se hanno: la stessa lunghezza, cio sono congruenti; la stessa direzione, cio appartengono a rette parallele; lo stesso con S l insieme dei segmenti orientati del piano. Nell insieme S l equi-pollenza una relazione di equivalenza perch gode delle propriet riflessiva (ogni segmento orientato equipollente a se stesso), simmetrica (se MN equipollen-te a PQ, allora PQ equipollente a MN) e transitiva (se MN equipollente a PQPQe equipollente a RS, allora MN equipollente a RS). Quindi, la relazio-ne di equipollenza induce in S una partizione in classi di Data una relazione di equivalenza su un insieme S, preso un elemento x ! S, la classe di equivalenza di x l insieme di tutti gli ele-menti di S che sono in rela-zione con Figura 1 Il verso di un segmento pu essere indicato mediante la punta di una 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi2 DEFINIZIONEV ettoreSi chiama vettore libero, o semplice-mente vettore, ogni classe di equiva-lenza relativa alla relazione di equi-pollenza fra segmenti con V l insieme dei Vettori liberi del indicare un vettore libero usiamo una lettera minuscola sormontata da una freccia ( , , ,)abcf, oppure uno dei segmenti orientati (,,)AB segmento orientato appartenente a una medesima classe di equivalenza , infatti, un particolare rappresentante di quella classe, cio del vettore, e si dice vettore applicato.

3 Il primo estremo di un vettore applicato si chiama punto di applicazione. Un vettore AB caratterizzato da: il modulo, ossia la misura della lunghezza del segmento AB rispetto a un unit prefissata; la direzione, cio la direzione della retta a cui appartiene il segmento; il modulo di un vettore v si indica con uno dei seguenti simboli:v; v; esempio, il vettore della figura 4 ha modulo 3 rispetto all unit u. Scriviamo 3v= oppure v = 3 o anche v3=.Si chiama versore del vettore v un vettore di modulo unitario con la stessa dire-zione e verso di chiama vettore nullo la classe di equivalenza dei segmenti con estremi coin-cidenti. La sua direzione e il suo verso sono indeterminati. Esso si rappresenta mediante un punto e si indica con 0 oppure con c b Figura 2 Ogni segmento orientato equipollente a infiniti altri segmenti. L in-sieme dei segmenti fra loro equipollenti un vettore. Figura 3 AB, CD, EF e GH sono segmenti orientati equipollenti, cio rappresentanti dello stesso vettore: ciascuno di essi un vettore applicato.

4 Figura3AB,CD,EFeGHsonosegmentiABCDEFGH0A B Figura 4 3v=. Figura 43v=versoreuv VETTORIC opyright 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi3 Dato un vettore vAB=, si chiama vettore opposto di v, e si indica conv-, il vettore avente lo stesso modulo e la stessa lunghezza e direzione ma verso opposto di v, cio la classe di equivalenza del segmento orientato BA. Prime operazioni con i vettoriAddizione di vettoriDati due Vettori u e v, la loro somma suv=+ un vettore che si ottiene nel modo descritto di seguito; rappresentiamo u con il segmento AB e v con il seg-mento BC consecutivo al primo. Se i Vettori u e v hanno la stessa direzione e verso (figura 5a), il vettore somma s ha la stessa direzione e lo stesso verso di u e v e modulo uguale alla somma dei moduli. Se i Vettori u e v hanno la stessa direzione ma verso opposto (figura 5b), il vet-tore somma s ha la stessa direzione di u e v, verso uguale a quello del vettore con modulo maggiore e modulo pari alla differenza dei moduli.

5 Se i Vettori u e v hanno direzioni diverse (figura 5c), il vettore somma s rappresentato dal segmento AC che ha lunghezza e direzione del terzo lato del triangolo individuato dai Vettori uve (regola del triangolo). equivalente considerare la diagonale AC del parallelogramma determinato dai due rappresentanti uvABAD diedi applicati entrambi in A (regola del parallelogramma) (figura 5d).Riassumendo, possiamo dare la seguente definizione. DEFINIZIONES omma di due vettoriIl vettore somma s di due Vettori uve rappresentato da un segmen-to orientato che si ottiene raffiguran-do consecutivamente i Vettori dati e considerando come primo estremo il primo estremo di u e come secondo il secondo estremo di v. Diciamo che due seg-menti orientati sono conse-cutivi quando il secondo estremo del primo seg-mento coincide con il primo estremo del secondo segmento. Figura 5 Figura5a. Somma di due vettoriu e v aventi stessadirezione e stesso Somma di due vettoriu e v aventi stessadirezione e verso Somma di due vettoriu e v aventi direzionidiverse, mediante la regoladel Somma di due vettoriu e v aventi direzionidiverse, mediante la regoladel = u + vuvuuvuvuvuvs = u + vs = u + vs = u + vABCA BCABCABCD uvuvs = u + vABC Il vettore somma s si chiama anche = AB v = BAVETTORIC opyright 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi4 ESEMPIOT roviamo il vettore somma dei due Vettori a e b della figura, aventi i moduli a48= e b20= (figura 6a).

6 Consideriamo il parallelogramma formato dai due Vettori (figura 6b).Calcoliamo il modulo di la proiezione H del punto D sulla retta AB (figura 6c). Nel triangolo rettangolo BDH, poich BD20= e DBH60o=V, si ha BH10= e DH10 3=.Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo AHD:(),ADAHHD5810 3366460 52222-=+=+=. In generale, per calcolare il modulo della somma di due Vettori uve si applica il teorema del coseno. Osservando la figura 7, abbiamo 2cossuvuv22$$b=+-,ed essendo b = r - a, e quindi cos b = - cos a, otteniamo:cossuvuv222$$a=++.L operazione che a due Vettori associa la loro somma si dice pu dimostrare che l addizione di Vettori gode delle seguenti propriet : propriet commutativa: ,,uv vu uvV6!+=+; propriet associativa: ()(),,uv w u vw uv6++=++, wV!; il vettore nullo 0 l elemento neutro: vvv+=+=00, vV6!; per ogni v ! V esiste il vettore opposto :()()vvvvv0-+-=-+=. Figura 6 Cid iilll lfd i di (fi6b) Figura 6 ABDCa b a + b ABDCa b a + b 60 H60 cbaABCa b 60 Il teorema di Carnot o del coseno afferma che in un triangolo il quadrato della misura a di un lato uguale alla somma dei quadrati delle misure b e c degli altri due lati, diminuita del dop-pio prodotto delle misure di questi due lati per il cose-no dell angolo a che essi formano:a2 = b2 + c2 - 2bc $ cos = u + vs u Figura 7 Il simbolo 6 significa per 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi5 Dati tre o pi Vettori , ,,uvwf, la loro somma si ottiene sommando i primi due e poi sommando al vettore ottenuto uv+ il terzo w e cos il vettore risultante si ottiene riportando di seguito, a partire da un punto A, i segmenti orientati che rappresentano i Vettori da sommare (figura 8).

7 Si ottiene una poligonale il cui lato che congiunge A con l ultimo estremo della poligonale rappresenta il vettore di vettoriL esistenza dell opposto di un qualsiasi vettore permette di definire la differenza di due Vettori riconducendola a una somma. DEFINIZIONED ifferenza di due vettoriSi chiama differenza di due vetto-ri, scelti in un dato ordine, la som-ma del primo con l opposto del operazione che a due Vettori associa la loro differenza si dice di un vettore per uno scalareDato un vettore v, possiamo determinare i Vettori 3v, 2v-, f, mediante addizioni ripetute. Per esempio: 3v vvv=++, ()vv v2-=-+ generale vale la seguente definizione. DEFINIZIONEP rodotto di un vettore per uno scalareDato un vettore v e un numero reale k, si chiama prodotto di k per v il vettore k $ v che ha la stessa direzione di v, modulo uguale al prodotto del valore assoluto di k per il modulo di v e lo stesso verso di v se k 2 0, verso opposto se k 1 operazione che ha come risultato questo prodotto viene detta moltiplicazione di un vettore per uno scalare.

8 Si pu dimostrare che gode delle seguenti propriet : propriet distributiva rispetto all addizione dei numeri reali: ()kpv kvpv$$$+=+, ,kpv VeR66!!; Figura 8Si ttilil ili l thiAl ltitd llu v w w v u s = u + v + w Auvu vd = u vv Figura 9v3 vb. Moltiplicazionedel vettore v perlo scalare Moltiplicazionedel vettore v perlo scalare 2 vVETTORIC opyright 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi6 propriet distributiva rispetto all addizione dei Vettori : ()ku v ku kv$$$+=+, ,kuvVeR66!!; propriet associativa mista: ()()kp vkp v$$=, ,kpv VeR66!!; il numero 1 l elemento neutro: 11vvv$$==, vV6!. La scomposizione di un vettoreConsideriamo il vettore v e le semirette Oa e Ob della figura estremo C di v tracciamo le parallele a Oa e Ob (figura 10b) e otteniamo i punti A e B, che individuano i segmenti orientati OA e OB, cio i Vettori a e b, che hanno come somma generale, dati un vettore v e due direzioni r e s, v si pu scomporre in due Vettori che hanno direzioni r e s e per somma particolare, se consideriamo gli assi cartesiani, possiamo scomporre un vettore in due Vettori ax e ay aventi le direzioni dell asse x e dell asse I Vettori LINEARMENTEDIPENDENTI E INDIPENDENTI La combinazione lineareConsideriamo i Vettori ,,vv v123 della figura 11a e i numeri reali 2, 3, il risultato (figura 11b) della seguente espressione:vv v232112 3+.

9 Per semplicit , utiliz-ziamo per le operazioni fra Vettori gli stessi simboli di quelle fra numeri reali. Tali simboli assumono quindi significato diverso a seconda del contesto in cui sono usati. Per esempio, il segno + fra due numeri reali denota l addizione dei due numeri, il segno + fra Vettori indica l addizione di Vettori . Figura 10D ll tCdiCti l lllOOb(fi10b)tti iOACBa b bav Oabv yOxay ax a av1 v2 v3 b2v1 3v2 12 v3 v Figura 11 VETTORIC opyright 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi7Il vettore v ottenuto detto combinazione lineare dei Vettori v1, v2, v3 di coeffi-cienti 2, 3, la terna di numeri reali o il loro ordine, otteniamo differenti combi-nazioni lineari dei Vettori generale, diamo la seguente definizione. DEFINIZIONEC ombinazione lineareSi dice che il vettore v combinazione lineare dei Vettori v1, v2, f, vn, non tutti nulli, se risultavv vvccc12nn12f=+++,dove i coefficienti c1, c2, f, cn sono numeri combinazione lineare di Vettori con coefficienti tutti nulli ha per risultato il vettore pu accadere anche se i coefficienti non sono tutti esempio, con i Vettori considerati prima, scegliendo i coefficienti 1, - 2, 31-, otteniamo il vettore questo caso i Vettori v1, v2, v3 si dicono linearmente generale, diamo la seguente definizione.

10 DEFINIZIONEV ettori linearmente dipendentiI Vettori v1, v2, f, vn sono linearmente dipendenti se esistono n numeri reali c1, c2, f, cn non tutti nulli tali che:0cvvvcc12nn12f+++=.Consideriamo ora due Vettori del piano v1 e v2, aventi direzioni diverse (figura a).Qualsiasi combinazione lineare cvvc1212+ dei due Vettori con coefficienti non tutti nulli non d mai il vettore nullo, perch la somma di cv11 e cv22 al variare di c1 e c2 sempre rappresentata dalla diagonale del parallelogramma formato dai due diagonale pu essere nulla solo se cc012==.I due Vettori v1 e v2 si dicono linearmente indipendenti. DEFINIZIONEV ettori linearmente indipendentiI Vettori v1, v2, f, vn sono linearmente indipendenti se l unica combinazio-ne lineare di questi Vettori che ha come risultato il vettore nullo quella con i coefficienti tutti due Vettori del piano a e b sono paralleli, allora sono linearmente , se ab', si pu scrivere:0ababkk"=-=.v1 v3 13 2v2 Ov1 av2 bc2v2 c1v1 VETTORIC opyright 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi8 Viceversa, se due Vettori sono linearmente dipendenti, allora sono pu dimostrare che nel piano il numero massimo di Vettori linearmente indipen-denti due, mentre nello spazio due Vettori v1 e v2 del piano sono linearmente indipendenti, allora ogni altro vet-tore v del piano si pu scrivere come una combinazione lineare di v1 e v2.