LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

1 LA CIRCONFERENZA, I. POLIGONI INSCRITTI E. CIRCOSCRITTI . Realizzato da: Ballatore Alessia, D'Aquila Michele, Di Guardo Chiara, Formosa Sara, Santuccio Anastasia. Classe: III A. LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO. Un luogo geometrico . l'insieme di tutti e soli i punti di un piano che godono di una determinata propriet . caratteristica. Ad esempio, l'asse di un segmento il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. La circonferenza il luogo dei punti di un piano che hanno una distanza assegnata da un punto fisso detto centro. Il cerchio la figura formata dai punti della circonferenza e dai suoi punti interni. LA CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI. Per tre punti non allineati, passa una ed una sola circonferenza. Se in una circonferenza sono congruenti due figure dello stesso tipo, per esempio due archi, allora sono congruenti anche le figure corrispondenti, ossia le due corde e i due angoli al centro. I TEOREMI SULLE CORDE. In una circonferenza due corde hanno la stessa distanza dal centro se e solo se sono congruenti.

2 Congiungiamo il centro della circonferenza con uno solo degli estremi per ogni corda, ora tracciamo la proiezione ortogonale del centro su ogni corda. Troviamo cos due triangoli rettangoli congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. Se un diametro perpendicolare ad una corda non passante per il centro, allora esso divide la corda in due parti congruenti. Tale diametro divide in due parti congruenti anche i due archi che la corda individua e i due angoli al centro corrispondenti a detti archi. Uniamo gli estremi della corda al centro della circonferenza, considerando anche il diametro troviamo due triangoli rettangoli per le ipotesi del teorema, che sono congruenti per il quarto teorema di congruenza dei triangoli rettangoli. Hanno quindi tutti i lati uguali e quindi la corda divisa esattamente a met . In una circonferenza un diametro la corda pi . lunga di ogni altra. Per la dimostrazione uniamo gli estremi della corda con il centro della circonferenza ed otteniamo cos.

3 Un triangolo. Sappiamo che la somma di un lato di un triangolo minore della somma degli altri due. Se in una circonferenza il diametro interseca una corda nel suo punto medio, allora la corda ed il diametro sono perpendicolari. Uniamo gli estremi della corda al cerchio e consideriamo il triangolo che si viene a formare con la corda. Per le propriet dei raggi il triangolo . isoscele, sappiamo che la mediana anche altezza e da qui concludiamo la dimostrazione. LE POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO. AD UNA CIRCONFERENZA. Una retta ed una circonferenza che si intersecano non possono avere pi . di due punti in comune. Una retta secante u n a circonferenza se ha due punti in comune con essa, tangente se ha solo un punto in comune, esterna se non ha punti in comune. Le tangenti a una circonferenza da un punto esterno. Se da un punto esterno a una circonferenza si conducono le due rette tangenti, risultano congruenti i due segmenti di tangente. LE POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE.

4 Due circonferenze si dicono esterne s e l a s o m m a d e i l or o ra g g i . strettamente minore della distanza tra i loro centri. In formule, OA+O A <OO . Due circonferenze in tale posizione non hanno punti in comune. Due circonferenze si dicono tangenti esternamente se la somma dei loro raggi uguale alla distanza tra i loro centri. In formule, OT+O'T=OO'. Due circonferenze si dicono secanti se la distanza dei loro centri , al contempo, minore della somma e maggiore della differenza in valore assoluto dei loro rag gi. Du e ci rconferenz e i n ta le posizione hanno due punti in comune, detti punti di intersezione. In formule, |. OA-O'A'|<OO'<OA+O'A'. Due circonferenze si dicono tangenti internamente se la differenza in valore assoluto dei loro raggi uguale alla distanza tra i loro centri. In formule, |OT-O'T|=OO'. Due circonferenze si dicono interne se la differenza in valore assoluto dei loro raggi maggiore della distanza tra i loro centri. In formule, |OA-OA'|>OO'.

5 Due circonferenze si dicono concentriche se la distanza tra i loro centri pari a 0. Se i due raggi hanno uguale misura, le due circonferenze si dicono coincidenti. Se due circonferenze concentriche non coincidenti non hanno punti in comune, al contrario due circonferenze coincidenti ne hanno infiniti. GLI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E I. CORRISPONDENTI ANGOLI AL CENTRO. Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza si dicono corrispondenti quando insistono sullo stesso arco. Ogni angolo alla circonferenza la met . dell'angolo al centro corrispondente. Nella stessa circonferenza, due o pi . angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti. Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza, retto. I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI . Un poligono inscritto in una circonferenza quando ha tutti i vertici sulla circonferenza. Un poligono pu essere inscritto in una circonferenza se e solo se gli assi dei sui lati si incontrano tutti nello stesso punto di intersezione, che coincide con il centro della circonferenza.

6 Un poligono circoscritto a una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. Un poligono pu essere circoscritto a una circonferenza se e solo se le bisettrici dei suoi angoli si incontrato nello stesso punto di intersezione, che coincide con il centro della circonferenza. I POLIGONI REGOLARI. Un poligono regolare un poligono avente tutti i lati congruenti e tutti g l i a n g o l i c o n g r u e nt i . S e u n poligono regolare, allora esso . inscrivibile in una circonferenza e circoscrivibile a un'altra. Le due circonferenze hanno lo stesso centro, detto c e n t r o d e l p o l i g o n o. L'apotema i l r a g g i o d e l l a circonferenza inscritta. LA SIMILITUDINE NELLA CIRCONFERENZA. Il Teorema delle corde dice: I. segmenti in cui viene divisa una corda dal punto di intersezione sono i medi e quelli in cui viene divisa l'altra corda sono gli estremi di una stessa proporzione. Disegniamo sulla circonferenza due corde che si intersecano in un punto e analizziamo i triangoli che si formano tramite le propriet degli angoli alla circonferenza.

7 Applichiamo il primo principio di similitudine dei triangoli e troviamo le proporzioni del teorema. Il Teorema delle rette secanti dice: I. segmenti sulla seconda retta sono i medi e quelli sulla prima sono gli estremi di una stessa proporzione. Pe r di m ost ra re ques to t eo rem a prendiamo un punto esterno alla circonferenza e da l tracciamo due rette che incontrino la circonferenza, e infine uniamo questi punti di intersezione individuando cos 2. triangoli. Questi triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine per le propriet degli angoli alla circonferenza. Da qui si trova subito la proporzione della tesi del teorema. Il Teorema della tangente e della secante dice: Il segmento di tangenza medio proporzionale tra i due segmenti che si formano sulla secante. Prendiamo una circonferenza e un punto esterno da cui tracciamo una tangente e una retta secante alla circonferenza. Uniamo i punti di intersezione fra rette e circonferenza e troviamo due triangoli simili per il primo criterio di similitudine.

8 Scriviamo la proporzione sui lati omologhi ed il teorema dimostrato. La sezione aurea di un segmento la parte del segmento che medio proporzionale fra l'intero segmento e la parte rimanente. Il lato di un decagono regolare ad esempio la se zi one a urea de l ragg io d el la circonferenza a esso circoscritta. POLIGONI regolari con lo stesso numero AB: AC= AC: CB. di lati sono simili. Fra loro lati, pe ri me tri , apot em i, raggi del l e rispettive circonferenza inscritte e circoscritte, c' lo stesso rapporto, che ancora un rapporto di similitudine. LA LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA. E L'AREA DEL CERCHIO. Il rapporto fra le lunghezze di due circonferenze uguale al rapporto fra i rispettivi raggi, mentre il rapporto fra le aree dei cerchi . uguale al quadrato del rapporto fra i raggi. La misura r del raggio del cerchio inscritto in un triangolo uguale al rapporto tra la misura A dell'area del triangolo e la misura p del suo semiperimetro: r=A/p La misura R del raggio del cerchio circoscritto a un triangolo uguale al prodotto delle misure a, b, e c dei lati del triangolo diviso per il quadruplo dell'area A.

9 Del triangolo: R=abc/4A. Indicate con a, b e c le misure dei tre lati di u n t r i a n g o l o e c o n p/2 q u e l l a d e l semiperimetro, la misura dell'area A del triangolo data dalla formula di Erone.