LES FONCTIONS SINUSOÏDALES

1 LES FONCTIONS sinuso DALES1 D FINITIONUne fonction sinuso dale, g n ralement de la variable t (temps) s exprime par:f1(t) = sin (t + ) ou encore f2(t) = cos (t + )o : repr sente l amplitude de la sinuso de (on la note galement Am pour A maximum) (om ga) repr sente la pulsation (exprim e en radians par seconde rad/s) proportionnelle la fr quence = 2 f (une fr quence de 50 Hz donne une pulsation de 100 = 314 rad/s) (Phi) repr sente la phase l origine; elle s exprime en Radians (rad)elle peut galement se noter (Phi majuscule) (Psy minuscule) ou (Psy majuscule)Rque:(t + ) = repr sente un angle exprim en Radians; il est souvent plus ais d exprimer les phases l origine en degr s; toutefois il ne faut pas oublier de les convertir en radians avant d entrer les valeurs dans les formules; pour convertir on doit se souvenir que 360 (un tour complet de cercle) quivaut 2 radians, d o : (rad) = ( ) x 2On d finit la p riode T l intervalle de temps au bout duquel la fonction se reproduit identiquement elle-m me.

2 On dit alors que la fonction est p FONCTIONS sinus et cosinus sont d finies 2 pr s, soit 360 La p riode angulaire est donc Tang = 2 ou 360 On en d duit la valeur de la p riode temporelle (exprim e en secondes):Tang = 2 = T => T = 2 = 1f1,00,80,60,40,20,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0 3603303002702402101801501209060300foncti on sinus pour = 1 et = 0 Formation continueMATH MATIQUES APPLIQU ES LA FONCTIONS sinuso FONCTIONS Sinus (sin) et Cosinus (cos) sont strictement quivalentes; on peut v rifier ais ment qu elles sont seulement d cal es dans le temps d un quart de p riode, soit d un angle de /2 = 90 1,00,80,60,40,20,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,036 03303002702402101801501209060300fonction cosinus pour = 1 et = 0 Travaux pratiques:-ouvrir le fichier Excel nomm l aide des curseurs faire varier les diff rents param tres (ampltitude, pulsation, phase) et observer les modifications de formes; (on v rifiera dans les formules du tableau que l une des courbes est une fonction Sinus et l autre une fonction Cosinus)-noter que les courbes restent sym triques par rapport l axe des abscisses lorsquent les param tres varient; on en d duira que les FONCTIONS Sinus et Cosinus ont oujours une valeur moyenne nulle.

3 -r gler les deux sinuso des la m me fr quence (m me pulsation) et ajuster leurs phases pour que les deux courbes se retrouvent en phase (passage par z ro au m me instant); que vaut alors l cart de phase entre les deux sinuso des ? Justifier l affirmation donn e plus haut que les courbes Sinus et Cosinus sont seulement d cal es d un angle de /2 = 90 2 NOTION DE D PHASAGENous avons remarqu que la phase l origine d une sinuso de correspond l avance ou au retard de son passage par la valeur z ro. Cette notion est tr s relative car elle d pend de l instant que l on a choisi comme origine des un oscilloscope, l instant du passage par z ro d pend du r glage de la synchro; on peut le modifier sa contre l cart angulaire entre deux sinuso des de m me fr quence correspond une donn e caract ristique int on pose = (1 - 2) le d calage angulaire entre deux sinuso des, on remarque que cette valeur ne d pend pas de l instant choisi pour origine.

4 On appelle le d phasage que l on peut mesurer l oscilloscope ind pendamment du r glage de deux sinuso des de m me fr quence le d phasage reste constant quel que soit l instant d continueMATH MATIQUES APPLIQU ES LA FONCTIONS sinuso PRODUIT DE sinuso DES: NOTION DE PUISSANCELa puissance lectrique est d finie comme le produit de l intensit du courant I(t) par la tension U(t)soit: I(t) = sin (t + i)et U(t) = sin (t + u)d o : P(t) = ..sin (t + u).sin (t + i)on rappelle les formules de trigonom trie:cos a . cos b = 1/2 [ cos (a+b) + cos (a-b) ]sin a . sin b = 1/2 [ cos (a-b) - cos (a+b) ]sin a . cos b = 1/2 [ sin (a+b) + sin (a-b) ]P(t) = 1/2 ..[cos (u - i) - cos (2t + u + i)]on peut remarquer que l expression entre crochets comporte un terme invariant au cours du temps [cos (u - i)] et un terme variable au cours du temps [cos (2t + u + i)] de pulsation 2 c est dire de fr quence on se souvient que les FONCTIONS sinuso dales du temps ont une valeur moyenne nulle, on d duit ais ment l expression de la puissance moyenne:Pmoy = 1/2.

5 [cos (u - i)]en posant = (u - i) le d phasage du courant par rapport a tension: Pmoy = 1/2 ..cos soit: Pmoy 2 2 cos Ueff Ieff cos avec:Ueff 2 Ieff 2qui repr sentent les valeurs efficaces de la tension et du courant sinuso daleTravaux pratiques:-ouvrir le fichier Excel nomm l aide des curseurs faire varier les diff rents param tres (amplitude, pulsation, phase) et observer les modifications du produit S1*S2-noter que la courbe S1*S2 est toujours la fr quence double des deux pr c dentes (terme en 2);-noter que la valeur moyenne de S1*S2 d pend des amplitudes des deux sinuso des S1 et S2 et aussi de leur d phasage;-on remarquera que la valeur moyenne est maximale lorsque les sinuso des sont en phase et qu elle est nulle lorsqu elles sont en quadrature (d phas es d un angle de /2 = 90 )4 VALEUR EFFICACELa loi d Ohm appliqu e une r sistance pure donne U = pour un courant m me, si on consid re un courant alternatif comme une succession d tats pseudo-continus, on peut appliquer la loi d Ohm aux valeurs instantann es des grandeurs alternatives: U(t) = (t)Si: I(t) = sin (t + i) alors U(t) = (t) = R.

6 Sin (t + i)La puissance lectrique instantann e s exprime alors:P(t) = U(t).I(t) = R. (t + i) = 1/2 R. 2. [ cos (0) - cos (2t + 2i)]P(t) = 1/2 R. 2. [ 1 - cos (2t + 2i)]la puissance moyenne vaut donc: Pmoy = 1/2 R. 2 Formation continueMATH MATIQUES APPLIQU ES LA FONCTIONS sinuso appelle puissance active la puissance moyenne dissip eafin d adopter une notation unifi e pour le courant continu et le courant alternatif, on pose:Pact = = 1/2 R. 2en identifiant les deux expressions, on d duit: Ieff2 = 1/2 2d o :Ieff 2On d finit la valeur efficace d un courant alternatif (ou d une tension) comme la valeur d un courant continu quivalent qui produirait dans une m me r sistance R la m me puissance dissip e par effet Joule ( chauffement).L expression de la valeur efficace donn e ci-dessus ne s applique qu au courant alternatif sinuso dal et ne s applique pas aux autres formes d ondes (carr , triangle, quelconque).

7 C est pourquoi il faut utiliser une autre m thode de calcul dans le cas g n appareils de mesure portant la mention TRUE RMS indiquent la valeur efficace VRAIE calcul e par la m thode g n rale que nous allons veut dire Root Medium Square, ce qui se traduit par Racine carr e de la Moyenne du Carr .On d duit que: Ieff2 = Moy [ I2(t) ]La valeur moyenne d une fonction p riodique se calcule par l int grale suivante:Moy i(t) 1T i(t) dt0T=>Moy i2(t) 1T i2(t) dt0 Texemples:courant sinuso dal:I(t) = sin (t + i)=>I2(t) = 2 sin2 (t + i) = 1/2 . 2. [ 1 - cos (2t + 2i)] Ieff2 = Moy [ 1/2 . 2. [ 1 - cos (2t + 2i)] ] = 1/2 . 2. Moy [1 - cos (2t + 2i)]Moy [1] = 1etMoy [cos (2t + 2i)] = 0=>Ieff2 = 1/2 . 2courant redress simple alternance:I(t) = sin (t + i) pour 0 < t < T/2etI(t) = 0 pour T/2 < t < TI2(t) = 2 [ 1 - cos (2t + 2i)] pour 0 < t < T/2etI2(t) = 0 pour T/2 < t < TFormation continueMATH MATIQUES APPLIQU ES LA FONCTIONS sinuso