Le leggi di Keplero - Zanichelli

1 Copyright 2010 Zanichelli editore , Bologna [6243]Questo file un estensione online del corso Amaldi, L Amaldi Zanichelli 201019I moti nel pianoLe leggi di KepleroUtilizzando il modello cosmologico di Aristotele e di Tolomeo, fino al 1600si pensava che la Terra fosse al centro dell Universo con il Sole, la Luna e ipianeti che le orbitavano ci si univa la convinzione che le leggi della fisica terrestre fossero deltutto diverse dalle leggi che regolano il moto dei corpi celesti: questi ultimierano considerati eterni e perfetti e i loro movimenti dovevano essere cir-colari. La circonferenza era infatti la linea perfetta perch simmetrica e pri-va di inizio e di diverso il comportamento dei corpi terrestri, che sono imperfetti esi deteriorano, i loro moti hanno un inizio e una fine, e tendono a essere pi o meno il primo modello eliocentrico(cio , con il Sole al centro del Siste-ma Solare), proposto da Copernico, faceva l ipotesi che le orbite dei pianetiattorno al Sole fossero circolari.

2 Questo modello in grado di spiegare, nel-le loro caratteristiche generali, i moti osservati dei corpi del Sistema lo stesso Copernico si accorse che rimanevano problemi di tipo quan-titativo, nel senso che diverse quantit , calcolate secondo il suo modello,non erano in accordo con le osservazioni astronomiche (che avevano rag-giunto un buon livello di precisione).Questi problemi furono risolti da Giovanni Keplero , un astronomo tede-sco che perfezion il modello eliocentrico rinunciando all idea che le orbitedei pianeti dovessero essere per forza Keplero , infatti, le orbite descritte dai pianeti attorno al Solenon sono circonferenze ma ellisse una figura piana definita dalla seguente propriet : la sommadelle distanze dei punti dell ellisse da due punti fissi (detti fuochidell ellisse) costante. Ci consente di disegnare un ellisse su un foglio da disegno usan-do due puntine, uno spago e una matita: come si vede nella figura sotto, fissano i capi dello spago sopra al foglio da disegno, nei due punti chesi sono scelti come fuochi, con le puntine; lo spago sempre ben teso con la punta della matita, si disegnal ellisse come un cerchio schiacciato , il cui raggio non ha sempre lostesso valore.

3 Il valore massimo della distanza tra il centro dell ellisse e unodei suoi punti si chiama semiasse maggiore , quello minimo si chiama se-miasse minore ( figura a lato).spago tesopunta pertracciaresemiasseminoresemiassemaggio reF'FNiccol Copernico,cio Nikolas Kopper-nigk (1473-1543)astronomo studi diteologia, astrono-mia, matematica e medicina. ilfondatore del modello astronomi-co eliocentrico, anche se la suaopera principale, intitolata De Re-volutionibus Orbium Coelestium,fu pubblicata dopo la sua 2010 Zanichelli editore , Bologna [6243]Questo file un estensione online del corso Amaldi, L Amaldi Zanichelli 201029I moti nel piano - 4. L accelerazione nel moto circolare uniformenLa prima legge di KepleroLa forma dell orbita l argomento della prima legge di posizione in cui un pianeta pi vicino al Sole si chiama perielio; quelladi massimo allontanamento si chiama si disegnano le orbite dei pianeti si vede che esse sono quasi circolari;per questo motivo nello studio del moto dei corpi celesti spesso si approssi-mano le ellissi con delle seconda legge di KepleroLa seconda legge di Keplerostabilisce come varia la velocit di un pianetamentre si sposta lungo la sua conseguenza di questa legge, nel nostro emisfero la primavera e l e-state (quando il Sole pi lontano) sono pi lunghe dell autunno e dell in-verno.

4 Se la Terra percorresse un orbita circolare con una velocit di valorecostante, le quattro stagioni avrebbero la stessa terza legge di KepleroLa terza legge di Kepleromette in relazione le distanze dei pianeti dal Solecon le rispettive durate di un orbita legge di rapporto tra il cubo del semiasse maggiore del-l orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione lo stesso per tutti i legge di raggio vettore che va dal Sole a un pianetaspazza aree uguali in intervalli di tempo legge di orbite descritte dai pianeti attorno al Solesono ellissi di cui il Sole occupa uno dei 'AAP'perielioafelioPAA'AAP'PAperielioafe lio Nella figura sotto (dove l el-lisse deformata per chiarezza)i due triangoli SPP e SAA han-no la stessa area a, quindi, sonospazzati nello stesso Ci significa che gli archi PP e AA sono percorsi nello stessotempo. Quindi il pianeta pi veloce nel tratto PP e pi lentoin AA .B Cos , il pianeta pi veloce alperielio e pi lento all afelio.

5 Lafigura mostra la variazione divelocit indicando le distanzepercorse in tempi Keplero ,cio Johannes Kepler(1571-1630) astro-nomo tedesco. Oltrea scoprire le leggiche portano il suonome, studi le leggi dell ottica ediede per primo una spiegazionecorretta del perch le lenti riescanoa correggere i difetti di 2010 Zanichelli editore , Bologna [6243]Questo file un estensione online del corso Amaldi, L Amaldi Zanichelli 201039I moti nel pianoSe indichiamo con ail semiasse maggiore e con Til periodo, questa legge espressa dalla formula Ta32 = K(1)Da questa si ottiene la relazioneT2= aK3 ,che mostra che il periodo di rivoluzione Taumenta al crescere di a: pi unpianeta lontano dal Sole, pi tempo impiega a valore della costante Kdipende dal corpo celeste attorno a cui avvienel orbita. Per esempio, il moto orbitale dei satelliti di Giove fornisce una co-stante Kuguale per tutti; essa, per , ha un valore diverso da quella che siottiene per i pianeti che orbitano attorno al maggiore (m)costante (m3/s2)periodo (s)Approssimazione di orbitacircolareVisto che le orbite dei pianeti sonoquasi circolari, questa legge si ap-plica con buona approssimazioneanche se si sostituisce al semiassemaggiore ala distanza media pia-neta-Sole distanza media Terra-Sole vale 1,50 1011m e una rivoluzione della Terra at-torno al Sole dura 365,26 d.

6 Calcola il valore della costante K, che compare nella terza legge di Keplero , per ipianeti che ruotano attorno al 2010 Zanichelli editore , Bologna [6243]Questo file un estensione online del corso Amaldi, L Amaldi Zanichelli 201049I moti nel piano - 4. L accelerazione nel moto circolare uniformeESERCIZIC ompleta la seguente frase: Secondo Aristotele le leggi che governano la fi-sica terrestre sono completamente ..da quelle che regolano il moto dei pianeti. I corpicelesti si muovono con traiettoria ..;la traiettoria dei moti terrestri tende ad Secondo la prima legge di Keplero le orbite deipianeti attorno al Sole hanno la seconda legge di Keplero la Terra si muoverapidamente quando si trova:in met tra perielio e nessuno dei precedenti Terra ha una distanza media dal Sole di1,50 1011m e il suo periodo di rivoluzionevale 365,25 d. Approssimando l orbita della Terra con unacirconferenza, calcola il valore della velocit mediadi rivoluzione della Terra intorno al Sole in m/s.

7 [2,99 104m/s]4 DCBA3La distanza media Terra-Sole rT= 1,50 1011m e il periodo or-bitale della Terra TT 365,26 d. Invece la lunghezza di un anno di Saturno di TS 10 760 d. Calcola la distanza media Saturno-Sole rS. Dati e incognite Ragionamento La terza legge di Keplero pu essere scritta come: TrS3S2 K TrT3T2 . Dal primo e ultimo termine della formula precedente possiamo ricavare: rS3 TTST22 rT3. Ora si pu estrarre la radice cubica di entrambi i membri e ottenere la formula che fornisce la distanza Satur-no-Sole: rS 3 TT ST22 rT. Risoluzione Sostituiamo i dati numerici nella formula per 3 TT ST22 rT 3 (( 31 60 57 ,26 60 dd// ))22 (1,50 1011m) = 1,43 1012m . Controllo del risultatoCome puoi verificare nella tabella in fondo al libro, il valore trovato per la distanza media Saturno-Sole = 1,50 x 1011 mTS = 10 760 dTT = 365,26 drS = ?Calcolo della distanza di un pianeta dal SolePROBLEMA 5 Grandezze SimboliValoriCommentiDatiDistanza media Terra-SolerT1,50 1011mPeriodo orbitale della TerraTT365,26 dPeriodo orbitale di SaturnoTS10 760 dIncogniteDistanza media Saturno-Sole rS?

8 Considera i dati dell esercizio 4 relativi al periodo orbitale della Terra e alla sua distanza dal Sole. Il perio-do orbitale di Marte pari a 686,98 d. Calcola la distanza media di Marte dal Sole e confronta il risultato con quello contenuto nella tabella infondo al libro.[2,99 1011m]6